수학문장제 문제해결과정에서의 수학 학습부진·학습장애학생 인지상태 진단 : 규칙장모형의 적용

국문 초록 (Abstract)

수학 학습부진·학습장애학생에게 적절한 교육서비스를 제공하기 위해서는 수학에서 이들이 어려움을 겪는 부분이 무엇인지를 정확히 파악하는 것이 가장 중요하다. 그러나 학교 수학교육에서의 문제해결력에 대한 중요성과 관심에도 불구하고, 교육현장에서는 학생들의 사고과정보다는 결과에 더욱 관심을 보이고 있다. 학습자는 다양한 오개념을 가지고 있음에도 불구하고 같은 점수를 받은 개인들은 같은 능력자로 취급되어왔다. 그러나 이들의 각각의 인지과정은 전혀 다를 수 있다. 즉, 같은 총점을 받은 개인이라도 이들의 인지상태는 질적으로는 명백히 서로 다른 상태일 수 있다. 최근 교육계에서는 기존에 실시해오던 총점 위주의 평가에 대한 부정적인 시각과 비판으로 평가결과를 교수와 직접적으로 연계하도록 유용한 정보를 제공할 수 있다는 점에서 인지진단모형이 주목받고 있다. 인지진단모형은 학생들의 잠재적인 인지상태를 진단하고, 보다 효과적이고 세밀한 피드백을 제공하기 위해 교육 측정 분야에서 활발히 연구되어지고 있다. 인지진단모형은 개별 문항 응답을 통해 학생들의 문항 반응과 인지요소의 관계를 바탕으로 인지요소의 숙달 여부와 숙달 정도를 파악하여, 학생들의 능력, 과정, 기능 등을 나타내는 인지요소에 대한 상세 정보 프로파일을 제공해주는 통계적 모형이다(김희경, 한정아, 최숙기, 김부미, 2012).
인지진단모형 중에서도 본 연구에서는 규칙장모형을 적용하고자 한다. 규칙장모형은 대다수의 인지진단모형의 바탕이 되는 Q-행렬을 제안한 방법이면서, 다른 모형들과는 다르게 응답자의 반응 정보를 패턴으로 인식하고 처리한다는 특징을 가진다. 규칙장모형을 적용한다는 것은 학생들의 상태가 미리 상정된 인지상태로 분류되어진다고 가정하는 것이다(Birenbaum, Tatsuoka, & Yamada, 2004; Lee, Park, & Taylan, 2011).
학교 교육현장에서 교사들은 규칙장모형의 진단결과를 통해 문항을 풀 때 사용한 수학적 인지요소의 숙달 여부 및 개별 프로파일을 확인하여 학습자의 문제해결 과정에 관한 대략적인 정보를 파악할 수 있다. 교사는 학습자의 인지적 오류에 관한 정보를 바탕으로 학생들 각자 어떤 능력이 숙달되어 있고 어떤 능력이 부족한지에 대한 상세한 정보를 얻고 학습자가 왜 그렇게 사고하였는지를 더 깊이 파악할 수 있는 것이다.
따라서 본 연구에서는 수학 학습부진⋅학습장애학생들이 수학문장제 문제해결과정에서 어떠한 인지상태를 보이는지를 진단하고자 한다. 이를 위해 수학문장제 문제해결과정을 반영하는 인지요소를 추출하여 Q-matrix를 작성하고, 규칙장모형을 적용하여 분석하고자 하였다. 구체적으로 설정한 본 연구의 연구문제는 다음과 같다.

연구문제 1. 수학문장제 문제해결과정을 반영하여 제시한 Q-matrix는 타당한가?
연구문제 2. 일반학생과 수학 학습부진⋅학습장애학생의 수학문장제 문제해결관련 인지요소 숙달비율 및 인지요소 성취확률은 차이가 있는가?
연구문제 3. 수학문장제 문제해결과정에서 수학 학습부진⋅학습장애학생들의 인지상태는 어떻게 분류되는가?

