수학적 모델링의 정교화 과정 연구

강옥기 대한수학교육학회 2010 수학교육학연구 Vol.20 No.1

학교수학에서 다루는 수학적 모델링의 일반적인 특성은 하나의 실제적인 문제를 해결하기 위하여 수학적 모델을 도입하고 이를 풀어서 실제적인 문제에 답을 제시하는 일회적인 경우가 많다. 그러나 실제적인 문제는 일회적인 모델링으로는 해결되지 않거나 그 해가 충분히 정밀하지 못한 경우가 있다. 본 연구는 여러 가지 변인을 가진 실제적인 문제를 해결하기 위해 수학적 모델을 구성할 경우, 구성한 수학적 모델의 해의 의미성을 분석해 보고 필요하면 더욱 정교한 해를 구할 수 있는 모델로 나아가는 수학적 모델링의 정교화 과정 모형을 구안하였다. 또한 그것을 수학교실에서 활용할 수 있는 수학적 모델링의 예를 제시함으로써 학교수학에서 수학적 모델링의 정교화를 다룰 수 있게 하였다. Mathematical modeling is an important part of mathematics education since it can be used or created to find mathematical models to understand real life various situations. Most of mathematical modeling tasks taught and learned currently in secondary school mathematics classes need simple mathematical modelling with one or two variables and produce fixed solutions to the real life problems. But many real life problems involve various and complex variables which can be used to get more proper solutions. Constructing mathematical models to get more appropriate solutions from the real pro- blems having various and complex variables is not easy. In this paper the researcher sug- gested a model to fit mathematical models to get more appropriate solutions and showed three examples to apply the model in solving real life problems which can be treated in the secondary school mathematics classrooms.

수학적 창의성의 요소와 창의성 개발을 위한 수업 모델 탐색

이대현 한국초등수학교육학회 2012 한국초등수학교육학회지 Vol.16 No.1

학교 교육을 통하여 창의적인 인간을 양성해야 한다는 요구가 계속되고 있다. 특히 2011 수학과 교육과정 개정에서는 수학적 창의성과 인성을 길러주는데 초점을 두고 있다. 이를 위해 교육 현장에서 학생들의 창의성 개발을 위한 구체적인 방안의 모색이 필요하다. 이에 본 연구에서는 수학적 창의성의 요소를 추출하고, 창의성 개발을 위한 수업 모델을 탐색해 보았다. 먼저, 수학적 창의성에서의 논점과 수학적 창의성의 요소를 인지적, 정의적, 태도적 측면으로 알아보았다. 이러한 요소들은 수학적 창의성 개발 수업에서 창의성 개발에 영향을 주는 요소이며, 창의성을 평가하는 요소가 될 것이다. 이러한 기저를 바탕으로 수학 학습에서 학생들의 수학적 창의성을 기를 수 있는 8가지 수학과 창의성 개발 수업 모델을 제시하였다. 8가지 수학적 창의성 개발을 위한 수업 모델은 수학의 특성과 최근에 강조되는 수학교육 이론 및 창의성 이론을 바탕으로 하였다.

코로나바이러스 모델링의 사회학: 영국의 수학적 모델은 왜 초기방역에 실패했는가?

