不定(부정) Einstein-Kaehler 多樣分(다양분)의 複素超曲面(복소초곡면)

기우항 ( U Hang Ki ),오계환 ( Ge Hwan Oh ) 경북대학교 과학교육연구소 1987 科學敎育硏究誌 Vol.37 No.1

不定 Einstein-Kaehler 多樣分의 複素超曲面은 法接績 (normal connection) 이 평탄하면 Einstein 空間이다. 1987年 Aiyama, Ikawa, Kwon 과 Nagakawa([1]) 는 不定複素空間型의 Ricci 텐 서 가 평행인 複素超曲面은 Einstein 空間이 됨을 밝혔다. 이 論文에서는 이것을 확장하여 다음 결과를 얻었다.

일반형(一般型) fibre를 가지는 fibred 리만 공간(空間)

기우항 ( U-hang Ki ),김병학 ( Byung Hak Kim ) 경북대학교 과학교육연구소 1985 科學敎育硏究誌 Vol.9 No.-

K .Yano, M . Konishi, Y.Tashiro 等에 의하여 1960年代 後半부터 集中 硏究되기 시작한 fibred space의 미분기하학적 考察은 最近 Y .Tashiro, I.-B. Kim등의 국내의 학자들에 의해서 fibred Sasakian space의 問題가 풀리고 있으며 더욱이 fibre 상에서 structure tensor와 次元과의 관계에 의하여 곡면론적 해석을 시도하고 있다. 이런 관점에서 본 論文에서는 fibred Sasakian space가 generic 구조를 가질 때 pro-jectable의 문제가 기본 tensor, curvature condition들을 硏究하였다.

우수(偶數)차원(次元) Euclid공간(空簡)의 정규(正規) f -구조(構造)를 갖는 일반(一般)형(形) 부분다양체(部分多樣體)

기우항 ( U Hang Ki ),강태호 ( Tae Ho Kang ) 경북대학교 과학교육연구소 1983 科學敎育硏究誌 Vol.7 No.-

최근에 著者 奇 등은 偶數次元 Euclid 空簡의 一般形 部分多樣體 M이 正規인 f 構造를 가지며, 平均曲率벡터가 平行할 때, 球面積과 平面과의 곱으로 分離될 수 있음을 밝혔다.([2],[3]참조). 이 問題에서 平均曲率벡터 H 가 平行할 幾何學的 조건을 발견하는 것은 幾何學界의 관심의 사항이다. 本 論文에서는 위에서 말한 多樣體 M이 local ly irreducible이면 H가 平行이 됨을 여러각도에서 고찰하여 證明할 수 있었다. 곧 다음 두 定理가 成立함을 밝혔다. 定理. 偶數次元 Euclid 空簡의 完備인 一般形 部分多樣體를 M이라 한다. 이 때, M이 locally irreducible이고 法接續이 平坦하며 유도된 f 構造가 正規이면, M은 n 次元球面 또는 球面積 SP(r)x …x SP(r)이다. 定理. 위의 定理의 가정 중 M이 locally irreducible 이 아니드라도 M 은 局所對稱이다.

음(陰)이 곡률(曲率)을 갖는 다양분(多樣?)에 관(關)한 연구(硏究)

기우항 ( U Hang Ki ),김석찬 ( Suck Chan Kim ) 경북대학교 과학교육연구소 1984 科學敎育硏究誌 Vol.8 No.-

Myers의 정리에 의하면 완폐된 다양체(compact manfold)가 항상 음이 아닌 곡률(nonnegative curvatyre)를 가질 때 그 기본군(fundamental group) 이 유한군(finite group)이다. 이 논문은 곡률이 항상 음이 아니면 그기본군의 부분군 (subgroup)중 n개로 생성된 부분군은성장함수 (growth function) r (s)가 csⁿ (c는 상수)보다 작다는 것을 보이고 몇가지 예를 들었다.

