Birkhoff 공리계의 교수학적 분석

권석일 한국교육과정평가원 2009 교육과정평가연구 Vol.12 No.3

School geometry has a assumption that a magnitude itself and the proportional relation of magnitude can be numbered. We analyze this kind of assumptions didactically. For this didactical analysis, we examine the Birkhoff's axiomatic system which connects numbers and magnitude by line and angle measure, and the geometry textbooks based on Birkhoff's axiomatic system. 현 학교수학의 기본적인 가정 중 하나는 학교수학에서 다루는 기하적 양에 대하여 언제나 유일 한 실수를 대응시킬 수 있으며, 기하적 양 사이의 비례관계에 그 각각의 양에 대응되는 실수의 비 례관계를 대응시킬 수 있다는 것이다. 이 논문은 이와 같은 기하적 양과 실수 사이의 연결성에 대 한 교수학적 분석을 목적으로 한다. 이를 위하여 실수 체계의 성질을 기본 가정으로 삼고 선분의 길이와 각의 크기에 대한 공준을 통하여 기하적 양과 실수를 연결하는 Birkhoff의 공리계를 살펴보 고, 그 공리계가 구현된 교과서와 현행 교과서를 비교하여 분석한다. 이러한 분석은 Birkhoff의 공 리계를 바탕에 두고 구성한 교과서가 그 구체적인 진술 양상에 있어서는 차이를 보일 수 있다는 것 을 보여준다. 이러한 진술 방식의 차이에는 논리적으로는 생략 가능한 가정일지라도 교수학적 고려 에 의하여 수학적인 아름다움을 일부 희생할 수 있다는 학교수학의 기본철학이 숨어있다.

드모르간의 음수 지도 방법 연구

권석일,김재홍,박선용,박교식,최지선 대한수학교육학회 2008 학교수학 Vol.10 No.4

The objective of this paper is to study De Morgan's thoughts on teaching and learning negative numbers. We studied De Morgan's point of view on negative numbers, and analyzed his didactical approaches for negative numbers. De Morgan make students explore impossible subtractions, investigate the rule of the impossible subtractions, and construct the signification of the impossible subtractions in succession. In De Morgan' approach, teaching and learning negative numbers are connected with that of linear equations, the signs of impossible subtractions are used, and the concept of negative numbers is developed gradually following the historic genesis of negative numbers. Also, we analyzed the strengths and weaknesses of the De Morgan's approaches compared with the mathematics curriculum. 이 논문은 드모르간의 음수 지도 방법을 연구하는 것을 목적으로 한다. 이를 위하여 우선 드모르간이 제시한 대수발달 단계에 따라 드모르간의 음수관을 정리하고, 드모르간의 음수 지도 방법을 불가능한 뺄셈의 탐색, 불가능한 뺄셈에 대한 수정규칙 탐구, 불가능한 뺄셈에 대한 의미의 구성의 3단계로 나누어 고찰하였다. 드모르간의 음수 지도 방법의 특징은 방정식 지도와 결합되었다는 점, 불가능한 뺄셈 기호를 사용한다는 점, 역사발생적 과정을 준수하는 점진적 형식화를 추구한다는 점이다. 또한, 드모르간의 방법을 학교수학의 방법과 비교함으로써, 그 장점과 단점을 분석하였다. 드모르간은 수학적 실재를 형식과 의미를 동시에 갖는 것으로 보았던 자신의 수학관에 따라 음수를 설명하였으며, 대수의 발달 단계에 맞추어 음수를 서로 상이한 존재로 간주하였고 이에 따라 여러 단계를 거쳐 음수를 지도하도록 하고 있다. 그의 이러한 세심한 조처는 음수의 지도가 단시간에 마무리될 수 없는 성격의 것임을 분명히 인식하게 해 준다.

