Copula함수를 이용한 Digital Option의 가격결정에 관한 연구

정지훈 ( Ji Hoon Jung ),최양호 ( Yang-ho Choi ) 한국계리학회 2016 계리학연구 Vol.8 No.1

1973년 Black-Scholes 옵션가격결정 모형이 나온 이후 옵션에 대한 연구는 오늘날까지 급속도로 발전해 왔다. 옵션가격결정 모형은 광범위한 적용가능성을 가지고 있어 주식가치의 평가, 전환사채의 평가, 신주인수권 및 신주인수권부사채의 평가, 담보부채의 평가, 리스, 보험계약 등에 옵션가격결정 모형을 이용할 수 있다. 그러나 Black-Scholes 이론에 입각한 옵션가격결정 모형은 그 가정들이 비현실적인 부분들이 많고 또한, 오늘날 보험회사를 포함한 금융회사들의 파생상품과 같은 자산들로 구성된 포트폴리오에서 자산들 간의 종속성 문제들이 이슈가 되면서 많은 금융권의 회사들은 Copula를 이용하는 등 자산 간의 종속성 문제를 해결하려고 노력하고 있다. 본 논문에서는 옵션가격결정모형, Copula 등에 관한 이론을 고찰해 보고 MultidimensionalBlack-Scholes 옵션가격결정 모형과 Copula를 이용한 옵션가격결정 모형을 두 가지의 주식 데이터를 기초자산으로 하는 경우를 가정하여 Digital 옵션의 가치를 평가해 본다. 분석에 있어서는 R프로그램을 사용하였는데 그 중 본 논문의 분석에 적합한 BinaryOption,fitCopula, Copula패키지를 이용하여 분석을 진행하였다. 분석 결과 Copula를 이용하여 산출한 Digital 옵션가격이 Multidimensional Black-Sholes를 이용하여 산출한 Digital 옵션가격보다 크게 산출되었는데 이는 옵션가격을 결정할 때 Copula함수가 기초자산 간의 종속성을 더 잘 반영하였기 때문이라고 여겨진다. 본 연구의 한계로는 옵션가격결정 모형의 한계, 완전한 시장(Complete Market)을 가정하여 생기는 불완전한 시장(Incomplete Market)에서의 한계, 기초자산을 두 개라고 정하여 그 이상일 때 분석하기 어려운 한계 등이 있다. 본 연구의 타당성을 조금 더 확보하기 위해서는 보다 정확한 투입변수의 측정과 완전한 시장이 아닌 현실적인 불완전한 시장에서의 설명력이 높은 이론과 모형에 대한 연구가 필요할 것이다. Since Black-Scholes option pricing model was developed by F. Black and M. Scholes in 1973, rapid progress has been made in the studies of option until today. As the option pricing model has wide applicability, it can be used in evaluating various things such as stock values, convertible bonds, preemptive rights and bond with warrant, and collateralized debt and also in lease and insurance contracts. In addition, the option pricing model can be used in analyzing companies`` financial decision-making. By looking into the option pricing model, the multivariate option pricing model, and theories about Copula etc. and by applying the Multidimensional Black-Scholes option pricing model and the option pricing model using Copula to the stock market in the United States, this study carried out a comparative analysis on option prices using two types of option pricing models in the U. S. stock market. Especially, this research assessed the value of Digital option assuming the case of two underlying assets. The limitations of the present study include the limitation of Black-Scholes option pricing model, the limitation of analyzing Incomplete Market due to the assumption of Complete Market, and the limitation in analyzing the cases of more than two underlying assets. To ensure the validity of this study, there is a need to perform research including the measurement of more accurate input variables and studies on theories and models with better explanatory power in Incomplete Market which is more realistic than Complete Market.

칼만필터를 이용한 옵션 내재변동성 예측성과

이현석(Hyon Sok Lee) 대한경영학회 2015 大韓經營學會誌 Vol.28 No.12

스마일은 델타헤징에 유용한가?

