숨겨진 구조를 찾아서

신재홍(Jaehong Shin),이수진(Soo Jin Lee) 수학교육철학연구회 2023 수학교육철학연구 Vol.5 No.2

미지값 비례 과제에 대한 수 구조별 인지적 조작 분석

박정선(Jeongseon Park),신재홍(Jaehong Shin) 수학교육철학연구회 2023 수학교육철학연구 Vol.5 No.1

본 연구는 미지값 비례 과제의 해결 과정에서 필요로 하는 인지적 조작 활동을 분석한 것이다. 이는 비례 추론 분야에서 독립적으로 진행된 ‘비례 추론에서 수 구조의 특성’, ‘비례 추론 과제에 대한 수학적 분석’, 그리고 ‘조작과 스킴 관점에서 수 지식과 비례 추론의 관계’를 분석한 연구들을 종합하여 비례 추론을 분석하려는 시도이다. 이를 위해 다양한 수 구조를 갖는 비례 과제를 제시하고 이를 해결하는 과정에서 필요로 하는 인지적 조작에 대해 개념적 분석을 실시하였다. 개념적 분석 결과, 첫째, 수 구조별로 달랐던 학생들의 비례 추론은 해결 과정에서 필요로 하는 단위 조정 활동 및 단위 수준의 영향을 받았다. 둘째, 같은 수 구조일지라도 접근 방식에 따라 필요로 하는 인지적 조작이 달랐다. 셋째, 자연수에서 구성한 단위 조정 활동은 모든 수 구조에서 활용되었다. 넷째, 복잡해 보이는 비례 과제라 하더라도 분수 지식이 해결의 기저가 되었다. 이러한 결과는 수 구조와 관련된 비례 추론을 인지적 측면에서 설명하였고, 수 지식과 비례 추론의 관계를 수 구조의 특성과 연결하여 구체적으로 보였다는 의의를 갖는다. The aim of this study is to analyze what and how cognitive operations are required in the process of solving missing-value proportion problems. This is an attempt to synthesize the following studies conduced independently in the field of proportional reasoning: ‘characteristics of number structures in proportional reasoning’, ‘mathematical analysis of proportional reasoning tasks’, and ‘relationships between numerical knowledge and proportional reasoning in terms of operations and schemes’. To this end, proportion problems with various number structures were presented, and a conceptual analysis was conducted from the researcher's point of view on the cognitive operations required in the process of solving it. As results of the conceptual analysis, first, units coordinating operations and unit levels required in the solution process differed by number structures. Second, even with the same number structure, different cognitive operations were required depending on the approach. Third, units coordinating operations constructed in whole numbers were utilized in all number structures. Fourth, fractional knowledge became the basis for solving in complex proportion problems. These results have the significance of explaining proportional reasoning related to number structures from a cognitive aspect, and showing specific relationships between proportional reasoning and numerical knowledge with the characteristics of number structures.

수학교육에서 진보주의와 구성주의 적용에 대한 성찰

박정선 ( Park¸ Jeongseon ),신재홍 ( Shin¸ Jaehong ) 한국수학교육학회 2021 수학교육 Vol.60 No.3

본 연구는 진보주의 교육과 구성주의 교육이 학습자의 주관적 지식을 강조한다는 측면에서 공통점이 있으며, 이 두 교육 사조로부터 도출된 교육 원리가 수학교육 연구와 현장에 채택되어 적용될 때 유사한 문제점 또는 부작용이 발생한다는 문제의식을 전제로 수행되었다. 주관적 지식을 강조하는 진보주의와 구성주의는 이를 교육 현장에 적용함에 있어 주관적 지식 강조의 의미, 그 목적 및 적용 방향을 분명히 할 필요가 있었다. 이 문제에 대해 먼저 과거 진보주의의 교육적 적용 방식에 대해 Dewey의 이론을 바탕으로 반성해보고, 이를 거울삼아 동일한 문제에 대한 현재 구성주의의 교육적 적용에 대해 비판적 성찰을 시도하였다. 이를 통해 구성주의에 대한 발전적 이해와 수학 교실에서 보편적 이론으로 자리매김할 수 있는 논의의 단초를 제공하고자 하였다. The present study was conducted on the assumptions that both progressivist and constructivist education emphasized the subjective knowledge of learners and confronted similar problems when the derived educational principles from the two perspectives were adopted and applied to mathematics research and practice. We argue that progressivism and constructivism should have clarified the meaning, purpose, and direction of ‘emphasizing subjective knowledge’ in application to the particular educational field. For the issue, we reflected Dewey’s theory on the application of past progressivism, and aligned with it, we took a critical view of the educational applications of current constructivism. As a result, first, the meaning of emphasizing subjective knowledge is that each of the students constructs a unique mathematical reality based on his or her experience of situations and cognitive structures, and emphasizes our understanding of this subjective knowledge as researchers/observers. Second, the purpose of emphasizing subjective knowledge is not to emphasize subjective knowledge itself. Rather, it concerns the meaningful learning of objective knowledge: internalization of objective knowledge and objectification of subjective knowledge. Third, the application of the emphasis on subjective knowledge does not specify certain teaching/learning methods as appropriate, but orients us toward a genuine learner-centered reform from below. The introspections, we wish, will provide new momentum for discussion to establish constructivism as a coherent theory in mathematics classrooms.

