'페르마 점'을 활용한 수학-과학 통합수업에서 학생들의 수학적 사고

윤경원 한국교원대학교 대학원 2013 국내석사

본 연구에서는 문헌탐구에 기초하여 수학-과학 교과적 배경지식이 풍부하여 통합수업에 적합하고 과학 분야와 수학의 연결성을 경험할 수 있는 소재를 선정하고 선정한 소재를 활용한 교수 · 학습을 고등학교 학생들에게 직접 적용하여 활동과정에서 과학적인 현상을 수학적 도구를 이용해서 설명하고, 반대로 과학 이론이 수학 문제 해결의 실마리를 제공하는 상황에서 학생들의 수학적 사고가 어떠한지를 분석해봄으로써 실제 수학교육 현장으로의 적용가능성을 모색해 보고자 하였다. 본 연구의 목적을 위하여 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 1. 고등학교 학생들을 대상으로 수학-과학 통합수업을 어떻게 구성할 것인가? 2. 구성된 수학-과학 통합수업에서 학생들의 수학적 사고는 어떠한가? 2-1. 귀납적 사고는 어떠한가? 2-2. 연역적 사고는 어떠한가? 2-3. 유추적 사고는 어떠한가? 2-4. 비판적 사고는 어떠한가? 이와 같은 연구문제를 해결하기 위하여 본 연구에서는 문헌탐구에 기초하여 과학과 통합된 수업에 적절한 교수 · 학습 소재를 발굴하여 이를 활용한 수업을 구성하여 실제 고등학교 학생들에게 적용하였다. 연구대상은 진주시에 소재하고 있는 한 과학고등학교의 1학년 학생 3명을 선정하였으며, 동영상 촬영, GSP파일, 학생 활동지, 관찰 노트 등 수집된 자료를 바탕으로 각 단계별 학생들의 수학적 사고의 유형이 어떠한지를 분석하였다. 이하에서는 본론의 내용을 요약하면서 결론을 덧붙이고자 한다. 연구문제1에서 과학과 통합된 수업을 구성하기 위하여 과학 분야와 수학의 연결성을 경험할 수 있고 활동과정에서 과학적인 현상을 수학적 도구를 이용해서 설명하고, 반대로 과학 이론이 수학 문제 해결의 실마리를 제공할 수 있는 적절한 교수 · 학습 소재를 발굴하기 위하여 문헌탐구에 기초하여 ‘페르마 점(Fermat Point)'을 주제로 선정하였다. ’페르마 점‘의 성질을 탐구하기 위하여 표면장력을 이용한 ’비누막 실험‘과 역학적 에너지를 이용한 ’역학 실험‘의 2차시 수업으로 구성하였으며, 수업은 과학 실험을 통한 구체적 조작 단계, 발견한 수학적 아이디어나 성질을 정당화 하는 단계, 기하학적 해의 작도 방법이나 패턴의 일반화를 시도하는 반성적 사고 단계로 진행하였다. 연구문제2의 해결을 위해서 진주시에 소재한 한 과학고등학교 1학년 학생 3명을 대상으로 120분 단위의 활동 2차시를 실시하였으며 황혜정(2001)의 수학적 사고의 분류에서 귀납적 사고, 연역적 사고, 유추적 사고 그리고 비판적 사고의 측면에서 교수 · 학습 상황을 분석하였으며 그 결론은 다음과 같다. 첫째, 과학 실험을 통하여 수학적 성질이나 문제 해결의 아이디어를 얻기 위한 구체적 조작 단계에서 학생들은 귀납적 사고, 연역적 사고와 유추적 사고를 하였다. ‘비누막 실험’에서 학생들은 다양한 형태의 삼각형을 이용한 실험을 통하여 비누막들이 직사각형 모양으로 형성됨을 관찰하였다. 이는 표면적을 최소화하기 위한 비누막의 표면장력에 따른 것으로 직사각형의 넓이의 합이 최소가 되기 위해서는 세 꼭짓점으로부터 비누막의 교점까지의 거리의 합이 최소가 되어야 함을 이용하여 비누막의 교점이 페르마의 점이라는 결론에 도달하였다. 또한 다양한 삼각형을 관찰하여 귀납적으로 페르마 점에서 세 비누막이 이루는 각이 임을 추측하였다. 