프레게와 비유클리드 기하학

박준용 ( Park Jun-yong ) 한국동서철학회 2021 동서철학연구 Vol.- No.100

나는 이 글에서 프레게 유고집의 단편 「유클리드 기하학에 관하여」(1899-1906)에 나오는 유클리드 기하학과 비유클리드 기하학의 양립 불가능 논제에 대해 다음 세 논제를 확립하려 한다. (1) 그 논제는 유클리드 기하학과 비유클리드 기하학의 양립 가능성을 보이는 힐버트의 『기하학의 기초』(1899)의 논의와 상충하지 않는다. (2) 그 논제는 『산수의 기초』(1884)에 제시된 견해로서 유클리드 기하학과 비유클리드 기하학이 서로 다른 영역의 대상들을 다룬다는 견해와도 상충하지 않는다. 그리고 (3) 그 논제는 벨트라미, 클라인 및 포앙카레의 비유클리드 기하학의 일관성에 대한 논증과도 충돌하지 않는다. 도리어 그 논제는 프레게의 뜻과 지시체 이론만 아니라 모형론의 관점에서도 메타이론적 논의가 의존하는 기본적인 의미론적 사실로 간주되어야 한다. In this paper, I try to settle the following three claims on Frege’s thesis of his “On the Euclidean geometry”(1899-1906) in his Nachgelassene Schriften which says that Euclidean geometry is not compatible with non-Euclidean geometries: (1) It is not contradictory to Hilbert’s conceptions of reinterpretations of geometrical terms in which Euclidean geometry can be regarded as being compatible with non-Euclidean geometries. (2) It is not contradictory also to Frege’s thought that whereas Euclidean geometry deals with objects intuitable in the Euclidean space, non-Euclidean geometries deal with abstract objects belonging to the realm of conceptual thoughts. And (3) it is not contradictory also to Beltrami, Klein and Poincare’s conceptions of Euclidean models of non-Euclidean geometries. It should be regarded rather as a basic semantical fact upon which metageometrical considerations depend not only from the viewpoint of Frege’s theory of sense and reference but also from the viewpoint of model theory.