우리나라 초등학교 수학 교과서에서의 입체도형 관련 지도 내용에 대한 분석과 비판

권석일,박교식 대한수학교육학회 2011 수학교육학연구 Vol.21 No.3

This paper focused on three drawbacks exposed in subject matter related to solid figures in elementary school math textbook. First, general solid figure are introduced before rectangular parallelepiped and cube in fifth grade math textbook, and prism and pyramid in sixth grade math textbook are introduced. Second, the process of abstraction from concrete objects to solid figures is insufficient in sixth grade math textbook. Third, some definitions in subject matter related to solid figures are inconsistent and ambiguous. The following four suggestions can be put forward as a conclusion based on these results. First, subject matter in textbooks must be correspond with that in curriculum. Second, it is necessary to inform teachers of range of subject matter through teachers guide book and manual for curriculum definitely. Third, each grade subject matter in math textbooks must be reexamined. Fourth, regular modification of math textbooks must be possible institutionally. 본 논문에서는 2007 교육과정에 따른 <5-1>, <6-1> 교과서에서 특정한 입체도형을 다루기에 앞서 일반적인 입체도형을 도입하고 있다는 것, <5-1>, <6-1>, <6-2> 교과서에서 구체적인 물건으로부터 입체도형을 추상해 내는 과정이 생략되어 있다는 것, 입체도형 관련 지도 내용의 몇몇 정의가 일관적이지 않고 모호하다는 세 가지에 초점을 맞추어 교과서에서의 입체도형 관련 지도 내용을 비판적으로 분석하고 있다. 이러한 논의를 바탕으로 다음의 네 가지를 제안할 수 있다. 첫째, 교과서의 지도 내용과 교육과정에서 규정하는 지도 내용을 일치시켜야 한다. 둘째, 초등교사에게 지도 내용의 범위를 지도서와 교육과정 해설서를 통해 상세히 알려줄 필요가 있다. 셋째, 교과서의 학년별 지도 내용을 재검토해야 한다. 넷째, 교과서의 상시 수정이 제도적으로 가능해야 한다.

수학 수업과 스토리텔링

권석일 수학교육철학연구회 2020 수학교육철학연구 Vol.2 No.1

이 글에서는 수학교육에서 스토리텔링을 바라보는 관점을 크게 해체적, 전통적, 실천적 관점으로 구분한다. 이 중 하나를 취하여 스토리텔링을 바라보고 사용하면 다른 두 관점을 취할 때와 주목하는 문제가 달라진다. 스토리텔링은, 해체적 관점에서는 의미를 생성하는 과정이고, 전통적 관점에서는 이야기 내용과 이야기 행위의 결합체이며, 실천적 관점에서는 수학 개념 형성 과정에 참여하는 교육 주체의 능동적 표현 활동이다. 수학교육에서 스토리텔링을 바라보고 사용할 때, 해체적 관점을 취하면 교육자 혹은 학습자가 자신의 수학적 경험을 서사화하는 과정의 유의미성에 주목하게 되고, 전통적 관점을 취하면 이야기 행위를 통하여 전승되는 내용 안에 담긴 수학적 의미에 주목하게 되며, 실천적 관점을 취하면 수학 수업에서 이야기를 공유하는 표현 활동의 수학적 유의미성에 주목하게 된다. 이와 같이 용어 스토리텔링을 사용하는 방식이 수학교육 내의 여러 연구에서 차이를 가지고 있어 우리가 스토리텔링의 개념을 이해할 때 어려움을 겪게 된다. 이 연구는 스토리텔링을 보는 관점이 하나로 묶이지 않고 분화되어 있음을 밝혀서 수학교육에서 용어 스토리텔링의 사용에 대한 혼란을 간접적으로 정돈하고자 하는 목적을 갖는다.

초.중등 수학 교과서에서 기하 양 사이의 비례관계의 전개 방식에 대한 역사적 분석

권석일,홍진곤,Kwon Seok-Il,Hong Jin-Kon 한국수학사학회 2006 Journal for history of mathematics Vol.19 No.2

현 중학교 기하는 그 내용적 근원을 $\ll$Eulcid원론$\gg$ 에 두고 있으나, 그 체제 및 내용 전개 방식에 있어서는 $\ll$Eulcid원론$\gg$과 적지 않은 차이가 있다. 이는 현 수학 교과서의 기하 부분이 $\ll$Eulcid원론$\gg$이 가지고 있는 수학적 엄밀성과 형식성을 완화시켜 교육적으로 건전한 출발점을 찾고자 하였던 여러 파지 시도를 반영하고 있기 때문이다. 특히, 기하의 내용 중에서 기하 양 사이의 비례관계는 Euclid 당시의 그것과 오늘날의 방법이 매우 큰 차이를 보이고 있으며, 이는 비례관계가 교육적 난점을 가지고 있었음을 드러낸다. 본 논문은 비례관계를 교육함에 있어서의 어려움을 극복하고자 시도되었던 변화 과정을 역사적으로 고찰하여 이로부터 중학교 기하 교육에 대한 시사점을 도출하고자 한다. The content and method of geometry taught in secondary school is rooted in 'Elements' by Euclid. On the other hand, however, there are differences between the content and structure of the current textbook and the 'Elements'. The gaps are resulted from attempts to develop the geometry education. Specially, the content and method for the proportional relations of geometric figures has been varied. In this study, we reviewed the changes of the proportional relations of geometric figures with pedagogical point of view. The conclusion that we came to is that the proportional relations in incommensurable case Is omitted in secondary school. Teacher's understanding about the proportional relations of geometric figures is needed for meaningful geometry education.