비누막 실험의 관찰을 통하여 페르마 점의 존재성을 확인하고 페르마 점의 위치를 추측하는 과정에서 학생들은 GSP를 이용한 작도와 측정을 활용하여 다양한 삼각형을 관찰하고 귀납적으로 추측을 제안하거나 산술기하평균을 이용하여 페르마 점의 위치를 내심, 외심, 무게중심임을 유추적으로 제안하였다. ‘역학 실험’에서 학생들은 실험의 관찰을 통하여 세 실의 매듭으로부터 세 꼭짓점(도드래)을 잇는 선분이 이루는 각이 임을 귀납적으로 추론하였고, 세 도드래는 위치에너지의 합이 최소가 되는 지점에서 힘의 평형을 이루기 때문에 세 실의 매듭에서 세 꼭짓점을 잇는 선분의 길이의 합이 최소가 됨을 이용하여 세 실의 매듭이 페르마의 점이 됨을 추론하였다. 둘째, 수학적 성질이나 아이디어를 정당화하는 단계에서 학생들은 연역적 사고를 하였다. ‘비누막 실험’에서는 페르마 점에서 세 꼭짓점을 잇는 선분이 이루는 각이 임을 보이기 위하여 도형의 회전, 합동을 이용하여 연역적으로 증명하였다. ‘역학 실험’에서 학생들은 관찰을 통하여 페르마 점의 존재성을 확인하고 물리 시간에 배운 힘의 평형이론을 바탕으로 세 힘이 평형을 이루기 위해서는 세 벡터의 합이 임을 이용하여 삼각형법과 평행사변형법으로 세 선분이 를 이룬다는 결론에 연역적으로 도달하였다. 셋째, 기하학적 해의 작도 방법이나 패턴의 일반화를 시도하는 반성적 사고 단계에서 학생들은 연역적 사고, 유추적 사고와 비판적 사고를 하였다. ‘비누막 실험’에서 학생들은 세 점을 이용한 실험을 바탕으로 네 점으로 확장한 ‘스타이너 트리’에서도 비누막들이 를 이룬다는 결과를 유추적으로 추론하고, 연역적인 방법으로 증명하였다. ‘역학 실험’에서 학생들은 세 개의 도드래를 이용한 실험의 결과를 바탕으로 유추적 사고를 통하여 네 개의 점으로 확장하고, 도르래에 추의 무게를 달리하는 실험을 통하여 각 점에 가중치를 부여하는 경우까지 일반화하였다. 페르마의 점을 작도하는 방법을 찾는 과정에서 학생들은 비누막 실험과 역학 실험을 통하여 발견된 수학적인 성질을 바탕으로 정삼각형과 원의 내접하는 사각형의 성질을 이용하여 연역적으로 방법을 이끌어내었다. 각 점에 가중치를 부여한 경우 유추적인 방법으로 각 점으로 부터 거리의 합이 최소인 점의 작도를 여러 차례 시도하였으나 실패하였다. 기하학적 해의 작도 방법이나 패턴의 일반화를 시도하는 과정에서 학생들은 다른 학생들이 제시한 추측을 비판적인 관점에서 접근하여 자신들이 기존에 알고 있는 지식 또는 GSP 등의 보조 매체를 통하여 반례를 제시하여 다른 방향으로 논의가 가능하도록 하였다. 이와 같이 실험을 통한 과학과 통합된 수업을 활용한 교수 · 학습 환경에서 학생들은 실험의 결과를 바탕으로 문제를 해결하기 위한 아이디어를 발견하고, 이를 수학적으로 정당화하고 일반화하는 과정을 통하여 획일적이고 표준화된 사고를 지향하는 기존의 교수 · 학습과는 달리 다양한 매체의 활용 및 구체물의 조작을 통해 학생들의 다양한 수학적 사고가 발현되었다. 결론적으로 본 연구를 통해서 과학과 통합된 수업을 활용한 교수 · 학습은 학생들이 과학적인 현상을 수학적 도구를 이용해서 설명하고, 반대로 과학 이론이 수학 문제 해결의 실마리를 제공하는 상황을 통해 과학 분야와 수학의 연결성을 경험하게 하고, 자연과학의 언어로써 수학의 유용성 및 수학의 가치를 느끼게 하였다. 그러한 과정에서 학생들에게 관찰, 추론, 일반화, 비판적 사고 등 다양한 수학적 사고가 발현되고, 수학적 사고력을 신장시킬 수 있다는 측면에서 교육적 가치가 있다는 점을 확인할 수 있었다. 그리고 본 연구에서 활용한 교수 · 학습 소재인 ‘페르마의 점’의 성질을 탐구하기 위해 ‘비누막 실험’과 ‘역학 실험’은 수학-과학적 배경지식이 풍부하여 고등학교 학생들을 대상으로 한 과학 통합형 수업의 소재로 충분한 가치가 있다고 판단된다. 따라서 본 연구에 제시된 교수 · 학습 상황의 예를 목적에 맞게 수정 및 보완하여 활용한다면 의미 있는 교수 · 학습 활동이 가능하리라 여겨진다.

