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조준형,우광성,신영식,Jo, Jun-Hyung,Woo, Kwang-Sung,Sin, Young-Sik 한국전산구조공학회 2011 한국전산구조공학회논문집 Vol.24 No.4
본 논문은 이미지 처리나 신호처리 및 정보압축 등에 사용되는 웨이블릿 급수를 이용하여 4계 타원형 미분방정식을 풀때 그 방법에 대하여 논의하고자 한다. 본 논문에서 사용한 Hat 웨이블릿 함수는 $H^1$-공간에 속한 급수로서 일반적으로 2계 타원형 미분방정식에 적용하기에는 무리가 없으나 4계 타원형 미분방정식에 적용하기에는 불충분한 미분가능회수를 가지고 있다. 따라서 이 문제를 극복하기 위해 모멘트와 처짐을 미지수로 하는 선형방정식을 순차적으로 구성하고 풀어내는 방법을 사용하였다. 모멘트와 처짐을 미지수로 하는 순차적 해석법은 탄성하중법(모멘트면적법)의 응용으로 생각할 수 있다. 또한 그 정식화과정에서 무요소법과 동일한 점과 차이점을 언급하였다. 예측한 바와 같이 Hat 웨이블릿 함수의 항을 많이 고려할수록 수치해석의 해가 향상되는 것을 확인할 수 있었다. 또한 응력특이를 갖는 오일러보 문제의 경우 제안된 해석법은 종래의 유한요소 해석값과도 비교되었다. In this study, the details of WSA(wavelet series analysis) have been demonstrated to solve the 4th-order elliptic differential equation. It is clear to solve the 2nd-order elliptic differential equation with the basis function of Hat wavelet series that is used in the previous study existed in $H^1$-space. However, it is difficult to solve the 4th order differential equation with same basis function of Hat wavelet series because of insufficient differentiability and integrability. To overcome this problem, the linear equations in terms of moment and deflection have been formulated and solved sequentially that are similar to extension of Elastic Load Method and Moment Area Method in some senses. Also, the differences and common points between the proposed method and the meshless method are discussed in the procedure of WSA formulation. As we expect, it is easy to ascertain that the more terms of Hat wavelet series are used, the better numerical solutions are improved. Also the solutions obtained by WSA have been compared with the conventional FEM solutions in case of Euler beam problems with stress singularity.
저매개변수 요소를 사용한 2차원 선형탄성 직접 경계요소법의 Kernel 적분법
조준형,박영목,우광성,Jo, Jun-Hyung,Park, Yeongmog,Woo, Kwang-Sung 한국전산구조공학회 2012 한국전산구조공학회논문집 Vol.25 No.5
본 논문은 2차원 선형탄성 직접 경계요소법에서 저매개변수 요소를 사용할 때 Kernel의 적분방법에 대하여 논의하였다. 일반적으로 등매개변수 요소의 경우 형상함수로 통칭되는 해의 기저함수와 요소의 적분을 위해 사용되는 사상함수를 동일하게 사용한다. 그러나 본 논문에서는 사상함수의 차수를 낮게 취하여 순수기저절점을 도입하고 그때 직접 경계요소의 Kernel을 적분하기 위한 방법이 모색되었다. 일반적으로 경계요소법의 적분 Kernel의 경우 Log수치적분과 코쉬주치(Cauchy principal value) 등을 통해 해결하는데, 본 논문에서는 대수적 조작을 통해 적분값의 정확도를 높일 수 있도록 새로운 수식을 유도하였다. 본 연구에서 저매개변수 기반의 직접 경계요소에 대한 강건성과 정확도를 검증하기 위해 2차원 타원형 편미분방정식으로 표현되는 평면응력과 평면변형문제에 대해 적용하였다. 적용 예제로는 단순연결영역(simple connected region)의 대표적 문제인 캔틸레버보와 다중연결영역(multiple connected region)의 대표적인 문제인 개구부가 있는 사각평면에 대해 각각 수치해석을 수행한 결과 대폭적인 자유도의 감소에 비해 정확도 측면에는 기존의 방법과 차이가 없음을 볼 수 있었다. 본 논문에서 제시된 방법은 기저함수 고차화 저매개변수 직접 경계요소법(subparametric high order boundary element)과 이에 기초를 둔 저매개변수 고차 이중경계요소법(subparametric high order dual boundary element)의 초석이 될 수 있을 것이다. In this study, the Kernel integration scheme for 2D linear elastic direct boundary element method has been discussed on the basis of subparametric element. Usually, the isoparametric based boundary element uses same polynomial order in the both basis function and mapping function. On the other hand, the order of mapping function