연구대상은 서울, 수도권(경기·인천), 부산지역의 초등학교 4학년에 재학 중인 학생 977명이었으며, 977명의 학생 중 ‘수학 학습부진⋅학습장애학생’은 수학 검사결과가 백분위 점수를 중심으로 10% 이하인 학생들로 선정하였다. 검사의 내용은 초등학교 4학년 수학내용 중 ‘자연수의 사칙연산에 관한 수학문장제 문제’를 다루었다. 수학문장제 문제해결력 검사 개발은 2013년 1월부터 4월까지 문헌연구, 교육과정 분석 및 전문가 협의회를 실시하여 개발되었다. 우선 초등학교 교과서, 익힘책, 교사용 지도서 및 여러 국내·외 문헌연구를 통해 수학문장제 문제해결 관련 요소들을 추출하였다. 그 후, 10명의 전문가로 구성된 전문가 협의를 거쳐 9개의 인지요소(덧셈개념과 연산, 뺄셈개념과 연산, 곱셈개념과 연산, 나눗셈개념과 연산, 받아올림, 받아내림, 곱셈에서의 ‘0’처리, 단위개념, 유무관 정보 구별하기)를 최종적으로 확정하였다.
추출된 인지요소에 대하여서는 위계를 설정하여, 인지요소들 간의 직접적인 관계를 규명하는〔인지요소x인지요소〕차원의 A-matrix, 인지요소들 간의 직접적, 간적접인 관계를 규명하는〔인지요소x인지요소〕차원의 R-matrix를 작성하였다. 이를 토대로 문항과 인지요소 간의 관계를 나타내주는 최종적인 Q-matrix를 개발하고, 수학문장제 문제해결력 검사의 문항 수를 확정하였다. 또한 4학년 수학교육과정의 수와 연산 영역 내용체계를 분석하여 본 연구에서 사용할 수학문장제 문제해결력 검사 30문항을 개발하였다.
두 번의 예비검사를 통해 검사의 신뢰도, 문항의 난이도와 변별도 및 검사사행 지침을 수정하였고, 검사를 시행하기에 앞서, 검사시행 지침을 토대로 검사자 훈련을 실시하였다. 본 연구의 검사는 2013년 6월 개별 학교 검사 일정에 따라 각 반의 담임 교사들에 의해 수업시간에 50분 동안, 각 반 교실에서 실시되었다. 정답은 1점, 오답은 0점으로 채점되었으며, 채점자간 일치도는 100%였다.

연구문제에 따라 최종 코딩된 데이터들은 다음의 순서로 분석되었다. 먼저, 인지진단모형에서 학생을 정확하게 진단하고 이에 맞는 교수를 결정하는 가장 기본적이고 결정적인 역할을 하는 것이 Q-matrix이므로, Q-matrix가 전문가들의 합의된 의견임과 동시에, 각 인지요소가 포함된 이 Q-matrix가 과연 타당한 지를 통계적으로 확인해 볼 필요가 있다. 이를 위해 문항수준과 학생수준에서 중다회귀분석을 실시하여 Q-matrix의 타당도를 확인하였다.
또한 수학 학습부진⋅학습장애학생과 일반학생은 수학적으로 다른 특성을 가지고 있기 때문에 수학 학습부진⋅학습장애학생만이 가지고 있는 수학문장제 문제해결과제 상에서의 어려움이 무엇인지 파악할 필요가 있다. 이를 위해서 본 연구에서는 일반학생과의 비교를 통해 수학 학습부진⋅학습장애학생에게 우선적으로 교정되어야할 부분을 확인하고자 하였다. 이를 위하여 일반학생과 수학 학습부진⋅학습장애학생의 각 인지요소별 숙달비율과 성취확률의 차이를 t-검증을 통해 확인하였다.
