평행사변형의 내접 타원에 대한 연구

박경수(Park, Gyeongsu),박정현(Park, Jeonghyeon),조영민(Cho, Youngmin) 한국과학영재교육학회 2021 과학영재교육 Vol.13 No.1

본 연구는 한국과학창의재단 과학영재 창의연구(R&E)에서 수행한 연구 결과를 바탕으로 이루어졌다. 박정현, 박경수, 조영민(2020)의 연구를 통해 삼각형 내부의 모든 점이 삼각형의 내접 타원의 초점이 될 수 있음을 알게 되었다. 그렇다면 평행사변형의 내접 타원의 초점은 어떤 점이 될 수 있을까?라는 의문점을 갖게 되었다. 본 연구에서는 박정현 외(2020)의 연구 방법을 확장하여 탐구를 진행하였다. 즉, 평행사변형의 각 변이 내접 타원의 접선이라는 아이디어를 적용하여 탐구를 진행하였다. 본 연구를 통해 다음과 같은 연구 결과를 얻을 수 있었다. 첫 번째, 평행사변형의 내접 타원의 초점이 될 수 있는 필요충분조건을 찾을 수 있었다. Geogebra 프로그램에서 타원에 외접하는 다양한 평행사변형을 그리고, 이들의 공통점을 찾음으로써 평행사변형의 내접 타원의 초점이 될 필요충분조건을 찾을 수 있었다. 두 번째, 네 변의 길이가 모두 같은 평행사변형인 마름모의 내접 타원의 초점이 될 수 있는 점은 마름모의 두 대각선을 이룸을 알 수 있었다. 이를 통해 정사각형 또한 내접 타원의 초점이 될 수 있는 점은 두 대각선 위에 있음을 알 수 있으며, 정사각형과 마름모의 내접 타원은 무수히 많이 존재함을 알 수 있었다. 세 번째, 마름모가 아닌 평행사변형의 내접 타원의 초점이 될 수 있는 점은 쌍곡선을 이룸을 알 수 있었다. 평행사변형의 각 중 90도 보다 크지 않은 각을 a라 하고, 평행사변형의 두 대각선의 교점을 원점이라 할 때, 내접 타원의 초점이 될 수 있는 점들은 표준형에서 원점을 중심으로 (45-a/2)도 만큼 회전한 쌍곡선을 이룸을 발견하였다. 이를 통해 마름모가 아닌 직사각형 및 평행사변형의 내접 타원 또한 무수히 많이 존재함을 알 수 있었다. 마지막으로 평행사변형의 내접 타원을 그리는 방법을 찾을 수 있었다. 본 연구 과정에서 발견한 평행사변형의 내접 타원의 초점이 이루는 곡선을 이용하여 평행사변형의 내접 타원을 그리는 방법을 찾을 수 있었다. This study was based on the research results conducted as a R&E project for the gifted students with a financial support from the Korea Foundation for the Advancement of Science and Creativity. Through the research of Park, Park, & Cho (2020), it was found that all points inside the triangle can be the focal point of the inscribed ellipse of the triangle. Then, what could be the focus of the inscribed ellipse of the parallelogram? In this study, the research method of Park, et al (2020) was expanded to investigate. In other words, the research was conducted by applying the idea that each side of a parallelogram is a tangent of an inscribed ellipse. Through this study, the following research results were obtained. First, we found the necessity and sufficiency to become the focal point of the inscribed ellipse of the parallelogram. By drawing various parallelograms circumscribed to an ellipse in the Geogebra program and finding their common points, we found find the necessity and sufficiency to be the focal point of the inscribed ellipse of the parallelogram. Second, we found that the point which can be the focal point of the inscribed ellipse of a rhombus forms two diagonal lines of a rhombus. Third, we found that the point that can be the focal point of the inscribed ellipse of a parallelogram, not a rhombus, forms a hyperbolic curve. When the angle of the parallelogram that is not bigger than 90 degrees is called a, and if we choose the origin as a intersection of the two diagonals of the parallelogram, the points that can be the focal points of the inscribed ellipse form a hyperbolic curve rotated clockwise by (45-a/2) degrees in standard form around the origin. Through this, it can be seen that there are countless inscribed ellipses of rectangular and parallelogram shapes, and rhombus. Finally, I was able to find a way to draw an inscribed ellipse of a parallelogram. The method of drawing the inscribed ellipse of the parallelogram was found by using the curve formed by the focal point of the inscribed ellipse of the parallelogram.