‘페르마 점’을 활용한 수학 영재 교수·학습 자료 개발 및 적용

윤준호 한국교원대학교 대학원 2016 국내석사

본 연구는 페르마 점을 활용하여 수학 영재 교수·학습 자료를 개발하고 이를 실제 수업에 적용·분석하여 개발된 자료의 활용 가능성과 타당성을 검증하고 자료를 수정·보완하여 실제 영재 교육 현장에서 활용될 수 있도록 교수·학습 자료 개발의 방향을 제안하는 것이 이 연구의 주된 목적이다. 이러한 목적을 달성하기 위해 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 1. 페르마 점 문제를 활용하여 수학 영재 교수·학습 자료를 어떻게 구성할 것인가? 2. 페르마 점 문제를 활용한 수학 영재 교수·학습 자료의 적용 과정에서 나타난 영재 학생들의 수학적 사고과정은 어떠한가? 이와 같은 연구 문제를 해결하기 위해 먼저 문헌 연구를 통해 영재 교수·학습 이론 모형 및 방법, 영재 프로그램 유형에 대해 고찰하였다. 이를 바탕으로 교수·학습 자료를 개발하여 총 3회에 걸쳐 자료를 수정·보완하고, 3차 현장 적용 수업에서 학생들의 수학적 사고과정을 분석하였다. 1차 현장 적용은 S시 교육청 영재교육원 중학교 3학년 학생 9명을 대상으로 이루어 졌고, B시에 있는 M고등학교 영재학급 수학반 1학년 11명을 대상으로 2차 현장 적용을 하였다. 1, 2차 적용한 내용을 토대로 자료를 수정, 보완하여 B시 S교육청 소속 D중학교 영재학급 3학년 5명을 대상으로 3차 적용을 하였다. 개발된 교수·학습 자료로 수업을 하고 수업에서 나타난 결과를 바탕으로 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다. 첫째, 페르마 점을 활용한 영재 수업은 학생들에게 적합한 학습 자료이다. 페르마 점은 학생들에게 흥미와 호기심을 불러일으키는 소재이며 학생들에게 도전해 볼만한 문제로 생각되어졌다. 페르마 점의 도입을 실생활과 연관시켜 학생들에게 흥미로움을 주는 동시에 학생들은 그 내용이 유용하다라는 인식을 하였고, 내용을 너무 어렵지 않게 구성하여 학생들이 수업에서 뒤쳐지거나 낙오되는 상황이 없었다. 둘째, 학생들은 해결해야 하는 과제를 처음 접하였을 때 자신들이 가지고 있는 선행지식을 바탕으로 과제를 관찰, 분석, 추측 하였다. 행운의 안타가 나올 위치를 묻는 문제에서 학생들은 공과 가까운 수비수가 공을 잡을 것이라는 일반적인 생각을 가정 하에 과제를 분석하고 있다. 페르마 점의 위치를 추리하는 상황에서는 학습자들이 알고 있는 삼각형의 오심 중에 한 점을 추측하였고, 한 내각의 크기가 이상인 삼각형의 페르마 점을 찾는 과제에서는 이미 학습한 작도방법을 이용하면 페르마 점의 위치가 삼각형 외부에 생기는 사실을 관찰하였다. 나폴레옹의 정리에서 사각형 를 분석, 관찰 후 특정한 이름을 갖는 사각형이 아니므로 학생1은 이등변삼각형을 이용하여 사각형의 특징을 설명하였다. 셋째, 관찰을 기초로 그것을 확대시켜 어떤 결론에 이르는 과정에서 학생들은 연역적사고, 유추적 사고를 하였다. 두 점 사이에 같은 거리에 있는 위치에 공이 떨어질 때 행운의 안타가 될 가능성이 높음으로 삼각형의 세 수직이등분선의 교점, 즉 외심이 세 명의 수비수 사이에 행운의 안타가 될 확률이 높은 곳이라고 일반화 하였다. 