파워 게이팅 설계에서 IR Drop에 견고한 셀 배치 방법

권석일(Seok Il Kwon),한태희(Tae Hee Han) 대한전자공학회 2016 전자공학회논문지 Vol.53 No.6

파워 게이팅은 반도체 칩의 누설전류(leakage current)를 감소시키는 데 효과적인 기술로 알려져 있으며, 전원 차단용 파워 게이팅 셀 (power-gating cell, PGC)에서의 IR drop 증가로 인한 성능 및 신뢰성 저하에 대해 많은 연구가 이루어져왔다. 그러나 최신 공정에서는 트랜지스터 사이즈 감소 추세에도 불구하고 금속 배선의 스케일링이 제한됨에 따라, IR drop에 견고한 파워 게이팅 설계 시 셀 배치와 금속 배선 면적을 고려한 새로운 접근 방식이 필요하다. 본 논문에서는 셀 점유율(cell utilization)과 소모 전류에 근거한 로직 셀 배치 기법을 통해 PGC 면적 및 IR drop을 개선한 파워 게이팅 설계 방법을 제안한다. 28nm 공정으로 제조된 스마트폰용 어플리케이션 프로세서(Application processor, AP) 내 고속 디지털 코어에 적용한 결과 기존 PGC 배치 기법 대비 PGC 면적은 12.59∼16.16%, 최대 IR drop은 8.49% 감소함을 확인하였다. Power gating is one of effective techniques for reducing leakage current in semiconductor chip. However, power gating cell (PGC) which is used to switch the power source causes performance degradation and the associated reliability problem by increasing IR drop. However, the newly raised problem caused by different scaling properties between gates and metal wires demands additional considerations in power gating design. In this paper, we propose a robust cell placement based power gating design method for reducing the area for power gating cell and metal routing thus to meet IR drop requirement. Experimental results by applying the proposed techniques on the application processor for smartphone fabricated in 28nm CMOS process show that power gating cell area is reduced by 16.16% and maximum IR drop value is also decreased by 8.49% compared to existing power gating cell placement techniques.

초.중등 수학 교과서에서 기하 양 사이의 비례관계의 전개 방식에 대한 역사적 분석

권석일,홍진곤,Kwon Seok-Il,Hong Jin-Kon 한국수학사학회 2006 Journal for history of mathematics Vol.19 No.2

현 중학교 기하는 그 내용적 근원을 $\ll$Eulcid원론$\gg$ 에 두고 있으나, 그 체제 및 내용 전개 방식에 있어서는 $\ll$Eulcid원론$\gg$과 적지 않은 차이가 있다. 이는 현 수학 교과서의 기하 부분이 $\ll$Eulcid원론$\gg$이 가지고 있는 수학적 엄밀성과 형식성을 완화시켜 교육적으로 건전한 출발점을 찾고자 하였던 여러 파지 시도를 반영하고 있기 때문이다. 특히, 기하의 내용 중에서 기하 양 사이의 비례관계는 Euclid 당시의 그것과 오늘날의 방법이 매우 큰 차이를 보이고 있으며, 이는 비례관계가 교육적 난점을 가지고 있었음을 드러낸다. 본 논문은 비례관계를 교육함에 있어서의 어려움을 극복하고자 시도되었던 변화 과정을 역사적으로 고찰하여 이로부터 중학교 기하 교육에 대한 시사점을 도출하고자 한다. The content and method of geometry taught in secondary school is rooted in 'Elements' by Euclid. On the other hand, however, there are differences between the content and structure of the current textbook and the 'Elements'. The gaps are resulted from attempts to develop the geometry education. Specially, the content and method for the proportional relations of geometric figures has been varied. In this study, we reviewed the changes of the proportional relations of geometric figures with pedagogical point of view. The conclusion that we came to is that the proportional relations in incommensurable case Is omitted in secondary school. Teacher's understanding about the proportional relations of geometric figures is needed for meaningful geometry education.