마지막으로, 같은 점수를 보이는 학생들이 보유한 인지요소가 동일한지를 살펴보기 위하여, 규칙장모형 분석에 따라 개별적 수준에서 학생들의 인지상태를 분류하고자 하였다. 이를 위해 모수를 추정하고, 각 학생들의 인지요소 유형, 실제 관찰반응유형과 이상반응유형, 그에 따른 학생들의 능력모수(θ) 및 문항특이성 지수(ζ)를 AnyRSM(KSES, 2004) 프로그램을 활용하여 산출하였다. 산출된 각 응답자의 능력(θ, IRT 능력모수)과 문항특이성 지수(ζ)를 공간좌표로 변환하여 규칙장이라는 2차원 공간에 투영하여, Mahalanobis distance(D2)의 비교를 통해 가장 가까운 이상반응유형에 대응하여 분류하였다. 끝으로, 분류된 각 인지상태별 수학적 특성을 살펴보고, 이를 바탕으로 학습경로를 제시하였다.

분석결과 및 논의점은 다음과 같다.
첫째, 본 검사에서 제안한 Q-matrix를 통계적으로 검증한 결과, 유의하게 타당하였다. 문항수준과 학생수준에의 중다회귀분석 결과와 인지요소 위계와 학생의 인지요소 숙달비율을 관련지어 살펴본 결과, 문항과 인지요소의 관계를 나타내어주는 Q-matrix가 학생들의 인지상태를 잘 유추될 수 있을 만큼의 높은 설명력을 가지고 있었다.
이는 본 연구가 Q-matrix가 지향하는 방향대로 교사가 중점적으로 교수하고자 하는 내용영역에서 인지요소가 먼저 추출된 후, Q-matrix와 검사문항이 개발되고, 학생들에게 직접 실시되어졌다는 점에서 큰 의의가 있다. 문제를 해결하기 위해 필요한 인지요소를 정확하게 산출하고 이를 문항과 잘 연결하기 위해서는 전문가 합의과정과 함께 교육과정 분석이 이루어져야하며, Q-matrix의 타당성을 검증할 수 있는 다양한 방법들이 연구되고 제시되어야할 것이다.
둘째, 일반학생과 수학 학습부진⋅학습장애학생들의 각 인지요소별 숙달비율과 성취비율은 유의하게 차이를 보였다. 전체적으로 수학 학습부진⋅학습장애학생들의 인지요소 숙달비율과 성취확률이 일반학생들보다 모든 인지요소에서 낮게 나타났다. 인지요소 4(나눗셈개념과 연산)의 성취확률은 일반학생들과 수학 학습부진⋅학습장애학생들에게서 모두 가장 낮게 나타났으며, 수학 학습부진⋅학습장애학생들은 사칙연산 문장제에 관한 인지요소 숙달비율이 덧셈-곱셈-뺄셈-나눗셈 순으로 나타났다. 특히, 수학 학습부진⋅학습장애학생의 숙달비율과 성취확률은 인지요소 1(덧셈개념과 연산)을 제외하고는 거의 대부분의 인지요소들에서 낮은 수준이었으며, 특히 인지요소 4(나눗셈 개념과 연산)과 인지요소 6(받아내림)에서 매우 낮았다.
이러한 연구결과는 학교현장에서 교사들이 수학 학습부진⋅학습장애학생을 가르칠 때 집중적으로 지도해야할 부분에 대한 정보를 제공하였다는 점에서 의의가 있다. 이러한 차이점을 고려하여 교사들은 수학 학습부진⋅학습장애학생들에게 중점적으로 다루어야할 영역과 교수할 내용을 결정하고 학습 내용 간의 위계룰 설정할 수 있을 것이다. 또한 수학 학습부진⋅학습장애학생을 위한 교육과정 내용과 교수방법에도 이를 반영할 수 있을 것이다.