또 네 점을 잇는 도로망을 디자인하는 상황에서 학생5는 삼각형에서 페르마 점이 유일하게 한 점 이라는 성질이 사각형에서도 그대로 성립할 것이라고 추측하여 도로망을 디자인 하였다. 넷째, 추측을 반박하는 과정에서 학생들은 비판적 사고를 하였다. 한 내각의 크기가 이상인 삼각형에서 페르마 점을 찾는 과정에서 학생1은 이전에 학습한 페르마 점의 작도 방법에 의해 생긴 점 가 페르마 점이 아니라고 주장하는 근거로, 점 보다 점 에서 삼각형의 각 꼭짓점에 이르는 거리가 더 짧다는 사실을 들고 있다. 이상의 연구를 바탕으로 다음과 같은 점을 제언하고자 한다. 첫째, 수학 영재를 위한 교수·학습 자료는 지속적으로 개발되어야 한다. 영재교육이 입시와 스펙 쌓기의 수단으로 전락되지 않고 의미 있는 교육 활동이 되기 위해서는 질적 성장이 필요하다. 영재교육이 단순한 선행학습이나 속진학습을 위한 곳이 아닌 의미 있는 교육이 되려면 영재를 위한 교수·학습 자료가 꾸준히 개발되어야 할 것이다. 둘째, 개발된 자료가 영재 학생들의 수학적 능력 신장에 얼마나 기여를 하였는지를 분석할 수 있는 평가 기준이 마련되어야 할 것이다. 본 연구에서는 개발된 자료가 영재 학생들의 인지적, 정의적 영역에서 얼마나 영향을 미쳤는지에 대한 평가는 이루어지지 않았다. 이에 대한 후속연구가 더욱 필요할 것이다. 셋째, 개발된 자료가 영재 학생들의 특성을 얼마나 잘 반영하였는지 또 학습 활동 과정에서 나타난 학생들의 수학적 사고 과정 외에 영재 학생들의 어떤 특성이 나타났는지에 대한 후속연구가 필요하다.

Lakatos의 증명과 반박의 원리를 활용한 교수·학습 상황에서 고등학교 1학년 학생들의 수학적 사고 : 요일 찾기, Fermat의 점, 사각형의 무게중심

하현철 한국교원대학교 대학원 2011 국내석사

본 연구의 목적은 문헌탐구에 기초하여 학생들의 다양한 시행착오가 예상되는 교수․학습 소재로서 ‘요일 찾기’, ‘Fermat의 점 찾기’ 그리고 ‘사각형의 무게중심 찾기’를 선정하여 Lakatos의 증명과 반박의 원리에 따른 교수․학습에 적용․관찰하여 황혜정(2001)의 수학적 사고의 분류에 따라 분석해봄으로써 실제 고등학교 수학교육 현장으로의 적용가능성을 모색해 보고자 하였다. 따라서 연구자는 본 연구의 목적을 위하여 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 1. Lakatos의 증명과 반박의 원리를 활용한 교수․학습 상황에서 학생들의 추측 개선은 어떠한가? 2. Lakatos의 증명과 반박의 원리를 활용한 교수․학습 상황에서 학생들의 수학적 사고는 어떠한가? 2-1. 귀납적 사고의 유형은 어떠한가? 2-2. 연역적 사고의 유형은 어떠한가? 2-3. 유추적 사고의 유형은 어떠한가? 2-4. 비판적 사고의 유형은 어떠한가? 이와 같은 연구문제를 해결하기 위하여 본 연구에서는 학생들의 원시적 추측과, 추측에 대한 반박 그리고 추측의 개선을 유도할 수 있는 적절한 교수․학습 소재를 발굴하기 위해서 문헌탐구에 기초하여 ‘요일 찾기’, ‘Fermat의 점 찾기’ 그리고 ‘사각형의 무게중심 찾기’의 3가지 문제를 선정하였다. 그리고 이와 같은 3가지 문제를 중심으로 고등학교 1학년 학생들을 대상으로 한 90분 단위의 3차시의 수업을 Lakatos의 증명과 반박의 원리에 따라 진행하였으며, 추측이 개선되는 각 단계별로 학생들의 수학적 사고의 유형이 어떠한지를 분석하였다. 