확률적 변경모형에서 합성 오차항 특정화에 따른 최대가능도 추정량의 수렴성 연구

최준혁 부산대학교 대학원 2024 국내석사

확률적 변경모형의 오차항은 확률오차를 나타내는 항과 기술적 비효율성을 나타내는 항으로 구성되는데, 모형 적합을 위하여 구체적인 분포 가정이 필요하다. 확률오차와 기술적 비효율성에 대하여 특정분포를 가정한 모형과 그 성능에 대해서 다양한 연구들이 진행되었지만, 적절한 분포를 선택하는 문제에 있어서는 드물게 연구가 진행되었다. 따라서, 실제 합성오차의 분포와 가정된 모형의 분포에 차이가 발생하는 모형 오지정 문제가 빈번하게 발생할 수 있다. 본 연구에서는 확률적 변경모형에서 합성 오차항의 구체적인 분포 가정이 최대가능도 추정량의 수렴 값에 어떠한 영향을 미치는지에 대하여 중점을 둔다. 모형이 오지정되었을 때, 최대가능도 추정량이 쿨백-라이블러 발산 값을 최소화하는 값의 일치추정량이라는 사실을 이용하여, 합성 오차항의 분포가 오지정되었을 때 최대가능도 추정량들의 수렴하는 값을 계산하였다. 그 결과 확률적 변경모형에서 합성 오차항의 분포 가정과 관계없이 기울기 모수들의 수렴 값은 항상 참값과 동일한 것을 확인할 수 있었다. 또한, 합성 오차항의 분포 가정과 관계없이 기술적 비효율성을 나타내는 항의 분산과 확률오차를 나타내는 항의 분산의 비가 너무 작거나 큰 경우에 최대가능도 추정량에 상당한 영향을 미치는 것을 확인할 수 있었다.

확률변동성모형을 이용한 주가수익률 추정

여지연 연세대학교 대학원 2003 국내석사

파생상품의 가격 결정이론을 제시한 Black-Scholes모형에서 변동성이 상수라는 가정과는 달리 실제 데이터로부터 얻어진 변동성은 시간에 따라 변한다고 알려져 있다. 시간에 따라 가변적 분산과 공분산을 갖는 주식수익률에 관한 시계열 데이터를 설명하고자 다양한 변동성 모형들이 제시되어 왔다. Engle에 의해 제시된 ARCH모형, Bollerslev에 의해 제시된 GARCH모형 이외에도 다양한 ARCH류 모형들이 제시되어 왔다. 최근에는 변동성모형으로 확률변동성모형이 사용되고 있다. 확률변동성모형은 기초자산의 변동성이 시간에 따라 확률과정을 따른다고 가정한 모형이다. 그런데 ARCH류모형과는 달리 확률변동성 모형은 (t -1) 기의 모든 정보가 주어졌다해도 t 기의 변동성의 값을 알지 못한다. 따라서, 확률변동성모형을 최우추정하는 것이 어렵고, 이 모형을 추정하기 위한 방법으로는 적률법, 칼만필터를 이용한 QMLE, MCMC방법 등이 있다. 본 연구에서는 MCMC법을 이용해 KOSPI데이터와 NASDAQ데이터를 확률변동성모형에 적용시키고, 그 결과를 ARCH류 모형인 GARCH모형과 비교하였다. 확률변동성모형은 데이터에 의존하는 모형이다. 따라서, 다른 ARCH류 모형에 비해 데이터에 대한 적합도가 높은 모형을 추정할 수 있는 것이 당연하다. 그러나, 실제 연구에서 GARCH모형도 많이 개량되었기 때문에 확률변동성모형과 여러 측면에서 비교 가능하다. 따라서, GARCH모형을 함께 살펴보는 것에도 의미를 부여할 수가 있다. Unlike the Black-Scholes model that offered price decision theory of the derivation, it is known that the volatility acquired by the actual data changes over time. A number of volatility models have been presented to analyze stock return data having time-varying variance and covariance. Various ARCH models have been offered besides the GARCH model offered by Bollerslev, and the ARCH model by Engle. Recently, stochastic volatility model is used as volatility model, on the assumption that the variance of assets follows a stochastic process according to time. The stochastic volatility model is estimated through a method of moments, a quasi-maximum likelihood estimation method using Kalman filtering, a Markov Chain Monte Carlo method and etc. In this paper, using MCMC method KOSPI data and NASDAQ data was applied to stochastic volatility model, and the results was compared with the GARCH model.