셋째, 본 연구에서는 인지요소 간의 위계관계가 설정되어 있었기 때문에 Boolean Algebra 연산법칙에 따라 총 108개의 인지요소 유형이 산출 가능하였으며, 본 연구 결과에서는 51개의 유형이 나타나 4명을 제외한 총 973명이 미리 상정한 인지상태로 분류되었다. 일반학생들이 대표적으로 보인 5개의 인지요소 패턴은〔111001111〕,〔111110111〕,〔111111011〕,〔111110110〕,〔110011010〕이었으며, 공통적으로 인지요소 1(덧셈개념과 연산), 인지요소 2(뺄셈개념과 연산), 인지요소 8(단위개념)을 가지고 있었으며, 일반적으로 5-8개의 인지요소를 가지고 있었다. 수학 학습부진⋅학습장애학생들이 가장 많이 분류된 5개의 인지요소 패턴은〔000000000〕,〔100000000〕,〔101000111〕,〔100000011〕,〔110011000〕이었으며, 공통적으로 보유하고 있는 인지요소보다 공통으로 보유하고 있지 않는 인지요소가 더 많은 것으로 나타났다. 또한, 각 점수대별 인지요소 유형을 확인하여 총점이 같은 경우라도 개인별로 보유한 인지상태는 다를 수 있음을 확인하였다.
이는 한 개인이 지금 현재 무엇을 알고 무엇을 모르고 있는지에 관한즉, 학생이 보유한 인지상태의 강점과 약점, 인지상태에 대한 구체적인 질적 정보를 파악할 수 있도록 해준다. 또한 수학문장제 문제해결 영역에서의 오류유형화가 보다 객관적으로 실시되었다는 점에서 의의를 찾을 수 있다. 더불어 결과에서 나타난 인지상태를 바탕으로 학습경로를 제시할 수 있는데, 이는 학습자가 스스로 자신의 위치를 파악하고 학생, 교사, 학부모가 원활히 의사소통하도록 도움을 줄 수 있을 것으로 기대할 수 있다. 끝으로, 이러한 인지진단적 자료는 진단과 교육이 유기적으로 연계될 수 있도록 방향성을 제시할 수 있을 것이다.

마지막으로, 후속연구를 제안하면 다음과 같다.
인지진단모형에 기반한 평가도구 개발이 이루어질 수 있어야할 것이며, 컴퓨터화 된 프로그램과 함께 개발되어야할 것이다. 또한 인지진단모형을 토대로 한 진단과 진단결과에 따른 교정학습을 실시하여 감소한 오류빈도나 개선된 학업성취도를 확인해보는 실험연구가 실시되어져야할 것이며, 진단과 교수가 유기적으로 연계되어질 수 있도록 인지진단검사가 스마트 교육과 연계되어질 수 있도록 기술적인 노력도 이루어져야할 것이다. 더불어 교사들을 위한 인지진단 프로그램 개발 및 이에 대한 교사연수가 제공되어져야 실효성을 높일 수 있을 것이며, 인지진단 평가보고 방법에 있어서도 변화가 필요하다.
한편, 몇 개의 인지요소를 추출하여야 분석을 정확하게 실시하고 평가결과를 활용함에 있어 유용할 것인지에 대한 합의점을 찾을 수 있어야할 것이다.