연구대상은 청주시에 소재하고 있는 한 고등학교의 1학년 수학심화반 학생 4명을 선정하였으며, 동영상 촬영, GSP파일, 관찰노트 등 수집된 자료를 바탕으로 자료를 분석하였다. 본 연구를 통해 얻은 결론은 다음과 같다. 연구문제1을 해결하기 위해서 학생들의 원시적 추측과, 추측에 대한 반박 그리고 추측의 개선을 유도할 수 있는 적절한 교수․학습 소재를 발굴하기 위해서 문헌탐구에 기초하여 ‘요일 찾기’, ‘Fermat의 점 찾기’ 그리고 ‘사각형의 무게중심 찾기’의 3가지 문제를 선정하였다. 본 연구의 교수․학습 상황에 사용된 세 가지 문제를 실제 교수․학습에 적용했을 때 각 문제에 따른 최초의 원시적 추측이 제시되었고, 추측에 대한 반례가 등장하였으며, 반례를 분석하여 이전보다 개선되고 확장되며 세련되어진 추측의 개선이 이루어졌다. 문제1에서는 윤년을 고려하지 않은 원시적 추측이 최초로 등장하고 윤년을 고려하기 시작하면서 윤년의 등장횟수와 사이의 관계식을 찾는 과정에서 다양한 추측의 개선이 이루어졌고 그 과정에서 윤년의 정확한 정의를 파악하여 완성된 추측의 개선이 이루어졌다. 문제2에서는 산술기하평균에서 곱이 일정한 두 양수의 합이 최솟값이 되기 위해서는 두 양수가 같아야 한다는 조건을 이용하여 삼각형의 외심이 구하고자하는 점이라고 원시적 추측이 제시되었다. 그런데 삼각형의 외심은 한 외각의 크기가 둔각인 경우에는 세 꼭짓점에 이르는 거리가 지나치게 멀어지는 경우가 발생하여 항상 삼각형 내부에 존재하는 삼각형의 내심과 무게중심 순으로 추측의 개선이 이루어졌으나 그 추측에 대한 반례가 등장하여 GSP를 통해 구하고자하는 점을 추정하는 경험을 통해 구하고자 하는 점이 Fermat의 점이라는 완성된 추측의 개선이 이루어졌다. 문제3에서는 주어진 사각형의 무게중심은 대각선의 교점이라는 원시적 추측에서 출발하여 반례에 의해 삼각형의 경우에서와 같이 사각형의 중선의 개념을 정의하여 추측의 개선이 이루어졌고, 이 또한 반박되어 두 물체가 평형을 이루기 위한 물리학적인 개념을 도입하여 사각형의 무게중심은 대각선에 의해 분할된 삼각형의 무게중심을 연결한 두 선분의 교점이라는 완성된 추측의 개선이 이루어졌다. 이와 같이 Lakatos의 증명과 반박의 원리에 따른 교수․학습에서 ‘요일 찾기’, ‘Fermat의 점 찾기’ 그리고 ‘사각형의 무게중심 찾기’ 등의 소재는 완성된 형태의 수학적 지식을 학생들이 받아들이는 기존의 설명식 교수․학습 환경과는 달리 학생들로 하여금 다양한 추측을 제기하고 추측에 대한 반례를 찾으며 반례를 분석하여 이전보다 세련되고 확장된 추측의 개선을 하여 학생들이 직접 수학적 지식을 발견하고 그것을 정당화하며 수학적 지식에 대한 오류의 개선을 경험하는 것을 확인할 수 있었다. 연구문제2의 해결을 위해서 청주시에 소재한 한 고등학교 1학년 수학심화반 학생 4명을 대상으로 90분 단위의 활동 3차시를 실시하였고 황혜정(2001)의 수학적 사고의 분류에서 귀납적 사고, 연역적 사고, 유추적 사고 그리고 비판적 사고의 측면에서 교수․학습 상황을 분석하였으며 그 결론은 다음과 같다. Lakatos의 증명과 반박의 원리를 활용한 교수․학습 상황에서 각 문제를 해결하기 위해 추측을 제안하고, 그것을 증명하고, 추측에 대한 반례를 찾고, 추측을 개선하는 과정에서 학생들은 다양한 수학적 사고를 하였다. 