is lower than the order of basis function to define displacement field when the subparametric concept is used. While the logarithmic numerical integration is generally used to calculate Kernel integration as well as Cauchy principal value approach, new formulation has been derived to improve the accuracy of numerical solution by algebraic modification. The subparametric based direct boundary element has been applied to 2D elliptical partial differential equation, especially for plane stress/strain problems, to demonstrate whether the proposed algebraic expression for integration of singular Kernel function is robust and accurate. The problems including cantilever beam and square plate with a cutout have been tested since those are typical examples of simple connected and multi connected region cases. It is noted that the number of DOFs has been drastically reduced to keep same degree of accuracy in comparison with the conventional isoparametric based BEM. It is expected that the subparametric based BEM associated with singular Kernel function integration scheme may be extended to not only subparametric high order boundary element but also subparametric high order dual boundary element.
적분형 르장드르 형상함수를 이용한 단일 수준 적응적 hp-체눈 세분화
조준형,유효진,우광성,Jo, Jun-Hyung,Yoo, Hyo-Jin,Woo, Kwang-Sung 한국전산구조공학회 2010 한국전산구조공학회논문집 Vol.23 No.3
적응적 hp-세분화 기법과 그 기법의 효과적인 구성방법을 포함한 새로운 적응적 유한요소 알고리즘의 기초이론 및 적용이 이 연구를 통해 제시되었다. 적응적 hp-세분화 기초의 유한요소기법은 적분형 르장드르 형상함수와 요소별로 불균등한차수의 분배 및 비정형적인 절점연결과 관련된 연속조건을 만족시킬 수 있는 제약조건을 필요로 한다. 따라서 요소간의 접합부분에서 적응적 hp-유한요소망의 연속성이 중요한 문제로 대두된다. 이러한 문제를 요소경계에 연속성 제약조건을 절점연결 사상행렬을 적용하여 해결하였다. 또한, 적분형 르장드르 형상함수의 계층성질을 이용하여 제시된 알고리즘의 효율적 정식화 방안을 제시하였다. 간단한 캔틸레버문제가 h-세분화, p-세분화 그리고 hp-세분화 방법에 의해 계산되었다. hp-세분화의 결과는 다른 방식의 세분화에 비해 보다 빠른 수렴성을 보여 주는 것이 확인되었다. 그러므로 제시된 hp-세분화 알고리즘은 실제문제에 효율적으로 적용될 수 있을 것으로 생각된다. The basic theory and application of new adaptive finite element algorithm have been proposed in this study including the adaptive hp-refinement strategy, and the effective method for constructing hp-approximation. The hp-adaptive finite element concept needs the integrals of Legendre shape function, nonuniform p-distribution, and suitable constraint of continuity in conjunction with irregular node connection. The continuity of hp-adaptive mesh is an important problem at the common boundary of element interface. To solve this problem, the constraint of continuity has been enforced at the common boundary using the connectivity mapping matrix. The effective method for constructing of the proposed algorithm has been developed by using hierarchical nature of the integrals of Legendre shape function. To verify the proposed algorithm, the problem of simple cantilever beam has been solved by the conventional h-refinement and p-refinement as well as the proposed hp-refinement. The result obtained by hp-refinement approach shows more rapid convergence rate than those by h-refinement and p-refinement schemes. It it noted that the proposed algorithm may be implemented efficiently in practice.