위상기하학의 조형적 특성에 따른 패션디자인 연구

이주영,권순교 한국기초조형학회 2017 기초조형학연구 Vol.18 No.6

This study aims at presenting a new approach of creative design required in an age of sensibility through applying topology for a creative expression of forms via diversified ideas escaping from the traditional approach of the existing fashion design. Besides, it intends to examine topology presented newly as a new methodology of the design field and suggest an alternative for applying fashion design. Theoretical research contents and methods are as follows. Firstly, it analyzes theories from specialized books, theses and scientific journals on definitions and concepts of topology and collects related data. Secondly, it classifies visual forms in terms of a concept of topology analyzed theoretically and derives its formative characteristics. Thirdly, it suggest a design direction and produces works through applying formative characteristics of topology. Research findings on formative characteristics of topology are as follows. Firstly, topology showed that topology has a lot of potentials to be used as a motive of fashion design in a modern and original expression. Secondly, it revealed that formative characteristics of topology offer a changed and developed morphological approach from standardized forms when manufacturing works. Thirdly, it showed that fashion design according to formative characteristics of topology has a formative possibility as one of compositional methods that may be developed in the fashion field of ingenious expressions. It is expected that these research findings will be used as a methodological basis for creative fashion design, suggesting new and multi-dimensional design ideas and a frame of interpretation. 현대사회에서 패션의 역할은 단순히 기능성이나 개성 표현 방법을 넘어 예술적 소재로서 그 영역이 확대되고 있다. 위상기하학은 형태와 공간의 관계성을 연구하는 학문으로 기존의 기하학과 달리 양과 수치가 아닌 관계에 집중하는 사고방식은 정형화된 형태에서 변화 발전된 형태적 접근을 가능하게 하며 창의적이고 독창적인 사고를 통해 다양한 예술, 건축 분야에도 적용되어 새로운 방법이 되고 있다. 이에 본 연구에서는 새로운 디자인 방법으로 위상기하학을 적용하여 다각적인 사고를 통한 창조적인 형태 표현 방법으로 기존의 패션디자인에 대한 전통적 접근방식을 탈피하여 감성시대가 요구하는 창의적 디자인의 새로운 방법과 방식을 제시하는 것을 목적으로 한다. 연구내용 및 방법으로는 다음과 같다. 첫째, 위상기하학의 정의와 개념에 대하여 관련된 전문서적, 학위논문, 학술지 등을 통한 이론을 분석하여 자료를 수집한다. 둘째, 이론적으로 분석된 위상기하학의 개념에 의한 시각적 형태를 분류하고, 조형적 특성을 도출한다. 셋째, 위상기하학의 조형적 특성을 적용하여 디자인 방향성을 제시하고 작품을 제작한다. 작품 제작에 있어서는 위상기하학의 조형적 특성을 모티브로 디자인에 접목시켰으며, 색과 소재는 조형적 특성을 살리기 위한 목적으로 제한적으로 사용하여 형태미와 공간미를 강조하였다. 연구의 결과는 다음과 같다. 첫째, 위상기하학은 상대적이고 다차원적인 높은 추상성으로 인해 학문적 경계를 넘어 현대적이고 독창적인 표현이 가능하며 패션디자인의 모티브로써 다양한 활용 가능성이 있음을 알 수 있었다. 둘째, 작품을 제작함에 있어 위상기하학의 조형적 특성은 정형화된 형태에서 변화 발전된 형태적 접근을 가능하게 하는 것을 알 수 있었다. 셋째, 위상기하학의 조형적 특성에 따른 패션디자인이라는 하나의 구성 방법을 중심으로 독창적인 표현을 해야 하는 패션분야에 다양하게 전개 시킬 수 있다는 조형적 가능성을 확인할 수 있었다. 본 연구는 위상기하학의 체계적인 이론을 고찰하고 위상기하학의 시각적 형태를 중심으로 조형적 특성을 도출하여 패션디자인에 대한 구체적인 방법으로 표현하고자 하였다. 본 연구가 향후 새롭고 다차원적인 디자인 발상의 방법과 해석의 틀을 제안하고 창의적인 패션디자인에 대한 방법적 근거로 활용될 수 있기를 기대한다.

비유클리드 기하학에서 이차곡선의 이해를 통한 예비교사교육

강지은,김대환 경북대학교 과학교육연구소 2023 科學敎育硏究誌 Vol.47 No.3

예비교사가 비유클리드 기하학에서 수학적 정의를 이용한 이차곡선의 학습으로 유클리드 기하학의 다양한 개념을 어떻게 이해하고 활용할 수 있는지를 살펴본다. 본 연구에서는 D 대학교 수학교육과 3학년 수업에서 수학적 정의를 이용하여 택시기하, 민코프스키 거리공간과 같은 비유클리드 공간의 이차곡선 학습이 예비교사들에게 새로운 기하학적 개념을 습득하고 수용하는 능력 향상에 도움을 줄 수 있음을 보였다. 이러한 결과로부터 택시기하와 민코프스키 거리공간에서의 정의를 활용한 이차곡선 학습이 창의적이고 유연한 사고를 유도하여, 예비교사들의 유클리드 기하학 교육 전문성 향상에 기여할 것으로 기대된다. We consider how a pre-service teacher can understand and utilize various concepts of Euclidean geometry by learning conic sections using mathematical definitions in non-Euclidean geometry. In a third-grade class of D University, we used mathematical definitions to demonstrate that learning conic sections in non-Euclidean space, such as taxicab geometry and Minkowski distance space, can aid pre-service teachers by enhancing their ability to acquire and accept new geometric concepts. As a result, learning conic sections using mathematical definitions in taxicab geometry and Minkowski distance space is expected to contribute to enhancing the education of pre-service teachers for Euclidean geometry expertise by fostering creative and flexible thinking.

