Newton의 역제곱 법칙 증명에서 기하학적 극한 분석 및 교육적 시사점

강정기,Kang, Jeong Gi 한국학교수학회 2021 韓國學校數學會論文集 Vol.24 No.2

본 연구는 Newton의 <Principia>의 핵심으로 일컬어지는 역제곱 법칙의 증명을 기하학적 극한과 관련하여 분석하고, 이를 수학교육에 활용하는 방안과 관련한 교육적 시사점을 제공하고자 하였다. Newton은 무한소에 대한 논쟁을 의식하여 전통적인 Euclid의 기하 방식으로 역학 문제를 해결하였다. Newton은 힘, 시간, 관성 궤도 이탈 정도 등을 기하 선분으로 표현함으로써 역학을 기하의 차원에 포함시키는 결과를 이뤄냈다. Newton은 특히 포물선 근사, 다각형 근사, 선분의 비의 극한이라는 기하학적 극한을 도입함으로써 Euclid 기하를 역학을 아우르는 새로운 차원으로 발전시킬 수 있었다. 이러한 분석을 바탕으로 Newton의 기하학적 극한을 수학의 유용성을 보여주는 도구로 활용, 곡선면적은 정적분이라는 통념을 깨는 수단으로 활용할 것을 제안하였다. 더불어 학교수학에서 기하학적 극한의 바람직한 활용을 돕기 위해서는 미시 세계에서의 동등성 확대 강조, 발견술로서 활용하게끔 유도하는 질문 활용, 미시 세계에서 선분의 동등성 파악에는 비의 접근이 유용하다는 인식을 돕는 과정이 필요할 것이라는 교육적 시사점을 제안하였다. This study analyzed the proof of the inverse square law, which is said to be the core of Newton's <Principia>, in relation to the geometric limit. Newton, conscious of the debate over infinitely small, solved the dynamics problem with the traditional Euclid geometry. Newton reduced mechanics to a problem of geometry by expressing force, time, and the degree of inertia orbital deviation as a geometric line segment. Newton was able to take Euclid's geometry to a new level encompassing dynamics, especially by introducing geometric limits such as parabolic approximation, polygon approximation, and the limit of the ratio of the line segments. Based on this analysis, we proposed to use Newton's geometric limit as a tool to show the usefulness of mathematics, and to use it as a means to break the conventional notion that the area of the curve can only be obtained using the definite integral. In addition, to help the desirable use of geometric limits in school mathematics, we suggested the following efforts are required. It is necessary to emphasize the expansion of equivalence in the micro-world, use some questions that lead to use as heuristics, and help to recognize that the approach of ratio is useful for grasping the equivalence of line segments in the micro-world.

GSP를 활용한 중학교 2학년 수학 영재학급의 일반화 수업 분석과 교육적 시사점 -Viviani 정리를 중심으로-

강정기 ( Jeong Gi Kang ) 한국수학교육학회 2016 수학교육논문집 Vol.30 No.1

본 연구는 교육 현장의 영재학급에 대한 바람직한 일반화 수업 구현을 돕는 것을 목적으로, GSP를 활용한 일반화수업을 설계 및 적용해봄으로써 수업의 실제를 파악해 보고자 하였다. 이를 위해 중학교 2학년 영재학급 학생 13명을 대상으로 GSP를 활용한 Viviani 정리의 일반화 수업을 계획하여 적용해 보았다. 그 결과 ‘GSP에 의한 추측 조정과 패턴 확인’, ‘GSP 확인이 증명이라는 오개념과 극복’, ‘주제 이탈과 인지적 격차’, ‘미완의 추측에 의한 증명 완성’, ‘일반화와 일반성 이해 사이의 괴리’라는 다섯 가지 주제를 추출할 수 있었다. 추출한 주제를 토대로 영재학급에서의 바람직한 일반화 수업 구현을 위한 교육적 시사점에 대해 논의하였다. This study is aimed to implement a preferred generalization classes for gifted students. By designing and applying the generalization lesson using GSP, we tried to investigate the characteristics on the class. To do this, we designed a lesson on generalization of Viviani theorem and applied to 13 8th grade students in a math gifted class. As results, we could extract five subjects as followings; mediating the conjecture by GSP and checking the pattern, misunderstanding the confirm by GSP as a proof and its overcoming, digressing from the topic and cognitive gap, completing the proof by incomplete conjecture, gap between the generalization and understanding generality. Based on this subjects, we discussed the educational implications in order to help implement a preferred generalization classes for gifted students.