엑셀을 활용한 '확률과 통계'의 효율적인 교수·학습 과정안 연구 : 7차 교육과정 심화 선택 과목

김윤석 아주대학교 2005 국내석사

확률과 통계 영역의 심화선택과목에서 엑셀을 활용하여 수업하기에 알맞도록 교수 학습 과정안 형식의 학습 자료를 연구, 개발하였다. 수학의 발달사에서 컴퓨터의 등장은 정보화 사회라는 인간의 역사에 새로운 패러다임을 탄생시켰으며, 그 이후 다양한 학문의 여러 분야에서 끊임없이 컴퓨터 관련 프로그램을 개발, 응용하여 획기적인 발전을 이루었다. 이는 수학교육에서도 예외는 아닐 것인데, 효율적인 지도를 위하여 각종 프로그램 및 지도방안을 끊임없이 연구하여 교수·학습에 적용하려고 애쓰고 있으나 많은 부분에서 더욱 세밀하고 구체적인 연구가 필요하다. 7차 교육과정의 ‘확률과 통계’영역은 현실적인 과제, 실생활 문제에 관한 효율적인 처리 분석에서 효과적인 도구가 통계적 방법임을 알 수 있게 하며, 전 영역에 걸쳐 복잡한 계산이나 문제 해결을 위해 계산기와 컴퓨터의 사용을 권장하고 있다. 현재까지 엑셀을 활용한 ‘확률과 통계’과정의 지도에 관한 연구가 선행되어 왔으나, 대체로 추상적이고 막연한 자료 제시에 그치고 있다. 즉, 교사들이 교수·학습에 손쉽게 적용 가능한 자료가 더욱 필요하다고 하겠다. 이에 본 연구에서는 엑셀을 활용하여 ‘확률과 통계’과정의 교수·학습 과정안 형식의 학습 자료를 개발하고, 학습단계에서 학생들로 하여금 적용하도록 함으로써 학습자의 태도 변화와 문제해결력의 신장을 관찰하였다. 본 연구의 주요 내용은 아래와 같다. 첫째, 6차 교육과정에서의 확률과 통계단원과 7차 교육과정에서의 심화 선택과목으로서의 ‘확률과 통계’의 차이점과 교수·학습에서 유의할 점을 분석한다. 둘째, 7차 교육과정의 목적에 근거하여 엑셀을 이용한 수업을 위해 각 단원에 적용 가능한 교수·학습 과정안 형태의 학습 자료를 개발 한다. 셋째, 컴퓨터 프로그래밍을 이용한 수업이 학생들의 태도변화에 영향을 미치는가를 조사한다. 넷째, 컴퓨터 프로그램을 이용한 수업이 학생들의 실생활 문제 및 응용문제에 적응하는 능력 향상에 기여하는지를 실험하여 본다. 본 연구에서 만족할 만한 결과를 얻기 위하여, 기존의 엑셀을 활용한 ‘확률과 통계’에 관한 자료 개발을 찾아내어 문헌 자료를 조사하였다. 이후 7차 교육과정의 ‘확률과 통계’과정에 필요한 자료를 추출하고 재개발하였고 필요한 경우, 기존의 없는 새로운 자료를 개발하여 교사들이 수업에 직접 적용 가능하도록 각 단원별로 교수·학습 과정안을 작성하였다. 이와 같은 형태의 자료는 교사들이 수업에 적용하기 가장 알맞은 형태라 판단하였기 때문이다. 학습 자료의 단원은 대표값, 순열, 조합, 이항분포, 정규분포, 이항분포의 정규분포 근사, 모집단과 표본, 모집단에 대한 구간 추정으로 ‘확률과 통계’과정의 전 단원에 해당한다. 경기도 의왕시의 인문계 고등학교 실험반 2반과 비교반 2반을 대상으로 학습태도에 관한 설문과 문제해결력 측정지를 이용한 평가의 실험을 실시한 본 연구의 결과를 정리하면 다음과 같다. 첫째, 7차 교육과정의 ‘확률과 통계’과정은 확률과 통계의 기본적인 개념, 원리, 법칙 등을 활용하여 실생활 속에서 쉽게 관찰할 수 있는 여러 가지 자료와 정보를 처리하고 해석하는 활동에 중점을 두어야 하고, 전 영역에 걸쳐 복잡한 계산이나 문제해결을 위해 계산기와 컴퓨터를 적극적으로 활용해야 한다. 둘째, 교수·학습 과정안 형태의 학습 자료의 개발이다. 교수·학습 과정안은 준비활동에서 동기유발 및 학습목표 확인, 중심활동에서 개념이해, 컴퓨터 소프트웨어를 이용한 문제해결, 심화·보충학습 풀기, 정리활동에서 정리 및 차시예고의 단계를 이루고 있다. 컴퓨터 소프트웨어를 이용한 문제해결은 적절한 자료를 제시하여 따라할 수 있도록 하였으며, 심화·보충학습 풀기의 단계를 위하여 실생활 문제를 포함한 심화·보충 학습지를 제시하였다. 셋째, 컴퓨터 프로그래밍을 이용한 수업이 학생들의 학습태도에 긍정적인 영향을 미치는 것으로 관찰되었다. 엑셀을 활용한 수업을 실시한 실험반이 칠판 수업만을 실시한 비교반에 비하여 흥미도가 높게 향상되었는데, 이는 학생들에게 친숙한 컴퓨터를 이용하여 학습한 개념의 적용 및 확인하는 단계에서 조작하는 활동이 흥미를 가지게 되었으며, 계산 및 데이터 처리에 시간을 많이 할애하지 않아도 되는 즉각적이고 능동적인 피드백이 주요하게 작용한 것으로 보인다. 넷째, 컴퓨터 프로그래밍을 이용한 수업을 실시한 실험반 학생들이 비교반 학생들보다 문제해결력에서 높은 성취도를 나타내었는데, 이는 동기유발에서 발생한 참여도의 차이가 가장 크게 기인하였으며, 추론능력 및 종합적 사고력도 좀 더 나아진 것으로 판단된다. 하지만, 본 연구가 실험반 학생들 모두에게 효과적이지는 못하였으며, 학생들이 자칫 프로그램의 습득 및 조작에만 관심을 가져서 개념을 이해하는 것에 소홀히 할 수 있으므로 수업을 진행하는 교사의 적절한 판단이 요구된다. 본 연구자는 ‘확률과 통계’단원에 한정하여 연구를 하였으나 함수단원의 그래프, 방정식, 도형, 측정단원에서도 컴퓨터 프로그램을 활용한 수업에 관한 연구가 필요하다. 수학교육에서 컴퓨터를 이용한 자료 개발이 광범위하게 이루어져야 하는 것은 남은 과제라 하겠다.