김기흥(Kim, Kiheung) 한국이론사회학회 2020 사회와 이론 Vol.37 No.-

지난해 12월에 발생한 신종감염병인 코로나-19는 엄청난 확산력으로 초유의 팬데믹으로 이어졌다. 특히 서유럽 국가들의 경우 초기방역에 실패하면서 국가의 활동을 중단하는 전면적 봉쇄정책으로 이어졌다. 유럽의 봉쇄정책은 한국이 진행했던 “봉쇄없는 억제정책”과는 매우 다른 질병관리체계에 근거했다. 특히 영국의 질병관리정책은 지금까지 교과서적인 수준의 정교하고 치밀한 방역정책에 근거하여 성공해왔다. 하지만 이번 신종 코로나바이러스의 확산과정에서 영국의 방역정책은 완전한 실패로 이어졌다. 영국의 방역정책은 근본적으로 두 가지 원칙에 근거했다; 수학적 모델에 기초한 예측과 독감모델에 근거한 전략이다. 본 논문은 영국 방역정책의 기반이 된 수학적 모델이 기반한 예측방법이 어떻게 전례 없는 실패로 이어졌는가를 분석하게 될 것이다. 수학적 모델에 기반한 질병의 확산예측모델의 효용은 이미 1990년대 광우병 확산과 2001년 구제역 확산과정에서 이미 그 기술적 신뢰를 얻었으며 방역정책에 기본적인 자원으로 사용되었다. 2020년 코로나-19의 확산에 대한 방역정책을 준비하는 과정에서 임페리얼 컬리지 연구팀이 제시한 수학적 모델은 전국적인 봉쇄정책을 결정하는 데 결정적인 역할을 했다. 하지만 수많은 확진자와 사상자를 낸 방역정책의 실패에 대해 일부 학자들은 “한 세기에 한 번 일어날 수 있는 증거 부족으로 인한 정책의 실패”로 규정하면서 수학적 모델링의 신뢰성에 문제를 제기했다. 본 논문은 임페리얼 컬리지 연구팀의 수학적 모델링에 기반한 코로나-19 확산 모델의 형성과 유용성을 둘러싼 논쟁을 분석할 것이다. 또한, 충분한 실제 질병데이터에 기반하지 않은 모델의 유용성을 둘러싼 논쟁을 분석하면서 코로나-19 팬데믹의 상황에서 유럽 및 미국의 방역정책에서 질병모델이 어떤 맥락에서 사용되었는가에 대해 분석할 것이다. 이러한 방역전략을 분석함에 있어서 몇 가지 설명요인으로 환원하여 설명하는 접근은 전체적인 질병 거버넌스를 이해하는데 한계가 있다. 이러한 문제를 극복하기 위해 과학기술학에서 제기하는 “과학실천스타일”이라는 개념을 적용하여 수학적 역학모델이 어떻게 방역전략과 결합되었는가를 설명할 것이다. 본 연구는 한국의 코로나-19 방역정책의 특이성을 이해하는데 있어서 중요한 비교대상으로서 유럽국가의 방역체계와의 비교를 위한 기초가 될 것이다. Since the mysterious pneumonic disease was reported in Wuhan, China in December 2019, the novel infectious disease has made an enormous social and economical impact on every corner of the world. As Covid-19 becomes the pandemic case, European countries failed to control the spread of disease and implemented the total national lockdown, while Korea has undertaken quite a different strategy of disease control without lockdown. In particular, this paper focuses on the case of the British strategy for controlling Covid-19, which turned out to be a total failure. The British way of governing the disease is based on two main principles: the mathematical epidemiological model and flu-based model. This study examines the disease control policies that is base on the mathematical epidemiological model, which leads to unprecedented failure. In Britain, the mathematical epidemiology has a long history since the BSE and FMD in the late 1990s and early 2000s. Since then, the mathematical epidemiology plays a significant role in predicting the spread of infectious diseases and making crucial decisions in the level of government. During the early stage of the Covid-19 pandemic, mathematical epidemiologists in Imperial College London become prominent figures when the Conservative government decided to shut down the whole nation. This study explores how the mathematical model becomes an important tool for controlling Covid-19. Also, the controversy between the mathematical epidemiologists and clinical epidemiologists on the effectiveness and credibility of the mathematical models for predicting and controlling disease without collecting empirical data would be discussed. To analyse the controversy, the concept, styles of scientific practice in the field of science and technology studies is to be introduced and mobilised to explain the difference between the two positions. This study would be a useful case for establishing long-term strategies for governing Covid-19 in Korea.