대수 증명에서 종속적 일반성의 인식 및 특정수 전이에 관한 연구

강정기 ( Jeong Gi Kang ),장혜원 ( Hye Won Chang ) 한국수학교육학회 2014 수학교육 Vol.53 No.1

Algebra deals with so general properties about number system that it is called as ``generalized arithmetic``. Observing students` activities in algebra classes, however, we can discover that recognition of the generality in algebraic proofs is not so easy. One of these difficulties seems to be caused by variables which play an important role in algebraic proofs. Many studies show that students have experienced some difficulties in recognizing the meaning and the role of variables in algebraic proofs. For example, the confusion between 2m+2n=2(m+n) and 2n+2n=4n means that students misunderstand independent/dependent variation of variables. This misunderstanding naturally has effects on understanding of the meaning of proofs. Furthermore, students also have a difficulty in making a transition from algebraic proof to numerical cases which have the same structure as the proof. This study investigates whether middle school students can recognize dependent generality and make a transition from proofs to numerical cases. The result shows that the participants of this study have a difficulty in both of them. Based on the result, this study also includes didactical implications for teaching the generality of algebraic proofs.

증명에서 연역 체계 이해에 관한 연구

강정기 ( Jeong Gi Kang ),노은환 ( Eun Hwan Roh ) 한국수학교육학회 2013 수학교육 Vol.52 No.4

To help students understand the deduction system in the proof, we analyzed the textbook on mathematics at first. As results, we could find that the textbook` system of deduction is similar with the Euclid` system of deduction. The starting point of deduction is different with each other. But the flow of deduction match with each other. Next, we searched for the example of circular argument and analyzed. As results, we classified the circular argument into two groups. The first is an internal circular argument which is a circular argument occurred in a theorem. The second is an external circular argument which is a circular argument occurred between many theorems. We could know that the flow of deduction system is consistent in internal-external dimension. Lastly, we proposed the desirable teaching direction to help students understand the deduction system in the proof.

연산 결과의 의미 이해를 돕기 위한 단위 사용에서의 교수학적 변환 연구

강정기 ( Jeong Gi Kang ),정상태 ( Sang Tae Jeong ),노은환 ( Eun Hwan Roh ) 한국수학교육학회 2014 初等 數學敎育 Vol.17 No.3

수치와 단위는 서로 동떨어진 것이 아니며, 단위는 수치의 의미를 명확히 하는 역할을 한다. 학생들이 해결해야하는 많은 문제에는 단위가 포함되는데, 문제해결 과정에서 관찰된 학생들은 연산 결과의 의미 이해에 어려움을 겪고 있었다. 이러한 현상의 현황을 확인하기 위해 초등학교 6학년 2개반 52명을 대상으로 검사지를 투입하여 그실태를 파악하여 분석하였는데, 이들에게도 역시 단위는 문제에 주어져 있는 것일 뿐, 단위를 연산의 의미 이해와 연결 짓지 못하였다. 이 연구에서는 이와 같은 결과를 토대로 기존의 교수학적 변환이 갖는 특징과 한계를 살펴보고, 연산 결과의 의미 이해 측면에서 단위가 갖는 이점을 고찰해 봄으로써 상황과 관련한 해석에 있어 단위가 갖는 효력을 구체화하였다. 특히 단위 연산 가능성을 허용한 교수학적 변환에 대한 구체적 논의와 시사점을 제안함으로써, 교수·학습에서 변화의 불가피성을 강조함과 동시에 실질적 도움을 제공하고자 하였다. The number and units are not apart from each other, especifically units clarifies number. Students often encounters many problems involving units, researcher found that students have difficulty in recognize the meaning of calculation results. These students recognizes units, just presented thing in the problem. And they could not connect units with the meaning of calculation results. With this results, this study researched limitation of pre serviced didactic transposition and found the effectness of using units to recognize the meaning of calculation results. Especially we discussed didactic transposition with permitting probability of unit calculation and suggested implications. So we accented the inevitability of change, and tried to offer substantial help.

원과 관련된 문제에서 각과 호의 관점으로의 접근

강정기 ( Jeong Gi Kang ) 한국수학교육학회 2012 수학교육 Vol.51 No.4

It is not easy to find the auxiliary line to solve the problem in connection with the circle, where it is the problem finding the central angle or angle at the circumference in a circle. The purpose of the study is to give an aid for this difficulties. The angle at the circumference is closely related to the arc. And so we looked into the problem in connection with the angle at the circumference in point of view of the arc. We have got the following the results. It is not necessary to draw the auxiliary line when solving the problem in connection with the angle at the circumference in point of view of the arc. And we can find the reason to draw the specific auxiliary in point of view of the arc. We hope that the results of research are given aids to a lot of students.