프레게와 유클리드 기하학

박준용(Park, Jun-Yong) 새한철학회 2021 哲學論叢 Vol.105 No.3

나는 이 글에서 기하학에 관한 프레게의 견해를 재구성한다. 이를 바탕으로 다음 세 논제를 입증하고자 한다. (1) 프레게의 수학철학은 산수의 논리학으로의 환원과 더불어 비직관적 기하학 이론의 유클리드 기하학으로의 환원 두 종류의 인식론적 환원 프로그램을 포함한다. (2) 유클리드 이론으로의 환원 방식은 두 종류가 있는데, 하나는 사영기하학 및 공간량 이론의 경우처럼 그 이론의 인식적 본성을 보존하기 위해 논리적 추상화 원리에 의존하는 환원이다. 그리고 (3) 다른 하나의 환원 방안은 이론들 사이의 구조적 동형성에 근거하는 환원으로서, 「기하학의 기초 II」(1906)에서 그가 제안한 참인 사고 내용들 사이의 상호 독립성 논증 방안은 비유클리드 기하학을 논리적 구조의 동형성에 의존해서 유클리드 기하학으로 환원하는 방안을 일반화한 것이다. In this paper, I try to reconstruct Frege’s conception of geometry. On the basis of this reconstruction, I try to settle the following three theses: (1) Frege’s euclideanism is a kind of reductionsm which is to purport to reduce geometrical knowledge into intuitive knowledge, as his logicism is to purport to reduce arithmetical knowledge into logical knowledge. (2) In this reductionism, geometrical principles such as ones of geometrical quantities and ones of projective geometry should be logically deduced from principles of euclidean geometry and explicit definitions by means of euclidean concepts. And (3) if we carefully reflect on the method which he proposed as a means of proving the mutual independence of true thoughts in his “On the Foundations of Geometry: Second Series”(1906), we can recognize that the method is a generalization of some method by which we could reduce non-euclidean principles into euclidean principles on the basis of a structural isomorphism.

뒤샹의 사차원에 대한 고찰

김예경 현대미술학회 2017 현대미술학 논문집 Vol.21 No.2

Duchamp's study on fourth dimension starts in 1912-14 and his knowledge came after a serious study on mathematics, especially on the non-euclidiaen geometry appeared in the 19th century. His preoccupation with this new geometry was recognized in the 1970s just after his death(1968) between the theorists, but still very few number of researches were carried out on this subject. This article reveals the relationship between art and science in the late nineteenth and early twentieth centuries, and in particular the influences of Poincaré’s philosophy of science on Duchamp. Then it studies the various manifestations of the fourth dimension in Duchamp's works (<Big Glass>, <You Me>, <Unhappy Ready Made>, etc.). 본 논문은 뒤샹의 사차원에 관한 관심과 탐구를 밝히는 데 목적을 둔다. 19세기 중엽 유럽의 수학계에선 2000년간 절대적으로 군림해온 유클리드기하학의 논리적 모순을 밝힌 비유클리드기하학이 탄생했다. 로바체프스키, 보여이, 리만 등에 의한 비유클리드기하학의 획기적 발견은 비유클리드기하학의 체계 내에서 기존 삼차원을 넘어선 사차원에 대한 논의를 발생시켰고, 이는 특히 프랑스 지역에서 1902-1908년에 앙리 푸앵카레가 출판한 세 권의 저술을 통해 대중에게 전달된다. 이 사차원의 문제는 20세기 초 특히 프랑스에서 활동하던 뒤샹 및 전위예술 작가군에 큰 자극을 주었다. 뒤샹의 사차원에 대한 탐구는 1912-14년 무렵 시작되며, 수학에 관한 본격적 탐구와 이해를 바탕으로 한다. 19세기 새로운 기하학과 사차원에 대한 그의 관심은 그의 생전 언급에도 불구하고, 최근까지 극히 소수의 전문가에 의해서만 연구되었다. 본 논문은 선행 연구의 방향성 속에서 19세기의 비유클리드기하학의 탄생과 푸앵카레의 과학철학을 살펴보며 <큰 유리>, <너는 나를> 등 뒤샹의 일부 작품을 중심으로 뒤샹과 사차원의 문제를 탐구한다.