고등학교 확률과 통계에 관한 연구

박광연 충남대학교 교육대학원 2007 국내석사

미분연산자를 사용한 연속확률분포의 적률 계산

박용찬 東亞大學校 敎育大學院 1995 국내석사

확률분포의 적률은 추정이나 검정과정에서 꼭 필요한 것들로써 그 적률을 구하는 방법은 전통적으로 적률모함수(m.g.f.)나 특성함수가 사용되어 왔다. 이 방법은 대부분 그 적률모함수가 구해져서 우리가 필요한 적률들을 찾을 수 있지만 적률을 구할 수 없는 경우와 분포에 따라 계산이 복잡한 경우가 있기 때문에 좀 더 쉽고 간단한 계산에 대한 연구는 지속적으로 필요하다. 이러한 문제점을 해결하기 위하여 1981년 Link[9]는 유한차분연산자(finite difference operator)를 사용하여 이산확률분포의 적률을 보다 더 쉽게 구할 수 있음을 보여 주었다. 그 후 1982년 Chan[3]과 Rao, Janardan(1982)[12], Janardan(1981)[6], 그리고 Charalmbides(1984)[4] 등에 의하여 이 문제가 계속적으로 연구되어 유한차분연산자를 사용하여 확률분포의 적률을 구하는 방법에서도 많은 발전을 보았으며, 이 방법은 실제 적률 계산에서 훨씬 더 간편한 경우도 있다는 것을 알게 되었지만, 이 계산법은 이산확률분포에서만 가능하였다. 이 문제에 대한 그 이후의 연구는 각 확률분포를 유형별로 분류하여 적률을 구하는 방법과 여러 가지 적률 즉, 내림 또는 오름계승적률 등을 구하는 연구로 발전되고 있었다. 1992년 Boullion[1]은 미분연산자를 사용하여 적률을 계산하는 방법을 발표하여 이산확률분포의 이항분포, 음의 이항분포, Poisson분포, Neyman type A의 적률계산법을 보여 주었으며, 이 문제 연구의 새로운 방법이 제기되었다. 이상에서 본 바와 같이 지금까지의 연구는 이산확률분포들의 적률을 구하는 연구이었다. 여기서 본 연구자는 미분연산자를 사용하여 연속확률분포의 적률 계산이 가능함을 보이고, 또 계승적률 등 여러 가지 계산들이 가능한 것을 보이며, 미분 연산자와 적률 계산에 사용되는 연산자들을 정의하고, 미분연산자를 적률 계산에 사용하는 방법을 소개하고, 연속확률분포 중 계산이 가능한 확률분포의 적률을 구한 결과를 정리하고, 계승적률들을 구하는 해법을 소개하고 계산이 가능한 각 확률분포들의 계산 결과를 정리하였다. Up to now, we have generally used moment generating function and characteristic function for the calculation of the moments. However, we understand that there are cases when this method does not work in some caluculations of moments. In 1981, Link demonstrated a new calculus of moments using finite difference operator and showed some instances of calculating method for the moments of discrete probability distributions. Afterward, this method has been eolved by subsequent scholars: Chan(1982), Rao and Janardan(1982), Janardan(1981), Charalambides(1984). And the problems could bd partially solved which could not calculated by the calculus of moment generating thnction and the characteristic function. In 1992, Boullion, Seaman and Yong was succeeded in developing andther new methods of calculation using differential operator and introduced the calculus of moments of binomial distribtion, Poisson distributon, negative binomial distrobution, and Neyman type A distributions. However, those two methods were only involved the calculus of moment of discrete probability distributions. In this note, the present writer intends to introduce a method which can calculate moments for the and continuous probability distributions. In Chapter 2 of this note, we define the differential operator and introduce the way to use it in the calculation of the moment of probability distribution. In Chapter 3 we can see the moments of probability distribution which can be calculated in the various continuous probability distributions. In Chapter 4 we introduce method of calcullation of factorial moments of probability distributions and these example.