2007년 이후 국내 논문 결과에 근거한 수학적 모델링 탐색

황혜정 ( Hwang Hye Jeang ),민아람 ( Min Aram ) 한국수학교육학회 2018 수학교육논문집 Vol.32 No.2

2007년에 수학적 모델링에 관한 주제로 국내 학회지에 실린 총 11편의 선행 연구 및 22편의 석사학위논문을 대상으로 수학적 모델링에 관한 이해를 탐색하였는데(황혜정, 2007), 이와 동일한 취지와 목적으로 2007년 이후 수학적 모델링에 관하여 전반적인 사항을 검토해 보는 것은 의미 있는 일일 것이다. 2007년부터 2017년까지 10년간 국내에서 수학적 모델링을 주제를 다루는 논문은 총 24편으로, 여기에는 한국수학교육학회의 ‘수학교육’과 ‘수학교육 논문집’, 대한수학교육학외의 ‘수학교육학연구’와 ‘학교수학’, 그리고 한국학교수학회의 ‘한국학교수학회논문집’ 논문이 해당된다. 결과적으로, 본 연구에서는 총 24편의 논문을 중심으로, 수학적 모델링의 의미, 수학적 모델링의 문제의 특징과 유형, 수학적 모델링에서의 모델의 의미 등에 대하여 분석하여 재정리해 보고자 한다. 다만, 2007년 연구에서는 22편의 석사학위논문을 부가적으로 참조하여 연구를 수행하고 학회지의 것과 상이하게 다른 점을 비교하였는데, 금 번에는 학회지 논문만도 총 24편에 달하므로 이에 초점을 두어 연구를 수행하고자 한다. 아울러, 이러한 선행 연구자들간의 다소 다른 견해나 강조점들에 관한 의견을 종합하여 정리하는 과정에서 수학적 모델링과 관련된 몇몇 국외 문헌들을 참조하고자 한다. Problem solving and its mathematical applications have been increasingly emphasized in school mathematics over the past years. Recently it is recommended that mathematical applications and modelling situations be incorporated into the secondary school curriculum. Many researchers on the approach have been conducted in Korea. This study is planning to investigate and establish the meaning of mathematical modelling and model, mathematical modelling process. And also it does the properties of problem situations introduced and dealt with in mathematical modelling activity. To accomplish this, this study is based on the analysis and comparison of those 24 articles. They are ones which have been published from 2007 to 2017 and are included in the five types of publication. Prior to this study, the previous study was conduct in 2007 with the same purpose. Namely, by the subject of 11 articles and 22 master dissertations published domestically from 1991 to 2005, the analytic and explorative study on the mathematical modelling and its understanding had been conducted.

수학적 의사소통 모델 개발을 위한 요소 탐색 및 분석

김향숙 ( Hyang Sook Kim ),이성애 ( Sung Ae Lee ) 경북대학교 중등교육연구소 2010 중등교육연구 Vol.58 No.1

최근 들어 교수·학습 과정에서 교사와 학생, 학생과 학생의 상호작용을 통한 의사소통 활동이 수학교육의 중요한 부분으로 강조되고 있다. 이러한 관점은 2007년 제7차 개정 수학과 교육과정에도 반영이 되어, 2009년부터 사용된 개정 교육과정에 따른 고등학교 수학 교과서의 대부분에는 다양한 형태의 의사소통 문제 또는 코너가 마련되어 의사소통 능력의 신장에 그 무게를 싣고 있음을 엿볼 수 있다. 이에 본 논문에서는 수학적 의사소통 모델 개발을 위해 수학적 의사소통에 영향을 주는 요소들을 추출하여 수학적 의사소통 모델의 프로토타입(prototype)을 만들고, 전문가의 타당도 검사를 거쳐, 교과서의 직접적인 활용자인 교사를 대상으로 수학적 의사소통에 대한 인식 정도와 수학적 의사소통 모델의 프로토타입에 대한 의견을 알아보고자 설문조사를 실시하고 분석하였으며, 이를 바탕으로 수학적 의사소통에 관한 한 모델을 개발·제시하였다. Recently, the communication through the interaction of a teacher and students, a student and another student(the others) in the teaching-learning process has been emphasized as the important subject of mathematics education. These points of view are reflected in the 7th Mathematics Educational Curriculum Revision and most of the textbooks on mathematics based on the 7th Curriculum include problems about communication or communication-related corners. Through these facts we can get a sense of the importance of mathematical communication. Therefore, to develop mathematical communication model, this study extracted the factors which affect mathematical communication, developed the prototype on mathematical communication model, after expert`s validity test, and carried out a survey targetting mathematics teachers who are doing with a textbook in the classroom. Thereby, we tried to inquire into teachers` awareness of the mathematical communication and analyze how they think about the prototype of mathematical communication model. Finally we developed and suggested a model about mathematical communication.