모더니즘 미술에서 수학의 역할에 관한 소고

신실라 한국기초조형학회 2022 기초조형학연구 Vol.23 No.6

본 연구는 모더니즘 미술인 입체주의 및 초현실주의 작가와 작품이 수학으로부터 영향을 받았다는 사실을 확인하기 위해 시작되었다. 이와 같은 사실은 다양한 문헌에 기록되어 있으나 그 내용이 산재되어 있고, 이를 자세하고 명확하게 제시한 연구 또한 찾기 어려운 실정이다. 이에 본 연구는 모더니즘미술 사조 중 입체주의, 차원주의, 초현실주의의 선언문을 조명해 당시 이에 참여한 작가들의 수학적관심을 확인하고, 이후 다양한 모더니즘 작가의 작품을 살펴 작품 속에 드러난 수학적 접근을 명확히이해하는 것을 목적으로 한다. 20세기 초에 등장한 아인슈타인의 상대성 이론은 과학의 패러다임을바꾼 획기적인 사건으로 비유클리드 기하학에 기반을 두었다. 비유클리드 기하학은 유클리드 기하학이 전제한 절대적 공리를 깨는 데 큰 역할을 했는데, 이는 당시 예술가들에게도 큰 영향을 끼쳤다. 항상 새로운 것에 대한 갈망을 추구한 모더니즘 미술가들에게 비유클리드 기하학은 매력적으로 다가왔다. 본 연구에서 조명하는 수학적(과학적) 개념은 상대성 이론, 비유클리드 기하학, 동시성, 사차원 시공간, 공간 사차원이다. 이에 대한 이해는 이후 다양한 작품의 수학적 해석을 가능하게 하는데, 본 연구에서는 당시 모더니즘 미술을 이끌었던 폴 세잔, 파블로 피카소, 마르셀 뒤샹, 막스 에른스트, 살바도르 달리와 함께 모더니즘 미술의 명맥을 이어나간 막스 빌과 요한 오토 폰 스프레켈센의 작품을 살핀다. 비유클리드 기하학과 상대성 이론 등은 모더니즘 예술가들로 하여금 대상에 대한 표현에서 전통적인 형식을 버리게 한다. 그들은 각자 나름의 수준과 인식으로 수학에서의 새로운 개념들을 접하고이를 그들만의 조형언어로 표현했다. 그러므로 그들 작품 속 수학적 개념을 학문 그 자체로 접근하는것은 의미가 없다. 그들의 이해는 상당 부분 본능적이고 예술적이기 때문이다.

로바체프스키의 수학철학과 비유클리드기하

박창균,Park, Chang-Kyun 한국수학사학회 2011 Journal for history of mathematics Vol.24 No.4

이 글의 목적은 비유클리기하의 제안자의 한사람인 로바체프스키의 수학철학이 현대수학철학의 일종의 저수지였음을 보이고, 그의 수학철학이 비유클리드기하의 탄생에 기여했음을 밝히는 것이다. In this paper I claim that Lobachevsky's philosophy of mathematics is a kind of reservoir of contemporary philosophy of mathematics. I discuss how his philosophy contributed to the rise of non-Euclidean geometry.

기하학 예비교사교육 연구 - 수학에 대한 인식변화를 위한 수업개발 및 적용

진선숙(Jin, Sun-Sook) 공주교육대학교 초등교육연구원 2019 敎育論叢 Vol.56 No.4

본 논문에서는 미래 초등교육을 담당하게 될 교육대학교 학생들에게 수학에 대한 부정적인 인식을 긍정적인 방향으로 변화시킬 수 있는 수학 내용학 수업을 개발 적용하고자 한다. 수학내용학 커리큘럼에서 특히, 기하학 수업을 통해 수학이라는 학문이 정적이고 고정적인 시각에서 시작된 학문이 아니라 자유롭고 다양하게 세계를 바라보는 시각에서 변화되고 발전되어 온 학문이라는 것을 체감할 수 있게 한다 In this paper, we are going to develop and apply mathematics content studies classes that can change the negative perception of mathematics in a positive direction to the students of the education college who will be in charge of future primary education. In the mathematics content studies curriculum, especially through geometry classes, one can feel that the subject of mathematics is not from a static and fixed point of view, but has been changed and developed from a liberal and diverse perspective of the world.