확률적 프로세스 트리 도출을 위한 타부 서치-유전자 프로세스 마이닝 알고리즘

주우민 아주대학교 2017 국내석사

프로세스 마이닝은 프로세스를 분석 대상으로 삼아 프로세스를 시각화한 프로세스 모델을 도출하고, 도출된 모델을 실제 프로세스 수행과정과 비교함으로써 모델을 평가하며, 모델을 개선하는 활동을 수행해 프로세스에 대한 유용한 정보를 획득하는 것을 목표로 하는 분석 기법이다. 이러한 프로세스 마이닝에서 현실 세계의 프로세스를 잘 반영한 프로세스 모델을 도출하는 것이 가장 중요하다. 하지만 기존의 프로세스 모델들은 액티비티가 수행될 확률이나 액티비티를 수행하는 데 걸리는 시간과 같은 확률적 요소를 반영하고 있지 않은 결정적 프로세스 모델로서 이용할 수 있는 정보가 한정되어 있어 프로세스를 분석하고 이해하는 데 한계가 있다. 또한, 프로세스 모델을 도출하는 것과 더불어 프로세스 모델을 도출하기 위한 효율적인 방법론을 개발하는 것이 중요하다. 프로세스 모델 도출 방법론 중 하나인 유전자 프로세스 마이닝 알고리즘은 진화 과정을 모사한 메타 휴리스틱 알고리즘으로써 노이즈가 있는 데이터를 다룰 수 있지만, 연산 시간이 오래 걸려 대용량 데이터에 적용하기 어렵다는 한계점을 가진다. 본 논문에서는 이러한 문제점들을 개선하기 위해 확률적 프로세스 트리를 정의하고, 타부 서치-유전자 프로세스 마이닝 알고리즘을 제안하였다. 확률적 프로세스 트리는 확률적 요소를 반영하지 않은 기존의 프로세스 트리의 액티비티 노드와 연산자 노드와는 별도로 특정 액티비티 조합이 생성될 확률을 기록한 시퀀스 확률 정보 노드, 하나의 액티비티를 시작해서 마칠 때까지의 시간을 확률 분포로 표현한 단일 액티비티 수행 시간 노드, 여러 액티비티가 연속해서 실행되는 사이에 시스템의 대기 상태에 있는 시간을 확률 분포로 표현하는 인접 액티비티 간 시간 간격 노드를 정의하고 표현함으로써 확률적 요소를 반영하였다. 타부 서치-유전자 프로세스 마이닝 알고리즘은 확률적 프로세스 트리를 효율적으로 도출하기 위해 유전자 알고리즘에 타부 서치를 접목한 프로세스 모델 도출 방법론이다. 먼저, 프로세스 트리를 표현하기 위한 염색체로 2차원 배열을 정의하고, 초기 염색체 집합을 랜덤으로 생성한 뒤, 프로세스 트리의 적합도를 평가하였다. 그다음 유전 연산을 반복해 적합도를 증가시키는 방향으로 새로운 염색체 집합을 생성하였다. 유전 연산을 반복하는 과정에서 적합도가 낮은 프로세스 트리가 생성할 수 있는 액티비티를 수행 순서대로 나열한 문자열인 model trace를 타부 목록에 저장하고, 유전 연산을 통해 도출된 프로세스 트리가 생성할 수 있는 model trace와 타부 목록에 저장된 trace 간의 유사도를 비교해 이를 기준으로 프로세스 적합도가 낮은 해에 대한 중복 탐색을 방지하였다. 제안된 알고리즘의 성능을 검증하기 위해 기존 연구에서 사용된 2종의 이벤트 로그 데이터를 이용해 확률적 프로세스 트리를 도출한 뒤 모델의 적합도와 연산 시간을 비교 평가하는 실험을 수행하였다. 실험 결과 제안된 타부 서치-유전자 프로세스 마이닝 알고리즘이 적합도와 연산 시간의 측면에서 모두 기존의 유전자 프로세스 마이닝 알고리즘보다 우수한 성능을 나타냈다. Process mining is an analytical technique aimed at obtaining useful information about a process by (i) extracting a process model visualizing real world process, (ii) comparing it with the actual process for evaluation, and (iii) performing activities to improve the quality of the model. In process mining, it is most important to discover a process model that reflects real-world processes very well. However, most existing process models are deterministic because they do not include stochastic elements such as the occurrence probabilities or execution times of activities. Therefore, available information is limited, resulting in the limitations on analyzing and understanding the process. Furthermore, it is also important to develop an efficient methodology to discover the process model. Although genetic process mining algorithm is one of the methods that can handle data with noises, it has a limitation of large computation time when it is applied to data with large capacity. In this paper, we define a stochastic process tree and propose a tabu search-genetic process mining algorithm to resolve these issues. The suggested stochastic process tree reflects stochastic characteristics by introducing two special types of nodes such as (i) the sequence probability information node representing the probability that a specific combination of activities is generated, (ii) the single activity execution time node representing the probability distribution of the activity execution time, and (iii) the time interval node between two adjacent activities expressing the probability distribution of the idle time between two possible consecutive activities. The tabu search-genetic process mining algorithm efficiently discovers the suggested stochastic process tree by combining the genetic process mining algorithm with tabu list. In the algorithm, we first define a two-dimensional array as a chromosome to represent the process tree, an initial chromosome set is randomly generated, and the fitness values of the process trees are evaluated. Then, a new chromosome set is generated in the direction of increasing the fitness value by applying genetic operations such as crossover and mutation operations. In this procedure, a model trace, a string of activities that can be generated from the process tree, with a low fitness value is stored in the tabu list. By comparing the similarities among the model traces generated as the result of genetic operations with the traces stored in the tabu list, we can prevent duplicated searches for process trees with low fitness value being performed. In order to verify the performance of the proposed algorithm, we performed a numerical experiment by using two kinds of event log data used in the previous research. The results show that the suggested tabu search-genetic process mining algorithm outperformed the simple genetic process mining algorithm in terms of fitness and computation time.