분석의 환원적 기능이 대수 발달에 미친 영향

김재홍,권석일,홍진곤,Kim, Jae-Hong,Kwon, Seok-Il,Hong, Jin-Kon 한국수학사학회 2007 Journal for history of mathematics Vol.20 No.3

이 연구의 목적은 분석의 환원적 기능이 대수 발달 과정에 중요한 역할을 하였음을 밝히는 것이다. 이를 위하여 먼저 고대 그리스 시대의 분석을 환원적 분석과 파푸스식의 분석으로 나누어 정리하여 이 양자에서 모두 환원적 성격의 분석이 작용하고 있음을 보였다. 파푸스식의 분석 및 종합의 과정은 변환, 탐색, 작도, 논증의 네 단계로 나누어 볼 수 있으며, 이 중 변환은, 해법이 실제로 존재하는지의 여부와 별개로 주어진 문제가 풀리기 위한 조건을 또 다른 문제로 변환하는 과정을 일컫는 것으로 일종의 환원이라고 볼 수 있다. 수학자들은 분석의 환원적 기능에 힘입어 새로운 문제를 만들어내며, 역사의 어떠한 순간에 이르러서는 새로운 관점에서 수학을 바라볼 수 있게 된다. 기호 대수가 탄생하는 과정 이면에는 분석적 사고가 그 바탕을 이루고 있으며, 분석의 환원적 기능은 기호 대수의 발달에 있어 중요한 역할을 하였다. In this study, we explored the role of analysis in the algebra development. For this, we classified ancient geometric analysis into an analysis by reduction and a Pappusian problematic analysis. this shows that both analyses have the function of reduction. Pappus' analysis consists of four steps; transformation, resolution, construction, demonstration. The transformation, by which conditions of given problem is transformed into other conditions which suggest a problem-solving, seems to be a kind of reduction. Mathematicians created new problems as a result of the reductional function of analysis, and became to see mathematics in the different view. An analytical thinking was a background at the birth of symbolic algebra, the reductional function of analysis played an important role in the development of symbolic algebra.

케일리 공식의 네 가지 증명

서승현,권석일,홍진곤,Seo, Seung-Hyun,Kwon, Seok-Il,Hong, Jin-Kon 한국수학사학회 2008 Journal for history of mathematics Vol.21 No.3

수학의 역사에서는 이미 발견되어 논증된 정리를 새로운 방법으로 공략함으로써 그 정리의 깊은 의미를 드러내는 작업의 기록을 쉽게 찾을 수 있다. 이 연구는 직관적으로 비교적 이해하기 쉬운 소재인 수형도를 대상으로 하여, 꼭지점의 집합이 결정되었을 때 수형도의 개수를 결정하여 주는 케일리 공식(Cayley formula)의 증명에 대한 서로 다른 네 가지 접근방법을 소개하는 것을 목적으로 한다. 네 가지 증명은 수형도의 성질로부터 유도된 재귀적 관계식을 이용한 케일리의 증명에서부터 특정한 수학적 대상과 수형도 사이의 일대일대응 관계에 주목하는 나머지 세 가지 증명으로 이루어진다. 특히, 마지막 증명은 순수한 수학적 작업이 다른 분야에 강력한 도구를 제공하는 전형적인 예를 보여준다. In this paper, we introduce four different approaches of proving Cayley formula, which counts the number of trees(acyclic connected simple graphs). The first proof was done by Cayley using recursive formulas. On the other hands the core idea of the other three proofs is the bijective method-find an one to one correspondence between the set of trees and a suitable family of combinatorial objects. Each of the three bijection gives its own generalization of Cayley formula. In particular, the last proof, done by Seo and Shin, has an application to computer science(theoretical computation), which is a typical example that pure mathematics supply powerful tools to other research fields.

대수 발달의 단계에 관한 드모르간의 관점 연구

유미경,김재홍,권석일,박선용,최지선,박교식,Yu, Mi-Kyung,Kim, Jae-Hong,Kwon, Seok-Il,Park, Sun-Yong,Choi, Ji-Sun,Park, Kyo-Sik 한국수학사학회 2008 Journal for history of mathematics Vol.21 No.4