목차 (Table of Contents)

• 목 차
• I. 서론 1
• 1. 연구의 필요성 및 목적 1
• 2. 연구 문제 6
• 3. 용어의 정의 7
• II. 이론적 배경 9
• 1. 수학문장제 문제해결과 수학 학습부진⋅학습장애학생 9
• 1) 수학문장제 문제해결력 9
• 2) 수학 학습부진⋅학습장애학생 10
• 3) 수학 학습부진⋅학습장애학생의 수학문장제 문제해결에 관한 선행연구 12
• 4) 수학문장제 문제해결과정 모형 15
• 2. 인지진단모형 20
• 1) 기존 교육진단 평가의 문제점 20
• 2) 인지진단모형 22
• 3) 인지요소와 Q-matrix 29
• 3. 규칙장모형 35
• 1) 규칙장모형의 가정 36
• 2) 규칙장모형의 적용 37
• 3) 규칙장모형 적용 선행연구 45
• III. 연구 방법 50
• 1. 연구 대상 50
• 2. 연구 절차 52
• 3. 검사 도구 53
• 1) 과제 선정 53
• 2) 인지요소 진술 55
• 3) 인지요소 위계 설정 59
• 4) 인지요소 간 매트릭스 작성 61
• 5) 인지요소를 반영하는 검사도구 제작 63
• 4. 검사 도구의 신뢰도와 타당도 67
• 1) 검사의 신뢰도 67
• 2) 검사의 타당도 67
• 5. 분석방법 69
• IV. 연구 결과 73
• 1. 수학문장제 문제해결과정을 반영하여 제시한 Q-matrix의 타당도 검증 73
• 1) 문항수준에서의 Q-matrix의 타당도 검증 73
• 2) 학생수준에서의 Q-matrix의 타당도 검증 74
• 2. 일반학생과 수학학습부진⋅학습장애학생의 수학문장제 문제해결관련 인지요소 숙달비율 및 인지 요소 성취확률의 차이 검증
• 77
• 1) 일반학생과 수학학습부진⋅학습장애학생의 인지요소 숙달비율 차이 77
• 2) 일반학생과 수학학습부진⋅학습장애학생의 인지요소 성취확률 차이 85
• 3. 수학문장제 문제해결과정에서의 수학 학습부진⋅학습장애학생들의 인지상태 분류 93
• 1) 전체학생, 일반학생, 수학 학습부진⋅학습장애학생의 주요 인지상태 분류 93
• 2) 같은 점수대의 학생들이 보이는 인지상태와 같은 인지상태의 학생들이 보이는 점수 분포 107
• 3) 인지상태에 따른 학습경로 114
• V. 논의 116
• 1. 수학문장제 문제해결과정을 반영하여 제시한 Q-matrix의 타당도에 대한 논의 116
• 2. 일반학생과 수학 학습부진⋅학습장애학생의 인지요소 숙달비율과 인지요소 성취확률의 차이에 대한 논의 119
• 3. 수학문장제 문제해결과정에서의 수학 학습부진⋅학습장애학생들의 인지상태 분류에 대한 논의 126
• VI. 제한점 및 제언 134
• 1. 연구의 제한점 134
• 2. 후속연구 제언 135
• 참고문헌 140
• 부 록 158
• 영문요약 174
• 표 목 차
• <표 Ⅱ-1> Polya에 의한 문제해결의 단계적 전략 16
• <표 Ⅱ-2> 4개의 인지요소와 15개의 문항으로 구성된 Q-matrix 33
• <표 Ⅱ-3> 축소된 Q-matrix 34
• <표 Ⅱ-4> 인지상태에 따른 이상반응유형과 총점 35
• <표 Ⅱ-5> 문항과 인지요소의 관계를 나타내는 Q-matrix 예시 39
• <표 Ⅱ-6> Q-matrix와 인지상태, 이상적 반응유형의 예시 41
• <표 Ⅲ-1> 연구 대상의 성별 특성 51
• <표 Ⅲ-2> 연구 대상의 지역별 특성 51
• <표 Ⅲ-3> 연구 대상의 학업 특성 51
• <표 Ⅲ-4> 각 인지요소별 정의 및 부재 시 나타날 수 있는 오류 56