모둠별 게임 변형을 통한 초등수학영재들의 수학적 정교화 과정 분석

성예원,송상헌 대한수학교육학회 2013 학교수학 Vol.15 No.3

본 연구는 초등수학영재들이 수학적 소재의 기존 게임을 변형하여 새로운 게임을 만들어 가는 동안 모둠내 토론 과정에서 드러나는 수학적 정교화 과정을 분석하고 이를 모델화한 것이다. 이를 위해 한 개의 지역공동영재학급에서 5주간의 수업을 진행하였으며, 특히 게임의 변형의 아이디어를 모둠별로 모아가는 수학적 정교화 과정을 모델로 구안하고자 하였다. 정교화 과정에서 수학적 경로와 수학외 경로가 상호작용을 하는 이중 경로의 모습을 띄었으며, 수학적(논리적) 근거에 따라 3가지의 수학적 경로(호의, 비호의, 중립)와 4가지의 수학외 경로(비일관성, 사회적 증거, 호감, 권위)으로 분석할 수 있었다. 이 과정에서 수시로 통찰이 일어났으며, 이 과정을 거쳐 수학적 규칙이 모둠에서 수렴되는 정교화의 모습을 볼 수 있었다. 이를 바탕으로 초등수학영재들이 모둠별로 게임을 변형하는 과정에서 보이는 수학적 정교화 과정을 분석하고 수학적 정교화 모델을 제안하였다. One area where research is especially needed is their elaboration process and how they elaborate their idea as a group in a mathematical board game re-creation project. In this research, this process was named ‘Mathematical Elaboration Process’. The purpose of this research is to understand how the gifted children elaborate their idea in a small group, and which idea can be chosen for a new board game when they are exposed to a project for making new mathematical board games using the what-if-not strategy. One of the gifted children’s classes was chosen in which there were twenty students, and the class was composed of four groups in an elementary school in Korea. The researcher presented a series of re-creation game projects to them during the course of five weeks. To interpret their process of elaborating, the communication of the gifted students was recorded and transcribed. Students' elaboration processes were constructed through the interaction of both the mathematical route and the non-mathematical route. In the mathematical route, there were three routes; favorable thoughts, unfavorable thoughts and a neutral route. Favorable thoughts was concluded as ‘Accepting’, unfavorable thoughts resulted in ‘Rejecting’, and finally, the neutral route lead to a ‘non-mathematical route’. Mainly, in a mathematical route, the reason of accepting the rule was mathematical thinking and logical reasons. The gifted children also show four categorized non-mathematical reactions when they re-created a mathematical board game; Inconsistency, Liking, Social Proof and Authority.

활성슬러지 모델 수정을 통한 동시 질산화·탈질 반응 해석

김효수(Hyo Su Kim),김예진(Ye Jin Kim),이성학(Sung Hak Lee),문태섭(Tae Sup Moon),최재훈(Jae Hoon Choi),김창원(Chang Won Kim) 大韓環境工學會 2008 대한환경공학회지 Vol.30 No.2