단위 조정에 따른 초등학생의 분수 개념 이해 분석

유진영 ( Yoo Jinyoung ),신재홍 ( Shin Jaehong ) 한국수학교육학회 2020 初等 數學敎育 Vol.23 No.2

본 연구의 목적은 학생의 단위 조정 능력이 분수 개념 이해와 어떻게 관련되는지 탐구하는 데 있다. 이를 위해 초등학교 4학년 학생을 대상으로 4개월(2019.3.~2019.6.)에 걸쳐 교수 실험을 진행하였고 본 논문에서는 학생의 분수개념 이해와 관련된 스킴과 조작이 교수 실험 동안 어떻게 변화하였는지에 대한 상세한 분석을 제시하였다. 학생의 단위 조정 조작은 분수 개념을 이해하는 능력과 밀접한 연관이 있는 것으로 나타났는데, 수업 초반에 부분 분수 스킴의 학생은 분수를 2수준 단위를 가지고 조작함으로써 분수를 또 다른 종류의 자연수로 인식하였다. 학생은 진분수와 전체 1을 단위 분수의 배수로 동시에 인식하면서 분수를 자연수와 명확히 구분하였다. 역 부분 분수 스킴의 학생은 1보다 큰 자연수를 내재화된 3수준 단위로, 자연수 아닌 가분수를 활동 중에 3수준 단위로 구성하였다. 본 연구의 결과를 바탕으로 결론 및 교수학적 시사점을 제시하였다. The purpose of this study is to explore how units-coordination ability is related to understanding fraction concepts. For this purpose, a teaching experiment was conducted with one fourth grade student, Eunseo for four months(2019.3. ~ 2019.6.). We analyzed in details how Eunseo’s units-coordinating operations related to her understanding of fraction changed during the teaching experiment. At an early stage, Eunseo with a partitive fraction scheme recognized fractions as another kind of natural numbers by manipulating fractions within a two-levels-of-units structure. As she simultaneously recognized proper fraction and a referent whole unit as a multiple of the unit fraction, she became to distinguish fractions from natural numbers in manipulating proper fractions. Eunseo with a reversible partitive fraction scheme constructed a natural number greater than 1, as having an interiorized three-levels-of-units structure and established an improper fraction with three levels of units in activity. Based on the results of this study, conclusions and pedagogical implications were presented.