• <표 Ⅲ-5> 본 연구의 Q-matrix 64
• <표 Ⅲ-6> 각 학년별 ‘수와 연산’ 내용체계 65
• <표 Ⅲ-7> 수학문장제 문제해결력 검사 문항 구조 66
• <표 Ⅲ-8> 신뢰도 통계량 67
• <표 Ⅲ-9> 추출된 주성분의 개별 및 누적 설명량 68
• <표 Ⅳ-1> 문항수준에서의 Q-matrix를 이용한 회귀분석 결과 73
• <표 Ⅳ-2> 문항수준에서의 분산분석 74
• <표 Ⅳ-3> 학생수준에서의 Q-matrix를 이용한 회귀분석 결과 74
• <표 Ⅳ-4> 학생수준에서의 분산분석 75
• <표 Ⅳ-5> 일반학생과 수학 학습부진⋅학습장애학생의 인지요소별 숙 달비율 81
• <표 Ⅳ-6> 숙달한 인지요소 수의 비율 83
• <표 Ⅳ-7> 숙달한 인지요소 수에 따른 인지요소 유형 84
• <표 Ⅳ-8> 가장 근접한 5개의 인지요소 유형과 성취확률 86
• <표 Ⅳ-9> 학생별 인지요소 성취확률과 인지요소 유형 비교 87
• <표 Ⅳ-10> 일반학생과 수학학습부진⋅학습장애학생의 인지요소별 성 취확률 91
• <표 Ⅳ-11> 문항별 모수값 94
• <표 Ⅳ-12> 학생의 인지상태와 관찰반응유형 및 이상반응유형에 따른 theta값, zeta값의 예시 96
• <표 Ⅳ-13> 전체학생의 대표적인 인지상태 98
• <표 Ⅳ-14> 일반학생의 대표적인 인지상태 99
• <표 Ⅳ-15> 수학 학습부진⋅학습장애학생의 대표적인 인지상태 101
• <표 Ⅳ-16> 총점이 같은 학생들이 나타내는 인지상태 110
• <표 Ⅳ-17> 인지상태가 같은 학생들이 나타내는 점수 분포 111
• <표 Ⅳ-18> 총점별로 나타난 인지상태 빈도 112
• 그 림 목 차
• [그림 Ⅱ-1] Riley 등(1983)의 문제이해 및 해결모형 17
• [그림 Ⅱ-2] Montague(1992)의 인지-초인지 문제해결 모형 18
• [그림 Ⅱ-3] 강옥기 등(1985)의 문제해결 교수-학습 모형 19
• [그림 Ⅱ-4] 인지진단모형의 적용과정 흐름도 23
• [그림 Ⅱ-5] 4가지 인지요소 위계 구조 30
• [그림 Ⅱ-6] 4가지 인지요소 간의 위계 33
• [그림 Ⅱ-7] 규칙장모형의 적용과정 4단계 38
• [그림 Ⅱ-8] 문항과 인지요소 간의 관계 39
• [그림 Ⅱ-9] 규칙장모형 분석에 따른 가상의 분류유형 44
• [그림 Ⅲ-1] 연구절차 52
• [그림 Ⅲ-2] 수학문장제 문제해결관련 인지요소 간의 위계관계 60
• [그림 Ⅳ-1] 인지요소 간 위계와 인지요소별 숙달비율 76
• [그림 Ⅳ-2] 전체학생들의 인지요소 숙달비율 78
• [그림 Ⅳ-3] 일반학생들의 인지요소 숙달비율 79
• [그림 Ⅳ-4] 수학 학습부진⋅학습장애학생들의 인지요소 숙달비율 80
• [그림 Ⅳ-5] 일반학생과 수학 학습부진⋅학습장애학생의 인지요소별 숙달비율 82
• [그림 Ⅳ-6] 전체학생들의 인지요소 성취확률 88
• [그림 Ⅳ-7] 일반학생들의 인지요소 성취확률 89
• [그림 Ⅳ-8] 수학 학습부진⋅학습장애학생들의 인지요소 성취확률 90
• [그림 Ⅳ-9] 일반학생과 수학 학습부진⋅학습장애학생의 인지요소별 성취확률 92
• [그림 Ⅳ-10] 전체학생의 인지상태 분류 104
• [그림 Ⅳ-11] 일반학생의 인지상태 분류 105
• [그림 Ⅳ-12] 수학 학습부진⋅학습장애학생의 인지상태 분류 106
• [그림 Ⅳ-13] 인지상태에 따른 학습경로 115

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