동시 질산화·탈질은 낮은 DO 농도로 유지되는 동일한 반응조에서 질산화 반응과 탈질 반응이 동시에 발생함을 의미한다. 동시 질산화 탈질 반응을 모사할 수 있는 몇몇 수학적 모델들이 개발되었지만, 모델 구조가 복잡하거나 모델을 적용하기 위한 다양한 제반 지식을 얻어야만 정확한 결과를 얻을 수 있어 범용적인 모델 적용에 한계점이 있는 단점이 있었다. 이와 같은 문제를 해결하기 위해, 동시 질산화·탈질 반응이 반응기 내 DO 농도의 부분적 부재로 발생한다는 가정 하에, 만약 활성슬러지 모델을 사용하여 동시 질산화·탈질 반응의 거동을 해석할 수 있다면, 모델의 구조가 다른 개발된 모델들보다 복잡하지 않고, 다양한 운전 조건에서 모델이 활용될 수 있을 것으로 판단하였다. 하지만 기존의 활성슬러지 모델로는 호기 조건에서 발생하는 탈질 반응을 표현하기 어려운 점이 있기 때문에, 본 연구에서는 활성슬러지 모델을 수정함으로써 동시 질산화·탈질 반응을 해석하고자 하였다. 활성슬러지 모델 No.1(ASM1)이 선택이 되어 탈질 반응식이 수정되었으며, 수정된 ASM1의 시뮬레이션 결과는 측정값의 거동을 잘 모사하였다. 이를 통해 수정된 ASM1은 실험 결과에 기반하여 구한 hg의 값과 호기 조건에서의 탈질 반응을 모사하기 위해 수정된 Monod 식의 영향으로 모델의 구조가 본 연구의 실험 결과에서 확인된 동시 질산화·탈질 반응을 해석할 수 있도록 구성되었다고 사료된다. Simultaneous nitrification and denitrification means that nitrification and denitrification occur concurrently in the same reaction vessel under low DO concentration. Some mathematical models developed to simulate simultaneous nitrification and denitrification reaction, but they have the complex model structures or have limitations of model application. To solve these problems, if possible that predict the behavior of simultaneous nitrification and denitrification reaction by activated sludge model, structures of the model is less complex than previous models and applies the various operation conditions. But original activated sludge models have difficulties in representing the denitrification reaction under aerobic condition. So the aim of this study is to interpret simultaneous nitrification and denitrification reaction by modifying activated sludge model. Original activated sludge model No.1(ASM1) was selected and modified. The simulation result in modified ASM1 predicted appropriately for the measured data. This indicates the structures of ASM1 are properly improved for interpretation of simultaneous nitrification and denitrification reaction.

게임 이론을 이용한 사교육 현상에 대한 이론적 접근

노은환,강정기,노문기 한국학교수학회 2013 韓國學校數學會論文集 Vol.16 No.4

공교육과 대비되는 개념으로서 사교육은 여러 가지 측면에서 국가차원의 문제로 대두된 지 오래다. 하지만 그간의 연구는 사교육 과열현상에 대한 실태 파악과 사교육비 경감을 위 한 정책의 효과를 검증하는 등에 치우쳐 근본적인 대안의 마련에는 어려움을 겪고 있는 실 정이다. 본 연구에서는 사교육이 공교육에 미치는 영향을 부정하지 않으면서 사교육 현상을 분석하기 위한 두 가지 수학적 모델을 만들어 게임 이론으로 해석을 시도하였다. 하나는 2인 으로 구성된 모델로서, 학교 내에서 이루어지는 경쟁을 단순화한 것이다. 이 모델에서는 교 사의 역량 강화보다는 학교 시험과 사교육과의 연결고리 차단이 사교육 근절의 핵심으로 파 악되었다. 다른 하나는 외부 경쟁자를 상징하는 제 3의 학생이 개입된 3인으로 구성된 모델 로서, 학교 간에 이루어지는 경쟁을 단순화한 것이다. 이 모델에서는 학교 시험과 사교육과 의 비 연결은 물론이고, 교사의 역량 강화가 사교육 근절의 핵심으로 파악되었다. 2인 모델 에 기반한 접근은 학교 간에 불거지는 공정성 문제를 제어할 수 없는 만큼, 3인 모델에 기반 한 접근이 요구되며, 이에 따르면 사교육 현상의 해법을 위한 정책은 교사의 역량 강화와 학 교 시험과 사교육과의 비 연결을 위주로 이루어져야 한다. 결국 국가에서는 교사의 역량을 강화할 수 있는 지원을 아끼지 말아야 할 것이다. 본 연구가 사교육 현상에 대한 교육 정책 결정에 도움이 되며, 수학의 영향력이 사회 현상의 해석까지 미칠 수 있음을 인식하는 계기 가 되길 바란다. The purpose of the study is to analyze the phenomenon of private education and to get the countermeasures of it. To do this, we approached the phenomenon of private education from the game theory, which is famous in economics. As result, we could make the mathematical model. One is a model consisted of two-person. This is a mathematical model simplifying the competition within the school. The problem of private education can be solved by the disconnection with private education and exam of school in this model. The other is a model consisted of three-person. This is a mathematical model simplifying the interscholastic competition. The problem of private education can not only be solved by the disconnection with private education and exam of school, but can be also solved by the specificity of school education in this model. We will hope that our study can give an aid in deciding an educational policy.