첫째, 추측을 제안하기 위한 아이디어를 얻거나 추측을 개선하는 단계에서 학생들은 귀납적 사고와 유추적 사고를 하였다. 문제1에서는 추측을 제안하기 위해 필요한 식을 이끌어 내는 과정에서 구체적인 경우에서 규칙을 찾거나 표와 그래프를 그리는 활동을 통해 귀납적으로 식을 이끌어 내었다. 문제2에서는 학생들은 GSP의 작도와 측정 그리고 드래그의 기능을 활용하여 다양한 삼각형을 관찰하여 귀납적으로 추측을 제안하거나 산술기하평균의 조건을 통해 유추적으로 추측을 제안하였다. 문제3에서는 학생들은 사각형의 무게중심을 찾는 과정에서 직사각형, 마름모, 평행사변형 등과 같이 구체적인 사각형을 직접 만들어서 그것들의 무게중심을 관찰하는 과정을 통해 무게중심으로 추정되는 점을 귀납적으로 추론하였고, 삼각형의 경우를 통해 중선 개념을 도입하여 무게중심을 유추적으로 추론하였다. 둘째, 추측을 증명하는 단계에서 학생들은 연역적 사고를 하였다. 문제1에서는 추측을 증명하기 위해 기존에 참이라고 인정된 성질들을 이용하여 삼단논법을 이용하였고, 문제2에서는 Fermat의 점을 작도하는 방법을 찾는 과정에서 정삼각형과 원의 외접사각형의 성질을 이용하여 연역적으로 방법을 이끌어내었다. 문제3에서는 사각형의 무게중심을 찾기 위해 대각선을 이용하여 주어진 사각형을 두 개의 삼각형으로 분할할 수 있는 경우가 두 가지임을 파악하였고, 나누어진 삼각형의 무게중심을 연결한 두 선분의 교점이 존재함을 파악하여 사각형의 무게중심을 작도하는 방법은 연역적으로 이끌어내었다. 셋째, 추측을 반박하는 단계에서 학생들은 비판적 사고를 하였다. 문제1과 문제2 그리고 문제3에서 학생들은 다른 학생들이 제시한 추측을 비판적인 관점에서 접근하여 자신이 알고 있는 지식 또는 멀티미디어 매체(휴대폰의 달력, GSP), 직접 사각형을 만드는 활동 등을 통해 반례를 제시하였다. 이와 같이 Lakatos의 증명과 반박의 원리를 활용한 교수․학습 환경에서 학생들은 문제를 해결하기 위해 추측을 제안하고, 그것을 증명하고, 추측에 대한 반례를 찾고, 추측을 개선하였고, 그러한 일련의 과정에서 획일적이고 표준화된 사고를 지향하는 기존의 설명식 교수․학습과는 달리 교사의 적절한 발문과 멀티미디어 매체의 활용 그리고 구체물의 조작을 통해 학생들의 다양한 수학적 사고가 발현되었다. 결론적으로 본 연구를 통해서 Lakatos의 증명과 반박의 원리를 활용한 교수․학습은 학생들이 다양한 추측을 제기하고 추측에 대한 반례를 찾으며 반례를 분석하여 이전보다 세련되고 확장된 추측의 개선을 경험함으로써 수학적 지식이 발전하는 과정의 본질적 측면을 학생들이 체험할 수 있고 그러한 과정에서 다양한 수학적 사고가 발현된다는 측면에서 교육적 가치가 있다는 점을 재확인할 수 있었다. 그리고 본 연구에서 활용한 교수․학습 소재인 ‘요일 찾기’, ‘Fermat의 점 찾기’ 그리고 ‘사각형의 무게중심 찾기’는 고등학생을 대상으로한 Lakatos의 증명과 반박의 원리를 활용한 교수․학습의 소재로 충분한 가치가 있다고 판단된다. 따라서 본 연구에 제시된 교수․학습 상황의 예를 목적에 맞게 수정 및 보완하여 활용한다면 의미 있는 교수․학습 활동이 가능하리라 여겨진다.