반부변(反不變) 복합계량(複合計量) 구조(構造)의 적분가능조건(積分可能條件)

기우항 ( U Hang Ki ),강태호 ( Tae Ho Kang ),김병학 ( Byung Hak Kim ) 경북대학교 과학교육연구소 1983 科學敎育硏究誌 Vol.7 No.-

K. Yano, S.I shihara, M. Kon 等에 의해서 연구 되어온 反不變 部分多樣體에 對한 考察은 最近 많은 學者들에 의해서 보다 많은 性質이 연구되고 있다. 이런 觀點에서 本 論文 에서는 Sasaki 多樣體의 反不變 部分多樣體에 自然스럽게 誘導되는 反不變 複合計量構造의 積分可能條件上에 定義된 槪複素構造에 의해 이루어진 Ni j en h u i s 덴서와 그에 對한 性質을 利用해서 밝혔다. 이 論文에서 얻어진 주요한 結果는 다음과 같다. 定理. M을 反不變 複合計量構造를 가지는 n 次元 多樣體라 하자. 이때 函數 λ (1 - λ2)≠0(a.e).이라면 M×RP×R1 上의 槪複素構造 F 가 積分可能일 필요충분조선은 Ni jenhuis덴서의 成分중 N_xy^a, N_xy^x, N_xy* 가 M上에서 零일 때이다.

변화에 의한 기하교육

곽동애 ( Dong Ae Kwak ),기우항 ( U Hang Ki ),우경수 ( Gyung Soo Woo ) 경북대학교 과학교육연구소 1998 科學敎育硏究誌 Vol.22 No.-

This study is on the historical view of the geometry and the associated theoretical background of related transformations. From the ancient Greek ages, the geometric teaching relating to transformations was of great importance. Generally, the geometry was developed in the following order such as the Euclidean geometry, affine geometry, and topological geometry. But in the development of space recognition, the recognition of the topological properties such as the inner and outer part, the openness and closedness, the connectedness of curves precedes the affine and Euclidean recognition in the geometric figures. In the current geometry, they usually deal the Euclidean geometry to geometric figures. In the current geometry, they usually deal the Euclidean geometry to improve the geometrical insights and the ability of arguments. But they also introduced the topological geometry such as the Mobius band, one touch drawing, the Euler`s formula. But there are no absolute truth in mathematics, so we should develop several new kinds of programs of programs containing the affine geometry and topological geometry for the students.

매개변수(媒介變數)로 표시되는 도형(圖形)의 연구

오세춘 ( Sae Chun Oh ),기우항 ( U Hang Ki ),김여호 ( Young Go Kim ),오철한 ( Chul Han Oh ) 경북대학교 과학교육연구소 1998 科學敎育硏究誌 Vol.22 No.-

The equations of figures in terms of rectangular coordinates are used to look into the properties of them, which are very restricted in examining them in the school mathematics. Therefore, it is quite natural to consider the figures in terms of parameters without restricting to coordinates and also, it is possible for the students to analyze them. Thus, this study is intended to present concretely the aim and its utility to symbolize the concepts of figures represented as parameters. And the equations of figures in terms of parmeters show us more precisely the basic concept and the principle of parameter, and they give the students thought of organizing the geometric figures. As a consequence, the students by widely examining figures, represented with parameter, will be able to study more easily many of them and to investigate them with a lot of methods. Consequently they can develop the ability of thinking mathematically so many natural phenomena and physical ones.

고등하교 지구과학 실험, 실습 요목 비교 분석

정원우 ( Won Woo Chung ),이윤종 ( Yoon Jong Lee ),기우항 ( U Hang Ki ),김영호 ( Young Ho Kim ),양승영 ( Seong Young Yang ),강용희 ( Yong Hee Kang ),안병호 ( Byung Ho Ahn ),임성규 ( Seong Kyu Yim ),윤일회 ( Ill Hee Yoon ),김중욱 ( 경북대학교 과학교육연구소 1997 科學敎育硏究誌 Vol.21 No.-

The purpose of this study is to investigate the status of the experimental and practical education in high school earth science. The present status and reasonable management of the experimental and practical education in high school earth science have been grasped from the questionnaires. To do this, eighty eight earth science teachers in Korea are administered questionnaires. The frequency of the experimental and practical items in the seven kind of earth science text books were investigated. The problems and the reasonable management for experimental and practical education were proposed in this paper.