문학과 수학의 문제: 역설과 부정을 중심으로

정익순(Chung, ik-soon) 한국문화융합학회 2016 문화와 융합 Vol.38 No.4

우리가 무엇인가를 수학적으로 의식한다는 것은 무엇인가에 들어 있는 명백한 이중성에 이끌렸다는 것이다. 그것이 역설로서 유클리드의 기하학에서 시작되었고 결국 수학적 상상력은 우리의 정신과 감각에까지 영향을 미친다. 수학은 인간이 상상할 수 있는 무한의 개념도 가장 단순한 형식으로 만들 수 있고 그것을 경험할 수 있도록 공식이나 도표로 만들어 합리적인 조직 속에서 검증되도록 한다. 더 나아가 수학은 가장 작은 세계로부터 가장 넒은 우주의 신비는 물론 복잡한 인간의 정신과 세상의 사물에 대한 정확성 언어를 가지고 있다. 이 논문은 수학을 단순한 공식으로 대입하거나 대체할 수 있는 대수학적 방식이 아니라 인간의 행동과 순수한 사고를 융합할 수 있다는 가능성에서 출발한다. 수학의 형식을 통해 인간의 사고와 행동을 해석하고 연결시키는 것은 중요한 과제이다. 유클리드 기하학은 근본적인 사유로서의 공리이지만 비유클리드 기하학의 등장으로 수학은 더 이상 요약된 수학의 상징적 언어가 아니다. 그 중에서도 문학적 상상력을 수학적 상징으로 대입함으로써 얼마나 자연적으로 문학적 상상력과 시의 사고할 수 있는지를 가늠하고자 한다. 왜냐하면 수학은 모든 언어 중에서도 가장 안정되고 창의적인 언어이기 때문이다. This paper studies the fact that in literature, philosophy and human science the paradox and negative are related and evidenced by the axiom and proposition of Euclidean geometry in principle, norm and regulation to think from the ancient period to the 18th century. The point here this paper insists is that we don’t think Zeno’s story is not literary episode but mathematical fact or just paradox so that we can not go to the imaginary notion or dimension outside for many years just because we have prisoned in the dialect and logic for the system and formula in mathematics that are very important to know specific legend. Therefore, in order to analyze the Wordsworth’s poetry as a sample we get over the confined and restricted paradox or logic from the form or fly to the physical or universal truth or beauty in the content of literature. Finally it is not the language just for the mathematical understanding of precision and completeness. It is the one we symbolize and created the inside or outside of nature through the mathematical sense. Because mathematic is the language that are steady, convergent, divergent silence or presence in the world.

들뢰즈에서 위상학적 사유와 새로운 공동체의 가능성

연효숙 ( Yon Hyo Sook ) 한국철학사상연구회 2021 시대와 철학 Vol.32 No.4

이 글에서는 첫째, 위상학적 사유가 출현하게 되는 배경으로, 서양근대철학에서 공간 문제가 대두되는 배경과 수학에서 유클리드 기하학과는 다른 비유클리드 기하학이 형성되는 배경을 살핀다. 그리고 들뢰즈의 위상학적 사유가 마련되는 수학적, 철학적 논의를 통해 ‘다양체’ 개념의 중요성을 부각시킨다. 둘째, 들뢰즈의 존재론에서 위상학적 사유의 단초를 『차이와 반복』의 제4장을 중심으로 찾는다. 나아가 들뢰즈의 잠재적 다양체와 위상학적 공간이 어떻게 연결되는지를 통해 위상학적 사유를 규정한다. 셋째, 이러한 위상학적 사유를 통해 새로운 공동체의 가능성을『천개의 고원』을 중심으로 논의한다. 이러한 과정을 거쳐 이 글의 최종 목적은 ‘들뢰즈의 위상학적 사유를 통해 새로운 공동체의 가능성을 찾을 수 있을까’ 하는 점이다. 이러한 문제를 연구하면서 이 글에서는 위상학적 사유로의 전회가 공동체 문제에 주는 의미와 한계에 대해 규명하고자 한다. This essay, first of all, reserches, for a background of a topological thought, in western modern the background of theme of space in philosophy and the background of non-Euclidian geometry being different from Euclidian geometry in mathematics. And the importance of the concept of ‘multiplicity’ will be exposed through the mathematical and philosophical arguments being prepared by the topological thought in Deleuze. Secondly, a clue of the topological thought will be found in chap.4 of Difference and Repetition in Deleuze’s ontology. Furthermore, the topological thought is defined by being connected the potential multiplicity with topological space. Thirdly, the possibility of a new community is discussed in A thousand plateaus through the topological thought. After that, the final aim of this essay is that the possibility of a new community can be found in the topological thought in Deleuze. Researching the theme, this essay will define the meaning and limit of revolution of the topological thought being related with community.