초등학교 수학 교과서에서의 용어 사용과 정의 방식에 관한 비판적 분석 : 몇 가지 예를 중심으로

권석일,박교식 한국초등수학교육학회 2011 한국초등수학교육학회지 Vol.15 No.2

본 연구에서는 초등학교 수학 교과서에서의 용어 사용에서, 교육과정과 교과서 사이의 불일치, 용어의 이중적 사용, 용어 정의 방식의 비일관성에 관해 사례를 들어 논의하고 있다. 사례 분석의 결론으로 다음의 네 가지를 제안할 수 있다. 첫째, 교과서와 교육과정을 일치시켜야 한다. 둘째, 교과서에서 사용하는 용어의 의미를 명확히 규정해야 한다. 셋째, 같은 종류의 용어를 정의할 때는 일관성 있게 정의해야 한다. 넷째, 교과서 개발 시스템의 보완이 필요하다. 본 연구의 결과는 새로운 교과서의 개발 및 교육과정의 수정․보완, 그리고 더 나아가 새로운 교육과정의 개발에 도움을 줄 수 있을 것이다. In this study, some discordance between curriculum and textbooks in usage of mathematics terms, dual meaning of some terms in the usage of those terms in textbooks, and inconsistency of defining methods of terms are discussed through some examples. Generally it can not be expected that there are any discordance between curriculum and textbooks, because textbooks are developed in the basis of curriculum. But actually, some discordance between curriculum and textbooks can be found out. Some terms are used with two different meaning, geometric figure and measure. It can be causative of troubles in teaching and learning mathematics. Terms of same kind can be expected to be consistent in the way of defining, but some examples defined inconsistently can be found out. The following four suggestions are offered as conclusions. First, textbooks must be consistent with curriculum. Second, The meaning of terms used in textbooks must be stipulated obviously. Third, terms of same kind must be defined consistently. Fourth, it is necessary to supplement a system for developing elementary mathematics textbooks. The result of this study can help develop new textbooks, and revise curriculum, and develop new curriculum.

도입부와 수업 내용의 관계에 중점을 둔 초등학교 수학 수업 분석 준거 개발

권석일 수학교육철학연구회 2022 수학교육철학연구 Vol.4 No.2

이 연구에서는 수업 설계에 대한 연구 결과가 현장에서 충분히 활용되지 않고 있다는 문제의식과 교사의 장기적인 자기반성적 연구가 수업에 대하여 충분히 이루어지지 않았다는 문제의식을 바탕으로 수업의 도입부와 수업 내용의 연결에 초점을 맞추어 초등학교 수학 수업 분석 준거를 개발하였다. 수업은 다양한 시계열에서 서로 관련을 맺고 있으며, 하나의 단위 수업에는 수업 내용뿐만 아니라 학생과 관련된 여러 요소가 복잡한 관계를 맺고 있다. 수업 분석은 수업이 가지는 복잡성을 고려하면서 장기적인 자기반성적 연구를 통해서 이루어질 필요가 있으며, 이 연구에서 개발된 분석 준거가 이에 도움을 줄 수 있을 것으로 기대한다.