현행 중등학교 과학 실험, 실습 교육 실태 조사 및 그 운영 진단(III) -과학 개념 변화를 위한 과학사적 교수, 학습 모델 개발-

정원우 ( Won Woo Chung ),오철한 ( Chul Han Oh ),이윤종 ( Yoon Jong Lee ),기우항 ( U Hang Ki ),김영호 ( Young Ho Kim ),권용주 ( Yong Ju Kwon ),이일형 ( Il Hyung Lee ),김중욱 ( Joong Wook Kim ),윤성효 ( Sung Hyo Yun ) 경북대학교 과학교육연구소 1998 科學敎育硏究誌 Vol.22 No.-

The purpose of this paper is to show how the history of science can be used as a means for improving students` atmospheric pressure misconception. Students` understanding for atmospheric pressure conception and teaching-learning process for atmospheric pressure were investigated by questionnaires. It proved out that students couldn`t fully understand the concept of atmospheric pressure after learning atmospheric pressure and showed many misconceptions. To compare the effect of the teaching method guided by history of science with the traditional teaching method for atmospheric pressure conception, 99 students in two classes in the second grade middle school in Taegu City were picked out. Teaching method guided by history of science to experimental group and the traditional teaching method to normal group were applied. The tests carried out 3 times; before class, just after class, and 3 months after class. As a result of evaluation, normal group was better than experimental group before class. As a result of evaluation, normal group was better than experimental group before class. But experimental group which took the teaching method guided by history of science was better than normal group just after class. And the experimental group was better than normal group 3 months after class. From these results, it is sure that the effect of the teaching method guided by history of science was better than the traditional teaching method in the teaching-learning process of atmospheric pressure conception. Also there was the effect of improvement in atmospheric pressure misconception by putting the teaching method guided by history of science into classes.