대수 해법 일반성 인식에 관한 연구: 이차방정식 문항을 중심으로

강정기 ( Jeong Gi Kang ) 한국수학교육학회 2014 수학교육논문집 Vol.28 No.1

본 연구는 대수 문제에 대한 해법 자체가 일반성을 지향한다는 사실에도 불구하고, 다수의 학생들은 해법 수행 후에도 그것의 일반성을 인식하지 못할 수 있다는 문제 제기로부터 출발한다. 즉, 대수 해법의 일반성에 대한 이해가 결여된 체, 대수 해법 수행이 이루어지고 있을지도 모른다는 의구심이 제기된다. 이 문제를 조사하여 학생 인식의 구체적 특정을 파악하고, 아울러 인식 전환을 가능하게 하는 요인을 찾음으로써, 교육적 시사점을 얻는 것을 목적으로 한다. 이를 위해 중학교 3학년 한 학급 학생들을 대상으로 대수 해법 일반성에 대한 인식을 조사하였으며, 그 결과70%에 해당하는 학생들이 대수 일반성 인식 결여를 나타내었다. 이들 중 대수 해법의 일반성 인식 결여가 명백한 네 명의 학생들과 개별 면담을 가짐으로써, 인지적 특성을 파악해 보았다. 또한 이들에게 해법 일반성 인식에 필요한 요소를 분석하여 얻은 세 활동(개별 결과 통일성 확인, 상이 대수 해법 동일성 확인, 대수의 임의성 확인) 투입 이후 나타나는 인식 변화를 관찰, 분석하였다. 개별 면담을 가진 네 사례는 하나의 활동만으로 인식 개선한 한 사례와 세 활동을 통한 점진적 인식 개선한 두 사례, 그리고 인식 전환에 실패한 한 사례로 구분되었다. 이러한 결과를 토대로 대수에서 해법의 일반성에 대한 인식과 세 활동의 효과, 그리고 시사점을 논의하였다. This study starts from the problem that although the solution premise the generality in algebra, a lot of students don`t understand the generality of algebraic solution. We investigated this problem to understand cognitive characteristic of students. Moreover, we tried to find the elements which helping students understand the generality of algebraic solution. The purpose is to get the didactical implications. To do this, we had investigated the cognition of twenty middle school students for generality of solution. As result, 70 % of them didn`t cognize the generality of solution. We had a personal interview with four students who showed a lack of sense of generality of algebraic solution. Putting into three action which we designed to help the change of their recognition, we observed and analyzed students cognizance change. Three action is the check of accordance for individual results, the check of solution accordance for different variables and the check of arbitrary variables. Based on the analysis, we discussed on the cognitive characteristic of students and the effect of three action. We finally discussed on the didactical implications to help students understand the generality of algebraic solution.

문제 해결 과정에서 규칙을 찾는 초등학생들의 사고 과정 분석

신수진,강정기,노은환,Shin, Su-Jin,Kang, Jeong-Gi,Roh, Eun-Hwan 영남수학회 2012 East Asian mathematical journal Vol.28 No.2

The purpose of this study is to help for an in-depth understanding of their thinking process by observing and analyzing the response found by two elementary school students, Through this study, the following findings could be obtained. First, two students have a tendency trying to solve the complex situation at first. Second, we could know that it is an important factor in discovering the pattern to predict it. Third, we could know that the activity of reconstructing the data meaningfully is an important factor in discovering the pattern. Fourth, it is an important factor in finding the pattern to work organically the activity of predicting it with the activity of reconstructing the data meaningfully. We hope that this study offers the help for an in-depth understanding of students's thinking process.

삼각형의 외심, 내심의 정의에 관한 고찰

전영배,강정기,노은환,Jun, Young-Bae,Kang, Jeong-Gi,Roh, Eun-Hwan 한국학교수학회 2011 韓國學校數學會論文集 Vol.14 No.3