확률호우사상의 불확실성 인자 추정에 관한 연구

박재호 경북대학교 대학원 2020 국내박사

본 연구에서는 RWM, HARM, AMM, PMC 기법과 같은 4가지 베이지안 기법을 적용하여 강우확률분포의 매개변수 추정 및 불확실성을 정량화하였으며, 그 결과를 수자원 설계 및 재해평가에서 적용되고 있는 MOM, MLM, PWM 기법과 비교하였으며 비교평가를 위하여 금호강 유역 내에 위치한 기상청 관할 영천 기상관측소에서 관측된 10분 단위 강우량 자료를 활용하였다. 본 연구에서 얻은 결과를 요약하면 다음과 같다. 1) 기존 매개변수 추정기법 (MOM, MLM, PWM)과 비교했을 때 베이지안 기법(RWM, HARM, AMM, PMC)은 강우확률분포의 매개변수 추정에서 비슷하거나 다소 우수한 결과를 보여주었다. 2) 다른 베이지안 기법들과 비교했을 때 PMC 기법은 비슷한 매개변수 추정결과를 산출하는 반면 크게 감소된 매개변수의 불확실성을 나타낼 수 있었다. 3) 통계지표에 기초한 확률강우량 추정 정확도 평가로부터 모든 지속기간에 대하여 MLM 및 베이지안 기법은 양호한 결과를 나타냈으나, PWM과 MOM기법은 지속기간에 따라 확률강우량 추정 정확성이 큰 편차를 나타냈다. 4) 전체 지속기간에 걸친 확률강우량 추정 순위합을 토대로 RWM-PMC, HARM-PMC, HARM, MLM 기법은 가장 우수한 확률강우량 추정결과를 나타냈으며, 모든 비교기법들 중에서 RWM-PMC 기법은 확률강우량 추정결과가 가장 우수하였다. 5) 확률강우량 추정에서 Gumbel 분포의 척도매개변수는 지배적인 영향을 미치는 것으로 분석되었다. 확률강우량의 오차는 척도매개변수의 오차가 클수록 더 크게 나타났으며, 확률강우량의 오차는 재현기간이 증가함에 따라 더욱 증가하는 추세를 보였다. 6) 기존 매개변수 추정기법과 비교했을 때 대체로 베이지안 기법은 우수한 척도매개변수 추정결과를 나타냈으며, 이러한 결과는 우수한 확률강우량 추정결과를 나타내는데 기여하였다. 반면에, PWM과 MOM 기법은 베이지안 기법에 비해 상대적으로 척도매개변수에 대한 추정 정확도가 떨어지는 것으로 분석되었다. 따라서 수자원 설계 및 풍수해 평가 등에서 베이지안 기법은 확률강우분포의 매개변수 및 확률강우량을 신뢰성 있게 추정하고 불확실성을 설명할 수 있는 유용한 분석도구로 활용될 수 있을 것으로 판단된다. 향후 연구과제로서 다양한 확률분포형과 관측지점에 대한 적용을 통해 본 연구의 결과를 일반화할 필요가 있을 것으로 판단된다. This study estimates the parameter of precipitation probability distribution and quantifies uncertainty by applying four Bayesian techniques of RWM, HARM, AMM and PMC, compares the result with MOM, MLM and PWM techniques applied to water resources design and hazard evaluation, and utilizes the 10 minute-unit rainfall data observed at Yeongcheon Weather Station under the control of the Meteorological Administration located around Geumho River for comparative evaluation. The results are as follows. 1) When compared with the existing parameter estimation techniques(MOM, MLM, PWM), Bayesian techniques(RWM, HARM, AMM, PMC) are similar or rather excellent in the parameter estimation of precipitation probability distribution. 2) When compared to the other Bayesian techniques, PMC technique calculates similar parameter estimation result, but shows greatly reduced parameter uncertainty. 3) Regarding all lasting periods in the probable rainfall estimation accuracy evaluation based on statistics index, MLM and Bayesian techniques show fair results, but PWM and MOM techniques show large deviation in the probable rainfall estimation accuracy evaluation according to lasting periods. * A thesis submitted to the Council of the Graduate School of Kyungpook National University in partial fulfillment of the requirements for the degree of Ph.D in December 2019 4) Based on the probable rainfall estimation rank sum over the whole lasting periods, RWM-PMC, HARM-PMC. HARM and MLM techniques show the most excellent probable rainfall estimation, and among all the comparison techniques, RWM-PMC technique is the most excellent in the probable rainfall estimation result. 5) Gumbel distribution barometer parameter has a dominating effect on the probable rainfall estimation. The error of probable rainfall is bigger as the error of barometer parameter is bigger. The error of probable rainfall also increases when the recurrence interval increases. 6) .When compared with the existing parameter estimation techniques, Bayesian techniques mostly show excellent barometer parameter estimation results, which contribute to excellent probable rainfall estimation results. On the other hand, PWM and MOM techniques have relatively low estimation accuracy on barometer parameter compared to Bayesian techniques. Therefore, in the design of water resources and the evaluation of damage from storm and flood, Bayesian techniques can be used as useful analysis tools that can estimate parameter of precipitation probability distribution and the probable rainfall reliably and can explain uncertainty. In the future, the results of this study are expected to be generalized through the application to various probability distribution types and meteorological sites.