직사각형, 평행사변형, 삼각형 넓이 공식에 내재된 관계에 대한 초등학생들의 이해 조사

정경순,임재훈 대한수학교육학회 2011 수학교육학연구 Vol.21 No.2

The area formula for a plane figure represents the relations between the area and the lengths which determine the area of the figure. Students are supposed to understand the relations in it as well as to be able to find the area of a figure using the formula. This study investigates how 5th grade students understand the formulas for the area of triangle, rectangle and parallelogram, focusing on their understanding of functional relations in the formulas. The results show that students have insufficient understanding of the relations in the area formula, especially in the formula for the area of a triangle. Solving the problems assigned to them, students developed three types of strategies: Substituting numbers in the area formula, drawing and transforming figures, reasoning based on the relations between the variables in the formula. Substituting numbers in the formula and drawing and transforming figures were the preferred strategies of students. Only a few students tried to solve the problems by reasoning based on the relations between the variables in the formula. Only a few students were able to aware of the proportional relations between the area and the base, or the area and the height and no one was aware of the inverse relation between the base and the height. 평면도형 넓이 공식은 넓이와 관련이 있는 길이 사이의 관계를 형식화하여 나타낸 것으로 평면도형의 넓이 공식 이해에는 넓이 공식에 내재된 관계 이해가 포함된다. 이 연구에서는 초등학교 5학년 아동들을 대상으로 직사각형, 평행사변형, 삼각형의 넓이 공식에 내재된 관계 이해에 관한 문제를 어떻게 해결하는지 조사하였다. 조사 결과 직사각형과 평행사변형의 넓이 공식에 내재된 관계 이해 문제에 비해 삼각형의 넓이 공식에 내재된 관계 이해 문제의 해결 정도가 상대적으로 낮은 것으로 나타났다. 아동들의 문제 해결 과정으로부터 세 가지 전략(전략 A: 공식에 수를 대입하기, 전략 B: 구체적인 그림을 그리거나 이용하기, 전략 C: 변수 간의 관계에 주목하기)이 추출되었다. 변수 간의 관계에 주목하여 문제를 해결하려는 전략은 소수의 아동에게서만 관찰되었으며, 그림이나 공식에 대입하는 전략으로 문제 해결이 어려운 경우에 이 전략을 사용하는 아동들의 수가 다소 증가하였다. 밑변과 넓이 또는 높이와 넓이의 관계에 주목한 아동들은 소수 있었으나, 밑변과 높이의 관계에 주목하여 문제를 해결하려 한 아동은 없었다.

마침내 마음을 변화시켰다: 평행사변형을 분류하는데 필요한 반힐레 3 수준을 우회하는 방법

Hagar Gal,류희찬 한국교원대학교 교육연구원 2008 敎員敎育 Vol.24 No.2

This study describes a theory-based instructional approach that aimed to overcome the gap between the geometrical level of thinking (van Hiele) expected in given assignments and students' level of thinking. The research formulated a method that enabled students who did not reach van Hiele’s level 3 (Order) to classify special parallelograms via conceptual behavior. Korean ninth-grade low achievers were introduced to parallelograms in a process involving dynamic and continuous shape changes of multi-named-objects in order to enlarge the concept image. The results of the study seem promising. 본 연구는 주어진 과제에서 기대되는 기하학적 사고 발달 수준과 학생들의 실제적인 사고 수준 사이의 갭을 줄이고자 시도된 수업 실험이 결과를 보여주고 있다. 반힐레 수준 3에 미치지 못한 학생들을 대상으로 다양한 평행사변형을 분류할 수 있도록 하는 교수학적 방법을 개발하여 실험을 한 결과 매우 성공적인 결과를 얻었다. 낮은 성취수준에 있는 우리나라 중학교 3학년 학생들에게 다중으로 명명될 수 있는 대상(평행사변형)을 연속적이고도 역동적으로 변화시키는 과정을 통해 학생들의 개념 이미지가 확장되는 것을 알 수 있었다.

"평행사변형은 사다리꼴이다."에서 '이다'에 대한 고찰

이규희,최영기 대한수학교육학회 2016 학교수학 Vol.18 No.3

A word ‘is' in “A parallelogram is trapezoid.” is ambiguous and very rich when it comes to its meaning. In this paper, ‘is' as in everyday language will be identified as semantic primes that can be interpreted in different ways depending on context and situation, and meanings of ‘is' in mathematics will be discussed separately. Focusing on ‘identity', ‘is' will be reinterpreted in the view of equivalence relation and van Hieles' work. ‘Is’, as a mathematical sign, is thought to have a significant importance in producing mathematical ideas meaningfully. “평행사변형은 사다리꼴이다.”에서 ‘이다’는 애매하고 그 의미가 매우 풍부한 기호이다. 이 연구는 일상적 언어 ‘이다’가 문맥과 상황에 따라 다양하게 해석되는 의미원소임을 밝히고 수학에서 사용되는 ‘이다’의 의미를 구분하여 논의한다. 그리고 ‘동일성’의 관념에 주목하여, 수학적으로 ‘같음’을 나타내기 위해 사용되기도 하는 ‘이다’를 동치관계의 개념과 Van Hieles의 기하 사고 수준 이론으로 재해석하여 살펴본다. 수학적 기호로서 ‘이다’에 대한 분석 결과 ‘이다’는 수학적 아이디어를 의미 있게 생성하는 데 중요한 의의가 있다고 판단된다.