이 연구에서는 대수 발달의 단계에 관한 드모르간의 관점을 그가 사용한 용어를 바탕으로 산술, 보편산술, 기호대수, 의미적 대수의 순서로 나누어 논의한다. 드모르간은 즉각적으로 계산 결과를 얻는 산술과 문자기호를 사용하는 보편산술을 구분하였다. 그에 의하면, 보편산술은 산술에서 대수로 이행하는 과도기적 단계인 바, 이 단계에서 이상하고 불합리한 현상들이 발생하기에 대수가 필요하게 된다. 대수 발달의 단계에 관해 드모르간이 가진 관점의 특징은 기호의 의미가 사라진 규칙 체계 즉, 기호적 계산법을 얻은 후, 이 기호적 계산법 자체를 논리적으로 만들기 위해 기호에 확장된 의미를 부여하여 의미적 계산법으로 만든다는 것이다. 단일대수는 -1에 확장된 의미를 부여함으로써 만들어지고, 이중대수는 $\sqrt{-1}$에 확장된 의미를 부여함으로써 만들어진다. 드모르간에 의하면, 대수 발달에서는 앞에서 제시된 체계의 불완전성에 주목하여 다음 체계를 이끌어낸다. In this paper, we discuss about De Morgan's view on the development of algebra according to following distinctions: arithmetic, universal arithmetic, symbolic algebra, significant algebra. De Morgan thought that the differences between arithmetic and universal arithmetic lie in the usage of letters and the immediate performance of computation. In his viewpoint, universal arithmetic is a transitional phase, in which absurd phenomena occur, from arithmetic to algebra and these absurd phenomena call for algebra. The feature of De Morgan's view on the development of algebra is that symbolic calculus which consist of symbol system without symbol's meaning is acquired, then as extended meanings are furnished to symbols, symbolic calculus become logical so significant calculus is developed. For example, Single algebra is developed, as an extended meaning is furnished to a symbol -1, and double algebra is developed, as an extended meaning is furnished to a symbol $\sqrt{-1}$. According to De Morgan, a symbol system is derived from the incompleteness of a prior symbol system.

예비초등교사들이 분수 포함제의 몫과 나머지 구하기에서 범하는 오류에 대한 분석

박교식 ( Kyo Sik Park ),권석일 ( Seok Il Kwon ) 한국수학교육학회 2011 初等 數學敎育 Vol.14 No.3

본 연구에서는 예비초등교사 65명을 대상으로 그 결과가 이산량과 나머지로 표현되는 포함제 맥락의 분수 나눗셈 문장제를 풀도록 하여 그 풀이과정을 수집하고, 65명 중 임의로 선발된 5명과의 심층 면담을 실시하여 이를 분석하였다. 분석 결과 예비초등교사 중 상당수는 분수 나눗셈의 계산 결과를 해석하는 과정에서 자연수를 제외한 진분수 부분 또는 1보다 작은 소수 부분의 의미를 정확하게 이해하고 있지 못했다. 포함제 맥락의 분수 나눗셈을 포함제 맥락의 자연수 나눗셈으로 바꾸어 계산해 버리는 오류를 범하는 경우도 있었다. 이러한 연구 결과는 예비초등교사들에게 문장제를 만드는 과정 뿐 아니라 문장제를 주어진 맥락에 맞게 해결하고 그 계산 결과를 주의 깊게 해석하는 경험을 포함하는 치밀한 교육프로그램을 제공할 필요가 있음을 시사한다. We analyzed errors committed by Korean prospective elementary teachers in finding and interpreting quotient and remainder within measurement division of fractions. 65 prospective elementary teachers were participated in this study. They solved a word problem about measurement division of fractions. We analyzed solutions of all participants, and interviewed 5 participants of them. The results reveal many of these prospective teachers could not tell what fractional part of division result means. Thses results suggest that teacher preparation program should emphasize interpreting calculation results within given situations.

19세기 대수학 및 논리학 발달에서의 드모르간의 위상

최지선,박선용,김재홍,권석일,박교식,Choi, Ji-Sun,Park, Sun-Yong,Kim, Jae-Hong,Kwon, Seok-Il,Park, Kyo-Sik 한국수학사학회 2009 Journal for history of mathematics Vol.22 No.4