역사발생적 원리에 따른 수학적 확률과 통계적 확률의 연결 지도 방안에 관한 연구

류동환 영남대학교 교육대학원 2013 국내석사

본 연구의 목적은 학습자에게 역사발생적 원리를 적용하여 확률의 실험이나 관찰 상황에서 구한 상대도수로의 의미와 경우의 수의 비율로서의 의미를 연결하여 지도함으로써 확률의 개념을 학습 과정을 통해 재성취하려 할 수 있도록 학교수업에서의 지도 방법을 제시하는 것이다. 연구의 목적을 달성하기 위해 확률 개념에 대해 역사적으로 분석해 보고, 수학적 확률과 통계적 확률의 관계에 대해 이론을 분석한다. 또한 현재 중학교 교과서에서 수학적 확률과 통계적 확률의 개념 지도가 어떻게 연결되어 있는지 지도 방법을 분석해 보고 중학교 수학에서 역사 발생적 원리를 이용한 수학적 확률과 통계적 확률의 연결 지도를 위한 내용을 구성해 보았다. 본 연구의 결과에 따르면, 첫째, 교과서에 따르면 관찰이나 실험을 통한 통계적 확률은 도입 부분에 한 개 정도만 다루고 있고 의미 있는 수학적 확률의 연결지도가 이루어지고 있지 않다. 또한, 확률이 결과를 예측하기 어려운 어떤 일이 일어날 가능성을 수로 나타낸 것이라 할 때 주사위, 동전, 제비와 같이 각각의 경우가 일어날 가능성이 같은 소재를 대상으로 사건이 일어나는 확률을 구하는 것으로만 한정되어 있다. 둘째, 확률에 관련된 역사 발생적 원리를 적용할 수 있는 예가 다양함에도 불구하고 경우의 수를 통해 복잡한 계산 패턴을 연습하는 내용으로 제한되어 있었다. 역사발생적 원리에 따른 확률 수업은 학생에게 흥미와 동기를 제공할 수 있고 역사발생적 원리에 따른 통계적 확률과 수학적 확률의 연결 지도가 확률 개념의 자연스러운 형성에 도움이 될 것이라 기대한다.