Paul Ernest의 수학적 지식 구성과정에 대한 교수학적 고찰

박정선(Park Jeongseon),신재홍(Shin Jaehong) 학습자중심교과교육학회 2019 학습자중심교과교육연구 Vol.19 No.20

본 연구는 Ernest의 수학적 지식 구성과정 모델이 교실의 교수·학습 상황에서 동일하게 적용가능한가에 대한 의문에서 시작하였다. 연구의 목적은 학생의 수학적 지식 구성과정을 설명하는 대안적 모델을 제시하는 것이다. 이를 위해 Ernest의 모델 에 대한 이론적, 교수학적 고찰을 시도하였고 학생의 지식 구성과정을 명확히 하였다. 그 결과, 첫째, 학생은 주관적 지식을 구성하나 Ernest의 모델이 제시한 객관적지식을 스스로 구성한다고 볼 수 없다. 둘째, 교사의 개입 하에 학생은 주관적 지식 과 구별되는 객관성을 갖는 지식을 형성할 수 있고, 이를 Ernest의 객관적 지식과 구별하여 ‘1차-객관적 지식’으로 명명하였다. 셋째, 교실공동체의 가장 큰 특징은 교사의 존재로, 교사와 학생 간의 비대칭적 상호작용 과정을 통해 지식이 구성되고, 이를 ‘기울어진 협상’으로 표현하였다. 이를 반영한 ‘학생의 수학적 지식 구성과정 모델’을 제시하였다. This study begins with the question whether Ernest s mathematical knowledge construction process model is equally applicable in the teaching and learning situations of the classroom. The purpose of the study is to present an alternative model that describes a student s mathematical knowledge construction process. For this purpose, theoretical and pedagogical considerations on Ernest s model were attempted to clarify the process of constructing students’ knowledge. The results indicate that students construct their own subjective knowledge but do not construct objective knowledge of the Ernest’s model by themselves. Second, students are regarded to construct the knowledge entailing objectivity to a certain degree under teacher intervention and we name it as the first–order objective knowledge distinguished from the objective knowledge in the Ernest’s model. Third, one of the most salient features of the classroom community is the existence of a teacher, and thus we describe the asymmetrical interactions between a teacher and students as unequal negotiation . A model of student s mathematical knowledge construction process was presented.

연속적으로 공변하는 두 양에 대한 추론의 차이가 문제 해결에 미치는 영향

김채연 ( Chaeyeon Kim ),신재홍 ( Jaehong Shin ) 한국수학교육학회 2016 수학교육 Vol.55 No.3

There are many studies on ‘how’ students solve mathematical problems, but few of them sufficiently explained ‘why’ they have to solve the problems in their own different ways. As quantitative reasoning is the basis for algebraic reasoning, to scrutinize a student‘s way of dealing with quantities in a problem situation is critical for understanding why the student has to solve it in such a way. From our teaching experiments with two ninth-grade students, we found that emergences of a certain level of covariational reasoning were highly consistent across different types of problems within each participating student. They conceived the given problem situations at different levels of covariation and constructed their own quantity structures. It led them to solve the problems with the resources accessible to their structures only, and never reconciled with the other’s solving strategies even after having reflection and discussion on their solutions. It indicates that their own structure of quantities constrained the whole process of problem solving and they could not discard the structures. Based on the results, we argue that teachers, in order to provide practical supports for students’ problem solving, need to focus on the students’ way of covariational reasoning of problem situations.

이차함수에서 두 변량사이의 관계 인식 및 표현의 발달 과정 분석: 민선의 경우를 중심으로

이동근 ( Dong Gun Lee ),문민정 ( Min Joung Moon ),신재홍 ( Jaehong Shin ) 한국수학교육학회 2015 수학교육 Vol.54 No.4

The aim of this qualitative case study is twofold: 1) to analyze how an eleventh-grader, Min-Seon, conceive and represent a pattern of change between two varying quantities in a quadratic functional situation, and 2) further to help her form a concept of ``derivative`` as a tool to express the relationship with employing a concept of ``rate of change.`` The result indicates that Min-Seon was able to construct graphs of piecewise functions that take average rates of change as range of the functions, and managed to conjecture the derivative of a quadratic function, y=x ^{2}. In conclusion, we argue that covariational approach could not only facilitate students`` construction of an initial function concept, but also support their understanding of the concept of ``derivative.``

폴리우레탄 형상기억 고분자의 합성과 형상기억 효과에 관한 연구

朴來正,申在洪 弘益大學校 科學技術硏究所 2002 科學技術硏究論文集 Vol.13 No.-

Four different shape memory PCT polyurethanes were synthesized with different molecular weights of poly(-caprolactone)diols(PCT) as soft segments and 4,4'-diphenylmethane diisocyanate(MDI) and chain extender, 1,4-butanediol(BD) as hard segments. Thermal, dynamic mechanical thermal, and cyclic tensile tests were conducted for the samples. According to DSC and DMTA data, values decreased, but values increased as the content of hard segments increased. Cyclic tensile tests for stress-strain behavior of shape memory PCT polyurethanes showed that residual strain were almost fixed above three cycles indicating constant shape recovery.