본 연구는 삼각형의 외심, 내심의 기능적 이해를 돕기 위한 목적으로 수행되었으며, 그들 의 정의에 대한 교수 학습 상황에 대한 도움을 제공하고자 하였다. 삼각형의 외심, 내심의 정의는 현 교과서에서 3가지로 분류될 수 있으며, 이들을 각각 구성에 초점을 맞춘 정의, 의미에 초점을 맞춘 정의, 구성과 의미 모두에 초점을 맞춘 정의로 구분하였다. 그리고 이들 각 정의가 갖는 맥락, 의도, 목적에 대한 이해를 도모하고자 삼각형의 외심, 내심의 각 정의 에 대한 특징을 분석하였다. 구성에 초점을 맞춘 정의는 개념의 실체와 무모순성을 강조한 정의로 학습자가 이 개념이 무모순임을 이해하기 위한 목적으로 선택된 것이라는 것을 분석 해 내었다. 한편, 이 정의는 다각형의 외심, 내심의 의미를 고려하여 정의를 하였으며, 이러한 사실로 미루어 볼 때 삼각형의 외심, 내심은 다각형의 외심, 내심과 연계된 지도가 필요함을 확인하였다. 또한 이 정의는 용어와 정의의 괴리로부터 발생하는 개념 혼란으로 인해 정의에 대한 숙지가 어렵다는 것을 알 수 있었다. 의미에 초점을 맞춘 정의는 개념 정의와 개념 이미지는 일치하여 정의를 숙지하는 것이 용이하지만, 개념의 실체를 발견하고자 할 때 구성이 어려운 상황을 연출한다는 점을 알 수 있었다. 한편, 결과적 지식이지만 발생적 맥락 을 간직한 정의이기 때문에 이러한 점을 고려하면 정의에 대한 지도는 개념 발생 맥락 및 과정이 분리되어 지도되어서는 안 된다는 점을 확인하였다. 구성과 의미 모두에 초점을 맞춘 정의는 시작점이 모호할 뿐 만 아니라 기존에 제시된 정의와는 다른 형태이기 때문에 개념 정의에 대한 인식이 어려울 수 있음을 확인하였다. 본 연구의 결과가 수학 교육 현장에서 삼 각형의 외심, 내심의 정의에 대한 이해를 향상시키는데 도움이 되길 바란다. This paper was designed for the purpose of helping the functional comprehension on the concept of a circumcenter and an incenter of triangle and offering the help for teaching-learning process on their definitions. We analysed the characteristic of the definition on a circumcenter and an incenter of triangle and studied the context, mean and purpose on the definition. The definition focusing on the construction is the definition stressed on the consistency of the concept through the fact that it is possible to draw figure of the concept. And this definition is the thing that consider the extend of the concept from triangle to polygon. Meanwhile this definition can be confused because the concept is not connected with the terminology. The definition focusing on the meaning is easy to memorize the concept because the concept is connected with the terminology but is difficult to search for the concept truth. And this definition is the thing that has the grounds on the occurrence but is taught in a made-knowledge. The definition focusing on both the construction and meaning is the definition that the starting point is vague in the logical proof process. We hope that the results are used to improve the understanding the concept of a circumcenter and an incenter of triangle in the field of mathematical education.

예비 초등 교사의 도형 분석 능력 신장을 위한 GSP 작도의 활용

노은환 ( Eun Hwan Roh ),강정기 ( Jeong Gi Kang ),김민정 ( Min Jeong Kim ),정상태 ( Sang Tae Jeong ) 한국수학교육학회 2014 初等 數學敎育 Vol.17 No.2

본 연구에서는 예비 초등 교사의 도형 문제 해결에 있어 필요한 교수 역량을 다양한 문제 해결 능력, 핵심 요소를 추출하는 능력, 그리고 학생의 어려움을 예상하는 능력의 관점에서 그들의 현 실태 파악과 더불어, 교수 역량의 강화 방안으로 GSP 작도를 활용하였다. 그 결과 예비 초등 교사들이 문제 해결에서 오류를 보이기도 하고, 지식에 초점을 둔 핵심 요소를 추출하는 경향이 강하며, 학생들의 어려움을 특정한 한 가지에서 찾는다는 것을 알 수 있었다. 또한 GSP 작도를 통해서 여러 가지 다양한 성질을 부분적으로 탐구하는 것은 가능하나, 통합된 관점에서의 문제 분석 및 개념 간 연결에 어려움을 겪는 것을 발견했다. 더불어 GSP 작도를 통한 시각적 확인 및 탐구 이후, 문제 해결의 방법이 좀 더 다양해졌으며, 학생의 어려움을 예상하는 초점이 다른 방향으로 전환되었음을 확인할 수 있었다. 이러한 결과로부터 GSP 작도가 예비 초등 교사의 교수 역량 강화의 도구로 활용될 수 있도록 돕는 몇 가지 시사점을 추출할 수 있었다. The purpose of the study is to enhance the figure analysis ability for pre-service elementary teacher by using GSP. To do this, we limited to teaching competence divide into ability various problem-solving, extract key elements, predict the difficulty of student and investigated the initial of them, the reality of GSP construction. As results, pre-service elementary teachers made errors, proposed teaching focused on the character using in the problem solving, and found that in one particular difficulties to find the students. The reality of GSP construction activity was possible to explore through the partially constructed a number of various properties, but we found to have difficulty in the connection between concepts. and integrated view of the problem analysis. After visual identification and exploration through the GSP construction, problem-solving ability became a little more variety and changed their direction in order to focus the student`s anticipated difficulties. From these results, we could extract some pedagogical implications helping pre-service teachers to reinforce teaching competence by GSP construction.