우리나라 극한강수의 강도-빈도분석을 위한 최적확률통계분포형 선정에 관한 연구

이한수 건국대학교 대학원 2014 국내석사

본 연구는 1973∼2012년까지의 연, 계절별 강수자료와 51개의 분포형을 이용하여 우리나라 극한강수의 최적확률분포형을 선정하였다. 또한 우리나라의 전반기, 후반기의 극한강수의 변화를 파악하기 위해 전반기와 후반기의 최적확률분포형과 확률강수량을 산출하고 비교하였다. 1973∼2012년의 연최대치계열을 이용하여 극한강수의 특성을 파악하였다. 그 결과 우리나라 연최대치계열의 중간값은 남해안 지역에서 높게 나타났으나 지속기간이 증가함에 따라 서울, 경기, 강원지역에서 연최대치계열의 중간값이 높게 나타났다. 연최대치계열의 발생은 6월∼9월 사이에 집중적으로 발생하며 9월의 연최대치계열 값의 대부분은 태풍에 의한 것으로 판단되었다. 우리나라 연최대치계열의 최적확률분포형을 선정한 결과 모든 지속기간에서 일반파레토분포(generalized Pareto distribution)와 3모수 버분포(three parameter Burr distribution)가 가장 많이 선정되었다. 또한 계절별 선정된 강수량의 확률분포형에서는 봄철에 삼모수 다굼분포(three parameter Dagum distribution), 여름철에 삼모수 버분포(three parameter Burr distribution), 가을철에 일반파레토분포, 겨울철에 삼모수 로그 로지스틱분포(three parameter log logistic distribution), 일반파레토분포, 로그 피어슨 타입 III 분포(log-Pearson type III distribution)가 가장 많이 선정되었다. 선정된 확률분포형을 이용하여 확률강수량을 산출하였으며 국토해양부의 결과와 비교하였다. 확률강수량의 규모는 본 연구의 결과가 지속기간 및 재현기간의 증가에 따라 기존의 연구보다 커지는 것을 볼 수 있었으며 이 변화는 Wilcoxon 부호순위상관검정(Wilcoxon Signed Rank test)을 통해 통계적으로 유의하였다. 이는 본 연구와 기존 연구간 선정된 분포형의 차이로 본 연구에서의 극한강수는 재현기간의 증가에 따라 극한강수의 규모를 더 크게 추정하였다. 계절별 확률강수량은 대부분 남해안에서 높게 나타났으며 여름철에는 서울, 경기 ,강원도 지역에서, 가을철에는 강원도 지역, 겨울철에는 울릉도 및 대관령의 강수가 크게 나타났다. 이들 분포는 연최대치계열의 월별 발생빈도의 분포와 유사하며 우리나라 강수특성이 나타난 것으로 볼 수 있다. 연최대치계열의 변화경향을 살펴본 결과 목포를 제외한 대부분의 지점에서 연최대치계열이 증가하는 경향이 나타났다. 이를 통해 우리나라의 극한강수의 규모는 더욱 커질 것이라 판단된다. 전·후반기 확률분포형을 비교한 결과 전반기에 일반극한값분포(generalized extreme value distirbution), 삼모수 버분포, 일반파레토분포가 선정되었고, 후반기에는 일반파레토분포와 삼모수 로그 로지스틱분포가 가장 많이 선정되었다. 선정된 확률분포형을 이용하여 확률강수량을 산출하고 전·후반기를 비교한 결과 전반기에 비해 후반기에 확률강수량의 규모가 증가하였다. 본 연구에서는 연최대치계열을 이용하여 우리나라 극한강수의 특성을 파악하고 다양한 분포형을 이용하여 극한강수의 최적분포형을 선정하였다. 선정된 최적분포형을 이용하여 확률강수량을 산출한 결과 본 연구의 확률강수량 규모가 기존의 연구 결과보다 크게 나타났다. 또한 전반기와 후반기의 확률강수량을 비교한 결과 후반기에 확률강수량의 규모가 증가하였다. 본 연구는 우리나라 극한강수의 강도와 규모를 추정하는데 도움을 주어 하천 구조물의 설계 및 정책 수립 시 기준 설정에 기여할 것으로 판단된다. This study determined the optimal probability distributions using 51 statistical probability distributions to estimate maximum probability precipitation the Republic of Korea from 1973 to 2012. Also maximum probability precipitations in order to examine the change on extreme precipitation between the first half period(1973-1992), the second half period(1993-2012) were analyzed. Annual maximum series from 1973 to 2012 were constructed and examined. As a result, the median value of annual maximum series was the highest in the south coastal region, but as a duration time was getting longer, Seoul, Gyeonggido, and Gangwondo had higher median values. The months of annual maximum series occurrence were concentrated between June and September. Typhoons affected on annual maximum series occurrence in September. Generalized Pareto distribution, and three parameter Burr distribution were most selected distributions for annual maximum series in the Republic of Korea. Futhermore, in the seasonal basis, the most selected distributions was three parameter Dagum distribution for spring, three parameter Burr distribution for summer, generalized Pareto distribution for autumn, three parameter log logistic distribution, generalized Pareto distribution and log-Pearson type III distribution for winter. Maximum probability precipitation was derived from selected optimal probability distributions and compared with that from Ministry of Land, Transport and Maritime Affairs(MOLTMA). Maximum probability precipitation in this study was greater than that of MOLTMA as the duration time and return periods increased. This difference was statistically significant when apply Wilcoxon signed rank test. Because of different distributions, as the return period is longer, greater maximum probability precipitation value were estimated. Seasonal maximum probability precipitation was greater in most of the south coastal region, and Seoul, Gyeonggido and Gangwondo had greater maximum probability precipitation in summer. Gangwondo had greater maximum probability precipitation in autumn while Ulleung and Daegwallyeong had greater one in winter. In temporal changes of annual maximum series most of observation stations except Mokpo showed a increasing trend. It means that amplitude of annual maximum series in the Republic of Korea is getting larger. When comparing the difference of annual maximum series between the first half period(1973-1992) and the second half period(1993-2012), the most selected distribution was generalized extreme value distribution, three parameter Burr distribution, and generalized Pareto distribution for the first half one while generalized Pareto distribution, three parameter log logistic distribution for the second half one. Comparing maximum probability precipitation calculated from selected distributions, one for the first half was greater than the second half. From this study, characteristics of extreme precipitation events in the Republic of Korea were identified using annual maximum series and a variety of distributions, and optimal probability distributions accounted for extreme precipitation events were determined. Maximum probability precipitation derived from selected optimal probability distributions was greater than that of MOLTMA. Futhermore, the second half period had greater maximum probability precipitation than the first half one. This study examined intensity and frequency of extreme precipitation events in Korea, so it help establish standards of river construction design and policy making.