강태훈 ( Tae Hun Kang ),이명철 ( Myung Chul Lee ) 한국금융공학회 2015 금융공학연구 Vol.14 No.1

기존연구에서는 정교하게 변동성스마일을 반영하는 모형들을 델타헤징에 이용할 경우, 가격예측과는 달리 대체로 유용한 결과를 확인하지 못하였다. 그 이유는 확률변동성이나 점프 등의 다양한 추정모수를 이용하면 각각의 모수로 내재정보가 구분되므로, 상이한 정보들의 시계열 변동 중에서 비체계적인 부분이 상쇄되는 분산효과의 이점이 감소되기 때문으로 생각된다. 이러한 가능성을 확인하기 위해, 본 연구는 과거수익률이 델타헤징오차에 미치는 영향을 헤징기간과 모형별로 비교분석하였다. 분석결과는 예상대로, 추정모수의 개수가 더 적은 모형일수록 과거수익률이 헤징오차에 미치는 영향이 더 적었고, 이러한 패턴은 대체로 헤징기간이 증가할수록 더 뚜렷하게 확인되었다. 따라서 본 연구는 Black and Scholes(1973)를 하위모형으로 포함하면서 보다 단순한 방법으로 스마일을 고려할 수 있는 모형들을 중심으로 스마일이 델타헤징에 유용한가를 분석하였다. 분석결과를 요약하면 다음과 같다. 첫째, 스마일을 옵션델타에 반영하는 방법으로는 모수적인 확률분포(two-lognormal mixture)보다는 변동성회귀식을 이용하는 방법이 더 유용하였다. 둘째, 스마일의 정도가 심한 (심)외가격 풋옵션의 경우, 변동성회귀식을 이용하는 방법 중에서도 변동성스마일기법(AHBS)보다는 정교하게 스마일을 고려할 수 있는 Bates(2005)의 모형이 헤징기간에 상관없이 가장 적합하였다. 셋째, 근가격 콜옵션(풋옵션)과 (심)외가격 콜옵션의 경우에는 AHBS가 전반적으로 유용하였지만, 헤징기간이 길어질수록 1개의 추정모수를 가지는 Black and Scholes(1973) 모형의 유용성이 지속적으로 개선되었다. 이러한 결과는 과거수익률과 같은 요인들이 내재모수의 시계열 변동에 영향을 주기 때문인데, 이로 인해 Black and Scholes(1973) 모형은 시장동요기간에 상대적으로 더 유용하였다. 이와 같이 의사결정자는 스마일의 추정방법과 옵션, 헤징포지션의 보유기간, 시장상황 등을 적절하게 고려한다면 스마일을 델타헤징에 유용하게 이용할 수 있을 것이다. Previous researches on the usefulness of the sophisticated and complicated models for pricing and hedging options have showed that unlike in-sample pricing and out-of-sample pricing, there was no clear advantage to incorporating volatility smiles for delta hedging. The possible causes of these results may be related to time-series reliability of the implied parameter estimates. Actually, in this paper, we find that delta hedging errors of less parsimonious models are more affected by past stock returns. So, to examine whether the delta hedging performance can be improved by taking into account the volatility smile implied in the KOSPI 200 index options market prices, we focus on the delta hedging usefulness of the methods which can make a rather simple adjustment of the Black and Scholes’s delta; Vahamaa(2004)``s smile-adjusted delta(SAV), Bates (2005)``s model-free method(SAB), ad-hoc Black and Scholes model(AHBS). As benchmark models, we also investigate hedging performance of two-lognormal mixture model(TLM) which can provide an exact solution with intuitive appeal using weighted sums of Black and Scholes solutions, along with Black and Scholes(1973) model(BS). Our empirical investigation leads to the following overall conclusions. The regression-based approach of the volatility function in which the implicit volatilities are regressed on the strike price and strike price squared is more useful than the method using two-lognormal mixture distribution to reflect the volatility smile for delta hedging. The relative hedging performance across the models using regression-based approach depend on option’s moneyness and hedging horizons. Specifically, in case of (deep) out-of-the money put options, Bates’s model outperforms the other model. In terms of at(near)-the money call/put options and (deep) out-of-the money call options, whether volatility smile should be reflected for delta hedging are affected by hedging horizons. For one-day hedging period, ad-hoc Black Scholes procedure which use directly the regression-based estimate of the volatility function using implicit volatilities shows the best performance because this ad hoc approach amounts to a sophisticated interpolation tool in which implied volatilities are very simply smoothed across strike. But, for the longer hedging horizons, hedge ratios determined by the Black Scholes model appear more reliable than those obtained from the other models. Also, This reliability is distinguished clearly during periods of market turmoil.