이 연구의 목적은 19세기 대수와 논리 분야에서 드모르간이 구체적으로 어떻게 기여했는지를 살펴보는 것이다. 19세기 대수 분야 발달과정에서 드모르간은, 산술에서 단순히 유추한 형태의 기호대수를 넘어서, 형식으로부터 구성하는 수학의 가능성을 인식하고 이를 명시적으로 나타내어 추상대수학으로 나아갈 수 있는 기초를 닦았다. 드모르간은 19세기 논리학 분야 발달과정에서 아리스토텔레스 논리학의 재구성자인 동시에 수학적 논리학의 창시자로 간주할 수 있다. 그의 연구로 논리학이 철학에서 분리되어 나와 수학과 더욱 긴밀하게 결합하게 되어 수학적 논리학이 하나의 독립적 학문으로 자리 잡게 되었다. 그의 연구 활동을 통하여 우리는 19세기 수학의 발달에서 대수학과 논리학이 현재의 상태로 진화하여 가는 모습을 좀 더 명확하게 알 수 있다. The purpose of this study is what exactly De Morgan contributed to abstract algebra and mathematical logic. He recognised the purely symbolic nature of algebra and was aware of the existence of algebras other than ordinary algebra. He madealgebra as a science by introducing the ordered field and made the base for abstract algebra. He was one of the reformer of classical mathematical logic. Looking into De Morgan's works, we made it clear that the developments of algebra and mathematical logic in 19C.

드모르간의 관점에 따른 수학영재용 음수 지도 프로그램 개발

권석일 이화여자대학교 사범대학 교과교육연구소 2011 교과교육학연구 Vol.15 No.2

이 논문은 드모르간의 음수 지도 관점을 기초로 하여 수학영재용 음수 지도 프로그램을 개발하는 것을 목적으로 한다. 드모르간은 19세기 대수 발달과정에서 추상대수학으로 나갈 수 있는 기초를 닦은 수학자인 동시에, 당시로서는 드물게도 초보 수학 학습자를 위한 다양한 저술을 남긴 학자이다. 드모르간은 대수를 보편산술, 기호대수, 의미적 대수로 나누어 설명하면서 각 단계에 따라 음수를 서로 다른 관점에서 접근하도록 하였다. 드모르간의 음수 지도 방법은 수학영재용 프로그램으로 다양한 잠재력을 가지고 있으나 그 현장 적용과정은 드모르간의 관점을 그대로 따르기 어려운 점이 있다. 프로그램을 적용할 학생들은 대부분의 경우 음수의 성질을 이미 학습한 상태이므로 음수 개념 자체를 습득하는 데 이 프로그램을 적용하는 것은 불가능하다. 그러나, 드모르간이 제시한 과정의 상세하면서도 점진적인 특징을 고려할 때, 음수 자체에 대한 수학적 탐구의 도구로 활용하는 것이 가능할 것으로 보인다. 이 연구에서는 드모르간의 관점에 따른 음수 지도 프로그램 개발에 앞서 프로그램의 현장 적용 가능성을 탐색하기 위하여 대학부설영재교육원의 중학교 2학년 영재학생 4명을 대상으로 2시간씩 2회에 걸쳐 실험수업을 실시하였다. 실험 결과 영재학생들은 교사가 준 제한조건 안에서 증명한다는 것의 의미를 이해할 수 있었고, 교사가 제시하지 않은 음수의 성질에 대한 탐구를 시도하는 등 음수에 대한 탐구 과정에 흥미와 능력을 보여주었다. 이 연구에서는 ‘보편산술 체계 안에서의 방정식을 통한 뺄셈 탐구’, ‘불가능한 뺄셈에 대한 규칙 탐구’, ‘불가능한 뺄셈에 대한 의미의 구성을 통한 음수, 복소수의 통합적 이해’의 3단계로 나누어 수학영재용 음수지도 프로그램을 구안하였다. 이 프로그램은 수학영재학생을 위한 음수 개념에 대한 탐구와 재음미 방법으로서, 공리적 수학 게임으로서 그 의의를 가질 것으로 보인다. This study attempted the design of a program for gifted children based on De Morgan's view of the development of algebraic and negative numbers. De Morgan's view of the development of algebra makes the following distinctions: universal arithmetic, symbolic algebra, and significant algebra. The important feature of De Morgan's view of the development of algebra is that symbolic calculus, which consists of symbol systems without symbol meaning, is acquired; then, as extended meanings are furnished to symbols, symbolic calculus becomes logical and significant calculus is developed. In De Morgan's approach, the mathematical conceptions of students must be formulated progressively. To examine the feasibility of De Morgan's approach, a pilot study was designed: a program for gifted children, exploring impossible subtraction, investigating the rule for impossible subtractions, and constructing the significance of impossible subtraction in succession.