수학과 교육과정의 변화에 따른 초등학교 3,4학년 교과서의 수학적 모델링 관련 제시 방법 분석

정승요,박만구 한국학교수학회 2016 韓國學校數學會論文集 Vol.19 No.1

본 연구는 수학과 교육과정의 변화에 따라서 초등학교 3,4학년 수학교과서의 수학적 모델 링 관련 제시 방법을 분석하고, 수학적 모델링 관점에서 교과서 개발의 방향을 제시하는 것 을 목적으로 하였다. 분석의 틀은 김민경(2010)이 수학적 모델링 관점에서 제시한 Mathematics in Context[MiC]와 우리나라 초등수학교과서의 분석 기준을 예비조사를 통해 적용한 후, 수정·보완하여 우리나라 교과서에 대한 분석 기준으로 사용하였다. 연구 결과 7 차 교육과정에서 2009 개정 교육과정에 의한 수학교과서로 변화하면서 수학적 모델링의 관 점에서 볼 때, 실세계 맥락의 상황 제시는 ≪확률과통계≫를 제외한 모든 영역에서 증가하였 고, 수학적 모델의 표현 방법은 ≪규칙성≫을 제외한 전 영역에서 표현 방법이 다양해졌으 며, 의사소통에 있어서는 ≪규칙성≫영역을 제외한 모든 영역에서 유형이 다양화되고 빈도가 증가하였다. 연구 결과를 바탕으로 향후 교과서 개발에서 고려해야 할 부분을 제시하였다. The purpose of this study was to analyze the sentences related with mathema tical modeling in the third and fourth grade mathematics textbooks in accordanc e with changing of Korean mathematics curricula. In the preliminary analysis, th e researchers used the criteria that Kim(2010) had analyzed Mathematics in Con text[MiC], and analyzed South Korean textbooks from the perspective of mathe matical modeling. The researchers revised them for the analysis criteria among South Korean elementary mathematics textbooks and employed them as the anal ysis framework of the present study. From the mathematical modeling perspecti ve, the study reached the following conclusions in accordance with the change o f textbooks from the 7th curriculum to the 2009 revised curriculum. The context s of real-world situations presented in the textbooks are increased in all areas e xcept Probability and Statistics areas, the methods of expression of mathematica l model are diversified in all areas except Patterns area, and the communication types are also diversified and frequencies increased in all areas except Patterns area. Based on this research, several suggestions were made for the developmen t of future textbooks.

수학적 불변성과 이에 기반을 둔 교수-학습 방안 연구

하헌성(Ha Heon Seong),박윤범(Park Yun Beom),도종훈(Do Jong Hoon) 서원대학교 사범대학 부설 교육연구소 2018 교육발전 Vol.38 No.2

수학적 불변성이란 어떤 변환이 수학적 대상에 작용하였을 때 특정한 양이나 속성이 변하지 않는 특성이다. 학교수학의 곳곳에서 수학적 불변성이 내재된 내용을 찾아볼 수 있는데, 이를 어떻게 다루느냐에 따라 교사의 가르치는 방법이 달라질 것으로 기대할 수 있다. 본 연구에서는 학교수학에서 수학적 불변성의 구체적인 사례를 찾아보고, 수학적 불변성을 염두에 둔 교수-학습 방안(Mathematical Invariance Based Learning, MIBL)을 제안한 뒤 그 의의를 살펴보았다. 이를 통해 학교수학의 내용을 수학적 불변성의 측면에서 재조명하였고, MIBL의 필요조건으로서 수학적 불변성의 가치를 제고할 수 있었다. Mathematical invariance is a characteristic in which a particular quantity or property does not change when a transformation is applied to a mathematical object. The mathematical invariance can be found in many places in school mathematics. Depending on how we deal with it, we can expect that the way teachers teach will be different. In this study, we searched for concrete examples of mathematical invariance in school mathematics, and proposed a teaching-learning method with mathematical invariance in mind(Mathematical Invariance Based Learning, MIBL), looked at its educational significance. Through this, the contents of school mathematics were reexamined in terms of mathematical invariance, and the value of mathematical invariance was raised as a requirement of MIBL.