Black-Scholes식의 다양한 유도

최병선 서울大學校經濟硏究所 2012 經濟論集 Vol.51 No.2

One of the most influential formulas in finance is the Black-Scholes formula, which is used to price European options. The purpose of this paper is to survey its derivations. throughout the various derivations, we introduce core concepts and tools in finance such as arbitrage, hedging, replication risk-neutral, Ito-Doeblin lemma, and local time and show how they ard applied to pricing a plain-vanilla call option. The derivation methods in this survey are based on versatile theories, models, and techniques including the binomial tree model, partial differential equations, market price of risk, the second final derivative, risk-neutral measure, Girsanov Theorem, numéraire, Feyman-Kac theorem, the backward and forward Kolmogorov equations, utility function, the CAPA, Hamilton-Jacobi-Bellman equation, characteristic function, contour integral, Plancharel-Parseval identity, maximum entropy principle, Kullback-Leibler information number, stop-loss start-gain strategy, and so on. The reason for introducing the derivation methods in this survey paper is not just to show how the Black-Scholes formula is diversely derived but also to explain the fundamental building blocks of financial engineering. 이 논문의 목적은 유럽형옵션의 공정한 가치를 나타내는 Black-Scholes식을 유도하는 다양한 방법들을 소개하는 것이다. 이 서베이 논문에서는 격자나무와 중심극한정리를 바탕으로 하는 이항나무모형법, 포트폴리오와 복제를 바탕으로 하는 편미분방정식법, 헤징을 이용하는 편미분방정식법, 위험의 시장가격을 이용하는 편미분방정식법, 제2의 금융파생상품을 이용하는 편미분방정식법, Radon-Nikodym 정리를 바탕으로 하는 위험중리가치평가법, Girsanov 정리를 사용해서 위험중립가치평가식의 계산을 간단히 하는 마팅게일법, 기준재를 치환하는 동치마팅게일법, Feynman-Kac 정리를 사용해서 Black-Scholes 방정식을 유도하는 방법, Kolmogorov의 후향방정식을 이용해서 Black-Scholes 방정식을 유도하는 방법, Kolmogorov의 전향방정식을 이용해서 유럽형콜옵션가치에 대한 새로운 편미분방정식을 유도하는 방법, 지수형 효용함수의 기대값을 최대화하는 방법, 다변량 Girsanov 정리를 적용해서 효용함수에 관한 기대값을 간단히 구하는 방법, CAPM을 이용하는 방법, Hamilton-Jacobi-Bellman 방정식을 사용하는 방법, 특성함수를 이용하는 방법, Plancharel-Parseval 등식을 사용하는 방법, 엔트로피를 최대화하는 방법, Kullback-Leibler 정보수를 최소화하는 방법, 그리고 SLSG 전략을 사용하는 방법을 적용해서 Black-Scholes 식을 유도한다. 이 논문에서 소개한 방법들은 Black-Scholes 식을 유도하는 데 사용될 뿐 아니라 금융공학이론을 전개하는 데 사용되는 핵심적인 것들이다.