드모르간의 관점에 따른 수학영재용 음수 지도 프로그램 개발

권석일 이화여자대학교 사범대학 교과교육연구소 2011 교과교육학연구 Vol.15 No.2

이 논문은 드모르간의 음수 지도 관점을 기초로 하여 수학영재용 음수 지도 프로그램을 개발하는 것을 목적으로 한다. 드모르간은 19세기 대수 발달과정에서 추상대수학으로 나갈 수 있는 기초를 닦은 수학자인 동시에, 당시로서는 드물게도 초보 수학 학습자를 위한 다양한 저술을 남긴 학자이다. 드모르간은 대수를 보편산술, 기호대수, 의미적 대수로 나누어 설명하면서 각 단계에 따라 음수를 서로 다른 관점에서 접근하도록 하였다. 드모르간의 음수 지도 방법은 수학영재용 프로그램으로 다양한 잠재력을 가지고 있으나 그 현장 적용과정은 드모르간의 관점을 그대로 따르기 어려운 점이 있다. 프로그램을 적용할 학생들은 대부분의 경우 음수의 성질을 이미 학습한 상태이므로 음수 개념 자체를 습득하는 데 이 프로그램을 적용하는 것은 불가능하다. 그러나, 드모르간이 제시한 과정의 상세하면서도 점진적인 특징을 고려할 때, 음수 자체에 대한 수학적 탐구의 도구로 활용하는 것이 가능할 것으로 보인다. 이 연구에서는 드모르간의 관점에 따른 음수 지도 프로그램 개발에 앞서 프로그램의 현장 적용 가능성을 탐색하기 위하여 대학부설영재교육원의 중학교 2학년 영재학생 4명을 대상으로 2시간씩 2회에 걸쳐 실험수업을 실시하였다. 실험 결과 영재학생들은 교사가 준 제한조건 안에서 증명한다는 것의 의미를 이해할 수 있었고, 교사가 제시하지 않은 음수의 성질에 대한 탐구를 시도하는 등 음수에 대한 탐구 과정에 흥미와 능력을 보여주었다. 이 연구에서는 ‘보편산술 체계 안에서의 방정식을 통한 뺄셈 탐구’, ‘불가능한 뺄셈에 대한 규칙 탐구’, ‘불가능한 뺄셈에 대한 의미의 구성을 통한 음수, 복소수의 통합적 이해’의 3단계로 나누어 수학영재용 음수지도 프로그램을 구안하였다. 이 프로그램은 수학영재학생을 위한 음수 개념에 대한 탐구와 재음미 방법으로서, 공리적 수학 게임으로서 그 의의를 가질 것으로 보인다. This study attempted the design of a program for gifted children based on De Morgan's view of the development of algebraic and negative numbers. De Morgan's view of the development of algebra makes the following distinctions: universal arithmetic, symbolic algebra, and significant algebra. The important feature of De Morgan's view of the development of algebra is that symbolic calculus, which consists of symbol systems without symbol meaning, is acquired; then, as extended meanings are furnished to symbols, symbolic calculus becomes logical and significant calculus is developed. In De Morgan's approach, the mathematical conceptions of students must be formulated progressively. To examine the feasibility of De Morgan's approach, a pilot study was designed: a program for gifted children, exploring impossible subtraction, investigating the rule for impossible subtractions, and constructing the significance of impossible subtraction in succession.

그림그리기 전략을 통한 초·중등수학의 연립방정식 지도 연결성 강화1

권석일,임재훈 대한수학교육학회 2007 수학교육학연구 Vol.17 No.2

이 논문은 이원일차연립방정식과 관련하여 초등수학과 중등수학의 연결성 문제를 분석한 것이다. 초등학교 수학 교과서와 중학교 수학 교과서에서 이원일차연립방정식 문장제가 다루어지는 방식을 연결성 측면에서 분석하고, 연결성을 강화하는 접근법을 제안하였다. 교과서 분석 결과 이원일차연립방정식 문장제에 대한 초등학교 수학 교과서와 중학교 수학 교과서의 접근법이 서로 연결되어 있지 않았다. 이에 이 논문에서는 이원일차연립방정식 문장제 해결에 그림그리기 전략을 도입하여 초등수학과 중등수학의 연결성을 강화하는 방안을 한 초등 6학년 아동의 사례를 통해 제시하였다.

초등학교 수학 수업 분석 준거 개발

권석일(Kwon, Seokil) 학습자중심교과교육학회 2017 학습자중심교과교육연구 Vol.17 No.11

이 연구에서는 수학 수업 성패에 직접적으로 영향을 주는 수업 도입부에 초점을 맞추어, 초등학교 수학 수업을 설계하거나 이미 구성된 수학 수업을 분석할 때 사용 할 수 있는 분석 준거를 개발하였다. 연구방법으로 설문, 집단 면담, 심층 면담, 내용 분석을 사용하였다. 개발된 분석 준거는 ‘구성 형식’, ‘설계 적절성’, ‘수업 실행 평가’의 3가지 영역으로 구분되었다. 구성 형식 영역에서는 학생 활동 형식, 정보 제공 형식, 소재·맥락, 전시 학습 내용 확인, 학습 내용 제시 등과 관련된 세부 준거가 개발 되었다. 설계 적절성 영역에서는 활동 형식 적절성, 정보 제공 형식 적절성, 전시 학습 연결, 본 수업 연결, 정리 부분 연결, 지적 흥미 자극, 학습자 수준 평가 등과 관련된 준거가 개발되었고, 수업 실행 평가 영역에서는 자료 준비도, 설계 구현, 학생 참여도, 우발 요인 등과 관련된 준거가 개발되었다. In this research, we developed the criteria for elementary mathematics class focusing on the class introduction department that directly affects the success or failure of mathematics classes. Questionnaires, group discussions, deep interviews, content analysis were used as research methods. The criteria developed was divided into three areas of configuration type , design appropriate , and class execution evaluation , and various detailed criteria were developed for each area. In the future, while being examined through various teacher groups and validated, it seems necessary to develop various types of criteria that can be used as necessary.