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Finite Element Approximations for a Class of Illposed Problems with Parallel Computation
Song, Mansuk,Lee, Sunwoo,Yang, Whanjun 연세대학교 대학원 1993 延世論叢 Vol.29 No.1
1950년대 이후 수리적인 문제의 수치해를 얻기 위하여 컴퓨터를 사용하여 왔다. 그 결과로 전에는 Well-posed 문제로 생각되었던 문제들이 I11-posed 된 문제가 많은 것이 발견되었다. 즉 데이타의 작은 오차에 대해서 해의 안정성이 크게 좌우되는 형태의 문제들이다. 이러한 문제들의 예를 몇 개 나열해 보면 근사적으로만 알려진 함수들의 수치적 미분법, 적분방정식 제1종 수치해법, 근사치 계수를 갖는 Fourier 급수의 합, 역 Laplace변환을 구하는 문제, Laplace방정식의 Cauchy문제, 선형대수 방정식의 Singular System해법등이 있고 그 외에도 실제 응용에서 중요성을 갖는 많은 문제들이 있다. Well-posed 문제에 적응하는 일반적인 방법으로는 I11-posed 문제를 직접해결할 수 없다는 것이 이미 잘 알려진 사실이다. 일반적으로 Tikhonov의 Regularization방법을 사용한다. 이 방법에서 항상 문제가 되는 것이 최적 매개변수 α를 어떻게 구하느냐이다. 본 연구에서는 I11-posed 문제의 대표적인 Fredholm 적분 방정식 제1종의 한 문제로 그림삽입(원문참조) 를 선정 하였으며, 매개 변수 α의 연속적인 변화를 실험적으로 구하여 최적 α의 구간을 찾았다. 이를 Super Computer Cray-II를 사용할 수 있도록 프로그램 하였다. 이 문제를 위해서는 유한 요소 공간으로 Tchebyshev Polynomials, Legendre Polynomials, Piecewise Linear function들을 사용하여 다양하게 α 구하는 문제를 Test 하였다. 그리고 수치적 미분법에서는 Cubic Splines 공간을 사용하고 α의 변화를 보이면서 Regularization 방법이 직접방법으로 많이 쓰이는 3-point 방법보다 더 정확하고 안정된 해를 얻을 수 있음을 보였다.