옵션 평가 모형의 모수 롤오버 효과

김솔(Sol Kim) 한국증권학회 2015 한국증권학회지 Vol.44 No.4

본 연구는 S&P 500 옵션 시장을 대상으로 옵션 평가 모형들의 가격 결정 및 헤징 시 필요한 모수의 롤오버 전략을 비교한다. 모수의 롤오버 전략은 전통적인 Nearest-to-Next 전략과 새롭게 제안된 Next-to-Next 전략이 고려된다. 옵션 가격 결정 모형으로는 Black-Scholes 모형, 옵션 시장의 거래자들이 많이 활용하는 것으로 알려진 Ad Hoc Black-Scholes 모형, 확률 변동성을 고려한 모형, 확률 변동성과 점프를 모두 고려한 모형이 비교된다. 연구 결과는 다음과 같다. 새로운 롤오버전략인 Next-to-Next 전략이 사용되었을 경우 모든 옵션 평가 모형들의 가격 결정 및 헤징 오차가 감소한다. 여러 옵션 가격 결정 모형 중에서도 Ad Hoc Black-Scholes 모형들의 가격 결정 오차가 Next-to-Next 전략에 의해 가장 크게 감소한다. 제안된 Next-to-Next 전략이 고려된 후 모수의 개수가 많은 Ad Hoc Black-Scholes 모형의 성과가 모수의 개수가 작은 경우보다 더 작은 오차를 보인다. 즉 Next-to-Next 전략이 Ad Hoc Black-Scholes 모형의 과적합의 문제를 해결하고 있음을 확인할 수 있다. Next-to-Next 전략은 헤징 성과에서도 모든 옵션 평가 모형의 헤징 오차를 감소시키고 있으나 외표본 가격 결정 오차만큼 극적인 감소를 보이지는 않는다. 연구 결과 수학적으로 정교한 옵션 가격 결정 모형들이 함께 고려된 이후에도 Next-to-Next 롤오버 전략을 고려한 옵션의 행사가격을 변수로 사용하여 변동성을 추정하는 “absolute smile” Ad Hoc Black-Scholes 모형이 가격 결정 및 헤징에서 가장 우수한 성과를 보이는 옵션 평가 모형임을 확인하였다. For S&P 500 options, we examine the pricing and hedging performance of several options pricing models with respect to the roll-over strategies of parameters. The traditional rollover strategy of the parameters, the Nearest-to-Next approach, and those using the new roll-over strategy, the Next-to-Next approach are compared. It is found that the Next-to-Next roll-over strategy can decrease pricing and hedging errors of all options pricing models and mitigate the over-fitting problems. The “absolute smile” traders’ rule has the advantage of simplicity and is the best model for pricing and hedging options.

옵션의 잔존만기를 고려한 Ad-Hoc Black-Scholes 모형의 성과

김솔 ( Sol Kim ) 한국파생상품학회(구 한국선물학회) 2014 선물연구 Vol.22 No.3

본 연구에서는 KOSPI 200 옵션시장을 대상으로 거래가 활발한 최근월물 옵션뿐 아니라 만기가 긴 옵션까지 연구 대상으로 고려하여 여러 옵션가격결정 모형을 비교 하였다. 기존 연구들에서 가격결정 성과가 가장 우수한 것으로 알려진 Ad-Hoc Black- Scholes 모형, 기존의 Black and Scholes(1973) 모형, 확률 변동성을 가정한 Heston(1993) 모형들의 가격결정 성과를 비교하였다. 연구 결과 Ad-Hoc Black-Scholes 모형의 성과가 Heston(1993) 모형의 성과보다 좋은 것으로 나타나며 기존 연구와 일관된 결과가 도출 되었다. 다양한 잔존만기가 옵션가격결정 모형에 고려됨에도 Ad-Hoc Black-Scholes 모형의 과적합의 문제가 발생하지 않으며 안정성이 확보됨을 확인할 수 있다. 또한 잔존만기를 고려한 이후에도 기존 연구 결과와 마찬가지로 AHBS 모형 중 “absolute smile” 방법이 “relative smile” 방법에 비하여 더 나은 성과를 보임을 확인할 수 있었다. There are two ad hoc approaches to Black and Scholes model. The “relative smile” approach treats the implied volatility skew as a fixed function of moneyness, whereas the “absolute smile” approach treats it as a function of the strike price. Previous studies reveal that the “absolute smile” approach is superior to the “relative smile” approach as well as to other sophisticated models for pricing options. We find that the time to maturity factors improve the pricing performance of the ad hoc procedures and the superiority of the “absolute smile” approach still holds even after the time to maturity is considered.