평행사변형 구조를 갖는 매니퓰레이터 동역학의 선형화 및 단순화 설계

최진태,이병룡,정규원 대한기계학회 1989 대한기계학회논문집 Vol.13 No.5

본 연구에서는 평행 사변형 구조를 갖는 매니퓰레이터의 운동에너지와 포텐셜 에너지를 구하고, 운동 에너지 식에서 매니퓰레이터 관성 모멘트 행렬 (manipulator inertia matrix)를 구한다. An inertia redistribution technique for liberalizing and reducing the complexity of manipulator dynamics with a parallel drive mechanism is presented in this paper. The dynamic design method is based on eliminating nonlinear terms, such as Coriolis, centrifugal and gravity torque in the kinetic and the potential energy of a manipulator. A set of design criteria regarding the inertia properties of links is derived. The resulting manipulator dynamics can be greatly simplified for each robot. This paper particularly presents that it is possible to completely linearize the manipulator dynamics with a parallel drive mechanism.

평행사변형 기구를 이용한 평면 병렬형 병진운동 기구 개발

김한성(Han Sung Kim) Korean Society for Precision Engineering 2007 한국정밀공학회지 Vol.24 No.8

In this paper, two types of novel planar Translational Parallel Manipulators (TPMs) by using parallelogram mechanism are conceived. One is made up of two Pa-P (Parallelogram-Prismatic) legs connecting the base to the moving platform. The other consists of two P-Pa legs, which is the kinematic inversion of the former. Since connecting links in a parallelogram mechanism are subject to only tensile/compressive load and all the heavy actuators are mounted at the base, the proposed manipulators can be applied for planar positioning/assembly tasks requiring high stiffness and high speed. The position, velocity, and statics are analyzed, and the design methodology using prescribed workspace and velocity transmission capability is presented. Finally, two types of prototype manipulators have been developed.

우리나라와 미국 수학 교과서의 과제 비교: 평행사변형 조건을 중심으로

정혜윤,이경화 대한수학교육학회 2016 학교수학 Vol.18 No.4

The purpose of this study is to analyze mathematical tasks of Korea and the USA textbooks focused on conditions for parallelograms. In this study, structures of task, types of proof and reasoning, and levels of cognitive demand are investigated. The conclusion is as follows: First, with respect to structures of task, structures presented in the USA textbooks are more diverse. Second, with respect to types of proof and reasoning, Korea and the USA prefer IC task and DA task. And task types presented in the USA textbooks are more diverse. Third, with respect to levels of cognitive demand, in both Korea and the USA textbooks, PNC task and PWC task account most. And compared to the USA, Korea prefer algorithms. In addition, we find out implications for reconstruction of Korea textbook. It is as follows: First, with respect to structures of task and types of proof and reasoning, the diversity of composition needs to be raised. Second, with respect to levels of cognitive demand, the concentration in PNC task needs to be declined. And levels of cognitive demand on types of tasks need to be reconsidered. Third, with respect to tasks' topic and material, internal and external connectivities of mathematics need to be strengthened. 이 논문에서는 우리나라와 미국 수학 교과서에서 다루고 있는 평행사변형이 되기 위한 조건 관련 과제를 과제의 구조, 증명과 추론 유형, 그리고 인지적 노력 수준에 따라 비교 분석하였다. 이를 통해 두 나라 교과서 과제의 공통점과 차이점을 분석하였다. 그 결과는 다음과 같다. 첫째, 과제 구조와 관련하여, 우리나라 교과서에 비해 미국 교과서에 제시된 과제의 구조가 더 다양하다. 둘째, 증명과 추론 유형과 관련하여, 우리나라와 미국 교과서 모두 IC 과제와 DA 과제의 구성 비율이 높으며, 우리나라 교과서에 비해 미국 교과서에 제시된 과제의 유형이 더 다양하다. 셋째, 과제의 인지적 노력 수준과 관련하여, 우리나라와 미국 교과서 모두 PNC 과제와 PWC 과제가 대부분을 차지하며, 우리나라의 경우 미국에 비해 구체적인 알고리즘적 절차를 이용하는 수학 과제를 제시하는 비율이 높다. 차이점을 토대로 우리나라 교과서 재구성에 필요한 다음과 같은 시사점을 얻을 수 있었다. 첫째, 과제의 구조 및 증명과 추론 유형과 관련하여, 구성의 다양성을 높여야 한다. 둘째, 과제의 인지적 노력 수준과 관련하여, PNC 과제에 대한 편중현상을 완화해야 하며, 과제 유형별 인지적 노력 수준에 대한 재고가 필요하다. 셋째, 과제의 주제 또는 소재와 관련하여, 수학 내적, 외적인 상황과의 연결성이 강화된 과제를 도입할 수 있는 방안의 재고가 필요하다.