Compact submanifolds of codimension 2 in an even-dimensional Euclidean space

Ki, U-Hang,Pak, Jin Suk 慶北大學校 師範大學 1975 敎育硏究誌 Vol.17 No.-

矢野에, 嚴, 奇는 槪Hermit 多樣體의 餘次元 2인 部分多樣體 또는 槪接觸 多樣體의 招曲面에 유도되는 소위 (f, g, u, v, λ) -structure를 사용하여, Euclid空間의 餘次元 2인 完備可附 部分空間을 硏究한 바 있다. 失野와 現著者 奇는 그들의 論文[8]에서 다음 定理를 證明하였다. 定理 A. M이 우수차원 Euclid空間의 餘次元 2인 緊密部分空間으로서 그 scalar曲率이 一定하고, 또 M의 두 單位 法 vector C와 D가 normal bundle에서 平行이라고 한다. H와 K는 각각 C와 D에 관한 M의 第二基本 tensor이고, f는 M의 유도 (f, g, u, v, λ) -structure에 나타나는 (1,1)型의 tensor場이라고 할 때, 만일 fH=Hf 및 fK=-Kf이면, M은 E^(2n+2)안에서 다음 部分多樣體중의 어느 하나와 合同이다 : E^2n, S^2n(γ), S^n(γ)×S^n(γ), S^l(γ)×E^(2n-l) (l = 1, 2, …, 2n-1), S^k(γ)×S^k(γ)×E^(2n-2k) (k = 1, 2, …, n-1). 단, 函數 λ(1-λ^2)는 M에서 almost everywhere로 0이 아니고, S^k(γ)는 E^(2n+2)에 자연스럽게 도입되는 반지름 γ>0인 k次元球面을 나타낸다. 本 論文의 硏究目的은 定理 A를 개혁하는데 있다. 즉 M의 scalar曲率이 一定하다는 강한 가정 대신에 M이 緊密이고, 또 γ가 半定値가 될 때, 위의 結論과 같은 결과를 증명하고자 한다. 단, γ는 서로 수직인 두 vector u 및 v에 의해서 生成되는 斷面 γ(u, v)의 斷面曲率을 나타낸다. M이 緊密이므로 위의 結論은 S^2n(γ), S^n(γ)×S^n(γ)뿐인 것은 명백하다. 이제 M을 2n+2차원 Euclid空間 2n次元 可附部分多樣體라고 하면, 잘 알려져 있는 바와 같이 M은 (f, g, u, v, λ) structure를 허용한다. 즉 E^(2n+2)에 Kaehlerian structure를 자연스럽게 도입하면 다음의 관계식이 成立한다. (1) f_i^tf_t^h=δ_i^h+u_iu^h+v_iv^h, u_tf_i^t=λv_i, f_t^hu^t=-λv^h, v_tf_i^t=-λu_i, f_t^hv^t=-λu^h, u_tu^t=v_tv^t=1-λ^2, u_tv^t=0, g_tsf_j^tf_i^s=g_ji-u_ju_i-v_jv_i. ∇_i를 유도계량 tensor g_ji에 의해서 이루어진 Christoffel symbol ??에 관한 共變徵分의 演算이라하면, 다음의 構造方程式이 얻어진다. (2) ∇_jf_i^h=-h_jiu^h+h_j^hu_i-k_jiv^h+k_j^hv_i, (3) ∇_ju_i=-h_jtf_i^t-λk_ji+l_jv_i, (4) ∇_jv_i=-k_jtf_i^t+λh_ji-l_ju_i, (5) ∇_jλ=-h_jtv^t+k_jtu^t. 단, h_ji, k_ji는 第二基本 tensor의 成分이며 h_j^h, k_j^h는 각각 다음 식에 의하여 定義된다. h_j^h=h_jtg^th, k_j^h=k_jtg^th, 또, l_j는 第三基本 tensor의 成分이다. M의 曲率 tensor의 共變成分을 K_kjih이라고 하면, Gauss, Codazzi. Ricci 方程式은 다음과 같이 주어진다. (6) K_kjih=h_khh_ji-h_jhh_ki+k_khk+ji-k_jhk_ki, (7) ∇_kh_ji-∇_jk_ki-l_kk_ji+l_jk_ki=0, (8) ∇_kk_ji-∇_jk_ki+l_kh_ji-l_jh_ki=0, (9) ∇_jl_i-∇_il_j+h_jtk_i^t-h_itk_j^t=0. 이 論文에서는 항상 f와 H는 可換이고, f와 K는 反可換이라고 假定한다. 즉 (10) f_j^th_t^h-h_j^tf_t^h=0, (11) f_j^tk_t^h-k_j^tf_t^h=0 이 成立함을 가정한다. 또 函數 λ(1-λ^2)은 almost everywhere로 0이 아니라고 가정한다. 