확률에 관한 수학적 토론의 효과 : 확률 판단 전략과 확률적 사고 수준 분석 : 고등학교 2학년 학생을 대상으로

심주연 한국교원대학교 교육대학원 2018 국내석사

본 연구의 목적은 고등학교 2학년 학생들이 확률 문제를 수학적 토론을 통해 해결하는 과정을 관찰하면서 학생들이 가지고 있는 확률 판단 전략을 알아보고, 확률적 사고 수준의 변화를 살펴본다. 이를 통해 확률에 관한 수학적 토론의 효과를 알아보고자 한다. 이러한 목적을 달성하기 위해서 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. 가. 고등학교 2학년 학생들이 어떤 확률 판단 전략을 사용하는가? 나. 확률에 관한 수학적 토론을 하는 동안 확률적 사고 수준은 어떻게 변하는가? 연구 문제를 해결하기 위하여 전라남도 목포에 소재한 고등학교 2학년 수학동아리 학생 6명을 연구대상으로 하여 검사지와 학습지를 이용하여 5차시 수업(70분)하면서 사례 연구를 하였다. 본 연구를 위하여 학생들의 확률 판단 전략을 진단검사지(1차시)와 다양한 수학적 토론이 가능한 학습지(2~5차시)를 이용하여 학생들의 문제풀이 과정을 통해 확률적 사고 수준을 알아보고 문제를 풀고 난 이후 수학적 토론을 진행하여 학생들의 확률적 사고 수준의 변화와 확률 수업의 방향성에 대해 관찰하였다. 본 연구를 통하여 얻은 결론은 다음과 같다. 첫째, 토론 과정에서 학생들은 경험에 의존하는 확률 판단 전략인 정보의 이용가능성 전략을 가장 많이 사용하는 것을 알 수 있다. 학생들이 문제를 푸는 데 있어서 평상시에 자신이 경험하는 것에 의거하여 답하는 것이 자주 반복되는 것을 볼 수 있다. 토론을 통해 문제 상황이 실생활에 가까울수록 학생들은 주관적인 부분에 대해 대화가 빈번하다는 것을 알게 되었다. 둘째, 학생들은 토론을 통해 확률적 사고 수준이 상승한다. 학생들은 확률 문제 상황에서 토론을 통해 더 생산적인 전략을 찾아가고, 형식적으로 풀어오던 확률 개념에 대해 정립하면서 확률적 사고 수준이 상승한다. 셋째, 불확실한 확률 상황에서 합리적인 합의점을 찾아가는 토론 과정을 통해 확률 개념의 특이성을 배울 수 있다. 타당한 추론을 통해 다른 답에 도달할 수 있거나, 같은 문제가 서술하는 방식에 따라 답이 달라지는 등 다른 영역과 다른 확률 개념의 독특함을 토론을 통해 배우게 된다. 넷째, 학생들은 평상시 수업보다 수학적 토론에 대해 긍정적이라고 생각한다. 5차시 수업이 끝나고 학생들은 면담과 설문을 통해서 확률 문제에 대해 다양한 시각을 배우게 되고 더 정교하게 수학을 알아가는 느낌이 든다고 진술 하였다. 강의식 학교 수업과 달리 수업이 수학문제에 대해 논의하면서 생동감이 있어 수학을 하는 게 이런 느낌인가 라며 수업이 즐겁다고 진술하였다.