Reconstruction of a Volatility Based on the Black-Scholes Option Pricing Model Using Homotopy Perturbation Inversion Method

Yixin Dou,Jianhua Fu,Zhihao Wang 보안공학연구지원센터 2016 International Journal of Hybrid Information Techno Vol.9 No.9

The reconstruction of a volatility based on a Black-Scholes option pricing model is ill-posed. In order to overcome the ill-posedness, a homotopy perturbation inversion method is designed to solve the inverse problem. The proposed method is a modified version of the Landweber method. The reconstruction of a volatility is a nonlinear problem which is needed to be linearized. Hence, numerical experiments consist of the reconstruction of a policy parameter based on a Todaro model which is a linear inverse problem and the reconstruction of a volatility based on a Black-Scholes option pricing model in order to test the performance of the proposed method. Numerical examples show that the proposed method is more accurate and faster than the Landweber method.

몬데카를로시뮬레이션방법을 이용한 옵션가격 수렴성에 관한 실증연구

강태훈(Tae-Hoon Kang) 한국국제회계학회 2006 국제회계연구 Vol.0 No.15

본 연구의 목적은 옵션가치평가의 한 방법인 블랙-숄즈 옵션가격결정모형과 몬테카를로 시뮬레이션을 이용한 옵션가치평가의 비교를 통하여 전통적인 모형인 블랙-숄즈 옵션가격결정모형과 별다른 차이가 없음을 보이고자 하는 논문이다. 블랙-숄즈 옵션가격결정모형은 1973년에 제시되어진 모형으로서, 현재까지 옵션의 가치를 평가하는데 일반화 되어진 모형이며 최근 들어 만들어지고 있는 다양한 옵션의 가치를 평가하는데도 유용하게 사용되고 있다. 하지만 블랙-숄즈 옵션가격결정모형은 이론적으로는 가장 완벽한 모형으로 간주되지만 모형을 위한 가정이 비현실적이고 개별요소의 특성을 달리 나타낼 수 있는 여지가 많다. 그리고 각 변수들의 양이 많아져 복잡한 식으로 된다면 해결하는데 많은 시간과 노력이 소요되는 단점이 있다. 이러한 단점을 보완하기 위한 방법이 Monte Carlo Simulation이다. 몬테카를로 시뮬레이션은 블랙-숄즈모형의 기초가 되는 여러 가정들이 완화되어 옵션가격을 결정하는 공식의 적용이 불가능하고 옵션가격을 결정하는 변수의 앙이 많아서 일반식 형태로 풀기 난해한 경우 옵션가격을 산출하는 방법이다. 본 논문의 실증분석결과 t-검정 값들이 모두 귀무가설을 채택하여 결론적으로 블랙-숄즈 가격결정모혈과 몬테카를로 시뮬레이션을 이용한 옵션가격결정모형의 관측 값은 유의적으로 같음을 알 수 있다. This paper uses a Monte Carlo simulation for option valuation problem, compares the solutions by a Monte Carlo simulation with those by a closed-form function based on the Black-Scholes option pricing model and prove that the method is efficient as well as simple and flexible in the sense that it can be easily modified to accommodate different processes governing the underlying instruments movements. Designed by Black and Scholes in 1973, the option pricing model succeeded in drawing general formulas with relatively simple assumptions and thereby various option pricing models were developed. The option pricing model, Black-Scholes Model has developed by the repetitive relaxation and alternation of assumptions. meanwhile, the output of integration has become too complex to draw an analytic solution. To solve such problem, numerical approaches were introduced. One of the typical numerical approach is the Monte Carlo Simulation. The simulation can include various stochastic processes which determine the profit of underlying assets, and thus the simulation is commonly used to the option pricing. The paper shows that some conditions are needed in order to converge random prices into a stable status in the simulation. The drawback of the Monte Carlo method lies in the fact that the standard deviation error of estimate is inversely proportional to the square-root of the number of simulation trials. Technique for improving the efficiency of the method is the antithetical method that can reduce variances. The total standard error is significantly reduced using the antithetical method. The antithetical method calculates two values of option price, one being calculated in the normal way and the other calculated through changing the sign of the all the samples from standard normal distribution. The average of the two values is considered as the value of the option price from the sample. The final estimate of the value of the option price is the average of all the average of the pairs of values.