이들 假定下에서 다음 관계식이 成立함을 증명 할 수 있다. (12) k_t^t=0, (13) h_jtu^t=pu_j, h_jtv^t=pv_j, (14) k_jtu^t=aiv_j, k_jtv^t=βu_j-αv_j. 단, p, α 및 β는 각각 다음과 같이 定義된다. p=1/(1-λ^2) h_tsu^tu^s=1/(1-λ^2) h_tsv^tv^s, α=1/(1-λ^2) h_tsu^tu^s=-1/(1-λ^2) h_tsv^tv^s, β=1/(1-λ^2) h_tsu^tv^s. 補助定理 두 單位 法 Vector C 및 D가 normal bundle에서 平行인 E^(2n+2) 餘次元 2의 部分空間 M이 (10) 및 (11)을 만족하고, 또 λ(1-λ^2)이 almost everywhere로 0이 아니면, 다음의 方程式이 成立한다. (15) h_jth_i^t=ph_ji, p=constant, (16) ∇_kh_ji=0, (17) α(m-2)p=0, (18) (1-λ^2)(k_jtk_i^t+βh_ji)={α^2+β(β+p)}(u_ju_i+v_jv_i) 단, m은 行列(h_j^h)의 固有値 p에 관한 重複度이다. 한편 (12)를 사용하면 (6)과 (15)로부터 다음 관계식이 얻어진다. (19) K_ji=(h_t^t-p)h_ji-k_jtk_i^t. 여기에 다시 식(18)을 이용하면 (20) (1-λ^2)K_ji=(1-λ^2)(h_t^t-p+β)h_ji-(α^2+β^2+βp)(u_ju_i+v_jv_i) 이 成立한다. 위의 식에 g^ji를 transvect하면, M의 scalar曲率인 다음 식이 얻어진다. (21) g^jiK_ji=(h_t^t-p+β)h_s^s-2(α^2+β^2+βp). Gauss의 方程式인 (6)과 (13) 및 (14)를 사용해서 다음 관계식을 준비해 둔다. (22) K_kjihu^kv^ju^iv^h=-(1-λ^2)^2(p^2-α^2-β^2). 이 식은 서로 수직인 vector u 및 v에 의해서 生成되는 斷面 γ(u, v)의 斷面曲率 γ가 p^2-α^2-β^2으로 주어짐을 의미한다. 이제부터 추가 조건으로서 M이 緊密이라고 가정한다. 식(17)에 의하면 p=0, m=2, α=0 인 세가지 경우가 있음을 알 수 있다. 먼저 p=0인 경우를 생각한다. 이 때는 (15)에 의하면 h_ji=0이 된다. 한편 k_t^t=0이므로, 平均曲率 Vector H~=1/(2n) (h_t^tC+k_t^tD) 이 恒等的으로 0이 된다. 따라서, M은 極小曲面이다. 그러나 Euclid공간의 極小緊密部分空間은 存在하지 않는다는 사실에 의하여 p=0인 경우는 생각하지 않아도 좋다. 다음에 m=2인 경우를 생각한다. 이 때는 (15)에서 h_t^t=2p 를 유도 할 수 있고, 이 것과 (13)을 이용하면 (23) (1-λ^2)h_ji=p(u_ju_i+v_jv_i) 를 계산할 수 있다. (23)을 (18)에 代入하면 (1-λ^2)k_ji=α(u_ju_i+v_jv_i)+β(u_ju_i+v_jv_i) 이 成立한다. 그러나 이 때도 函數 λ(1-λ^2)에 관한 가정과 M이 緊密이라는 사실에 의하여 모순이 됨을 알 수 있다. 따라서, 우리는 α=0인 경우에 限하여 문제를 해결하면 된다. 이 경우 γ가 半定値라고 가정하면, p^2-β^2이 半定値가 된다. 이 硏究의 中心이되는 部分으로서 β가 恒等的으로 0이거나 -p가 되는 것을 여러 가지 微分幾何學的인 수단을 동원하여 증명할 수 있다. 따라서 (21)에 의하면 M의 scalar曲率이 一定하다. 이 사실과 定理 A를 結合하면 다음의 主定理가 증명된다. 定理 M이 우수차원 Euclid空間의 餘次元 2인 緊密部分空間으로서 서로 수직인 두 vector u 및 v에 의하여 生成되는 斷面의 斷面曲率이 半定値이고, 또 M의 두 單位 法 vector C와 D가 normal bundle에서 平行이라고 한다. H와 K는 각각 C와 D에 관한 M의 第二基本 tensor이고, f는 M의 유도(f, g, u, v, λ)-structure에 나타나는 (1, 1)型의 tensor場이라고 할 때, 만일 fH=Hf 및 fK=-Kf이면, M은 E^(2n+2)안에서 S^2n(γ), 또는 S^n(γ)×S^n(γ)와 合同이다. 단, 函數 λ(1-λ^2)은 M에서 almost everywhere로 0이 아니다.