F/T 센서를 이용한 이중 평행사변형 기구의 이동 경로 시각화

정상화,서호진 한국공작기계학회 2008 한국공작기계학회 추계학술대회논문집 Vol.2008 No.-

There are many technical progresses in dental implantology. Computer-guided navigation has proven a valuable tool in several surgical disciplines. Although the navigation technique facilitates the positioning, the image guided adjustment of the angle cannot be attained easily in the dental surgery. One of the main difficulties to be expected is the weak frequency of clinically established the tracking system. Furthermore, the influence of random factors such as trembling cannot be substantially eliminated by the mere computer assisted navigation. In this paper, visualization of motion trajectory in double parallelogram mechanism based on force/torque sensor is studied. The robot and the operator perform an task by cooperative manipulation. The force/torque sensor is attached to the tool and specifically designed for visualization during the implant surgery. Data acquisition board, LabVIEW software and ATI force/torque sensor used for smooth and accurate sensing. The double parallelogram mechanism can provide a fixed entry point during the operation process, enhance safety and quality of the surgery, and give facilities for surgeons.

통합예측을 이용한 삼차원 메쉬의 기하정보 부호화 알고리듬

안정환,호요성 대한전자공학회 2003 電子工學會論文誌-SP (Signal processing) Vol.40 No.3

The conventional parallelogram prediction uses only three previously traversed vertices in a single adjacent triangle; thus, the predicted vertex can be located at a biased position. Moreover, vortices on curved surfaces may not be predicted effectively since each parallelogram is assumed to lie on the same plane. In order to improve the prediction performance, we use all the neighboring vertices that precede the current vertex. After we order vortices using a vertex layer traversal algorithm, we estimate the current vertex position based on observations of the previously coded vertex positions in the layer traversal order. The difference between the original and the predicted vertex coordinate values is encoded by a uniform quantizer and an entropy coder. The proposed scheme demonstrates improved coding efficiency for various VRML test data. MPEG-4 삼차원 메쉬 모델 압축(3DMC) 표준에서 사용되는 평행사변형예측 방법은 예측하고자 하는 꼭지점이 인접한 꼭지점들과 같은 평면상에 있다고 가정하여 하나의 삼각형 내에 있는 인접한 세 개의 꼭지점 좌표 값만을 이용하므로 예측 효율이 좋지 않다. 본 논문에서는 삼각형 주변의 꼭지점 좌표값과 인접하는 삼각형 사이의 사잇각을 고려한 통합예측을 이용하여 삼차원 메쉬 모델의 기하정보를 부호화하는 방법을 제안한다. 우선 제안한 꼭지점 계층탐색 방법으로 위상학적으로 거리가 가까운 점들을 탐색하여 정렬된 값들의 기하학적 상관도를 높이고, 정렬된 삼차원 메쉬의 꼭지점 순서에 따라 주변의 꼭지점 값들을 이용하여 현재 꼭지점 값을 예측한다. 본 논문에서 제안한 통합예측 방법은 다양한 VRML 포맷의 테스트 모델에 대해서 기존의 MPEG-4 3DMC의 평행사변형예측 방법보다 우수한 성능을 보인다.

평면도형의 넓이 지도 방법에 대한 고찰 - 귀납적 방법 대 문제해결식 방법 -

강문봉,김정하 대한수학교육학회 2015 수학교육학연구 Vol.25 No.3

Korean students are taught area formulas of parallelogram and triangle by inductive reasoning in current curriculum. Inductive thinking is a crucial goal in mathematics education. There are, however, many problems to understand area formula inductively. In this study, those problems are illuminated theoretically and investigated in the class of 5th graders. One way to teach area formulas is suggested by means of process of problem solving with transforming figures. 새 교육과정에서는 평행사변형과 삼각형의 넓이 공식을 귀납 추론으로 지도한다. 귀납적 사고는 수학교육에서 매우 중요한 목표이다. 그러나 귀납적으로 도형의 넓이 공식을 추론하는 데는 많은 문제가 있다. 이론적으로 그리고 초등학교 5학년을 대상으로 한 조사를 통해 그러한 문제를 드러내고, 도형을 변형하는 문제해결 과정으로 넓이 공식을 지도하는 방법을 제안한다.