기초자산의 자기상관을 고려한 옵션가격결정모형의 성과

김솔 ( Sol Kim ) 한국금융공학회 2010 금융공학연구 Vol.9 No.3

본 연구는 기초자산의 자기상관 특성이 옵션 가격결정 및 헤징에 미치는 영향을 검증한다.이를 위하여 기초자산에 자기상관이 존재할 경우를 가정한 옵션 가격결정모형인 Liao and Chen(2006)모형과 기존의 Black and Scholes(1973)모형의 성과를 비교한다.연구 결과 내표본 가격 결정(in-sample-pricing)검증에서는 모수(parameter)의 개수가 Black and Scholes(1973)모형보다 1개 더 많은 Liaoand Chen(2006)모형이 당연히 우수한 결과를 보인다.옵션 가격의 예측력을 측정하는 외표본 가격 결정(out-of-sample-pricing) 검증에서도 1일 또는 1주일 예측 모두에서 Liao and Chen(2006)모형이 Black and Scholes(1973)모형보다 우수한 결과를 보인다.헤징(hedging)성과에서도 가격 결정력의 경우와 마찬가지로 1일과 1주일의 장단기 헤징성과에서 모두 LiaoandChen(2006)모형이 나은 결과를 보인다.결론적으로 옵션가격결정 및 헤징 시 자기상관의 고려의 중요성을 실증적으로 검증하였다. In this paper, we examine pricing and hedging performance of option pricing model which assumes that asset returns are autocorrelated. We compare Black and Scholes(1973)` option pricing model with Liao and Chen(2006)`s model. It is found that Liao and Chen(2006)`s model considering the autocorrelation of asset returns shows better performance than Black and Scholes(1973) model for in-sample, out-of-sample pricing and hedging performance. As a result, it is important to consider the autocorrelation of asset returns for pricing and hedging KOSPI 200 index option.

Valuation of NDX Index Call Options with Fractional Black-Scholes Model

Sangwoo Heo,Joon Park,Yalçın Sarol 사람과세계경영학회 2009 Global Business and Finance Review Vol.14 No.2

This study compares the accuracy between the fractional Black-Scholes (FBS) option pricing model and the Black-Scholes (B-S) option pricing model using NASDAQ-100 (NDX) index call options data for the period of four years from January 2004 to December 2007. The degree of accuracy is measured by moneyness, variance estimate, and maturity. Although the accuracy of the FBS model is sensitive to Hurst parameter (H), the parameter is not directly observed. We recover the H value from the FBS model which depends on variance estimates. Because the FBS model has two unknown parameters, volatility and the Hurst parameter, we propose model predicting option prices to estimate H values using the implied volatility. We find that the FBS model outperforms the B-S model across the board. In particular, there is a great advantage of using the FBS model with historical volatility.