Lakatos의 증명과 반박의 원리를 활용한 교수·학습 상황에서 고등학교 1학년 학생들의 수학적 사고 : 요일 찾기, Fermat의 점, 사각형의 무게중심 = A Study of High School Students' Mathematical Thinking on the Application of Lakatos' Proof and Refutation

국문 초록 (Abstract)

본 연구의 목적은 문헌탐구에 기초하여 학생들의 다양한 시행착오가 예상되는 교수․학습 소재로서 ‘요일 찾기’, ‘Fermat의 점 찾기’ 그리고 ‘사각형의 무게중심 찾기’를 선정하여 Lakatos의 증명과 반박의 원리에 따른 교수․학습에 적용․관찰하여 황혜정(2001)의 수학적 사고의 분류에 따라 분석해봄으로써 실제 고등학교 수학교육 현장으로의 적용가능성을 모색해 보고자 하였다.
따라서 연구자는 본 연구의 목적을 위하여 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다.

1. Lakatos의 증명과 반박의 원리를 활용한 교수․학습 상황에서 학생들의 추측 개선은 어떠한가?

2. Lakatos의 증명과 반박의 원리를 활용한 교수․학습 상황에서 학생들의 수학적 사고는 어떠한가?
2-1. 귀납적 사고의 유형은 어떠한가?
2-2. 연역적 사고의 유형은 어떠한가?
2-3. 유추적 사고의 유형은 어떠한가?
2-4. 비판적 사고의 유형은 어떠한가?

이와 같은 연구문제를 해결하기 위하여 본 연구에서는 학생들의 원시적 추측과, 추측에 대한 반박 그리고 추측의 개선을 유도할 수 있는 적절한 교수․학습 소재를 발굴하기 위해서 문헌탐구에 기초하여 ‘요일 찾기’, ‘Fermat의 점 찾기’ 그리고 ‘사각형의 무게중심 찾기’의 3가지 문제를 선정하였다. 그리고 이와 같은 3가지 문제를 중심으로 고등학교 1학년 학생들을 대상으로 한 90분 단위의 3차시의 수업을 Lakatos의 증명과 반박의 원리에 따라 진행하였으며, 추측이 개선되는 각 단계별로 학생들의 수학적 사고의 유형이 어떠한지를 분석하였다. 연구대상은 청주시에 소재하고 있는 한 고등학교의 1학년 수학심화반 학생 4명을 선정하였으며, 동영상 촬영, GSP파일, 관찰노트 등 수집된 자료를 바탕으로 자료를 분석하였다.

본 연구를 통해 얻은 결론은 다음과 같다.

연구문제1을 해결하기 위해서 학생들의 원시적 추측과, 추측에 대한 반박 그리고 추측의 개선을 유도할 수 있는 적절한 교수․학습 소재를 발굴하기 위해서 문헌탐구에 기초하여 ‘요일 찾기’, ‘Fermat의 점 찾기’ 그리고 ‘사각형의 무게중심 찾기’의 3가지 문제를 선정하였다.
본 연구의 교수․학습 상황에 사용된 세 가지 문제를 실제 교수․학습에 적용했을 때 각 문제에 따른 최초의 원시적 추측이 제시되었고, 추측에 대한 반례가 등장하였으며, 반례를 분석하여 이전보다 개선되고 확장되며 세련되어진 추측의 개선이 이루어졌다. 문제1에서는 윤년을 고려하지 않은 원시적 추측이 최초로 등장하고 윤년을 고려하기 시작하면서 윤년의 등장횟수와 사이의 관계식을 찾는 과정에서 다양한 추측의 개선이 이루어졌고 그 과정에서 윤년의 정확한 정의를 파악하여 완성된 추측의 개선이 이루어졌다. 문제2에서는 산술기하평균에서 곱이 일정한 두 양수의 합이 최솟값이 되기 위해서는 두 양수가 같아야 한다는 조건을 이용하여 삼각형의 외심이 구하고자하는 점이라고 원시적 추측이 제시되었다. 그런데 삼각형의 외심은 한 외각의 크기가 둔각인 경우에는 세 꼭짓점에 이르는 거리가 지나치게 멀어지는 경우가 발생하여 항상 삼각형 내부에 존재하는 삼각형의 내심과 무게중심 순으로 추측의 개선이 이루어졌으나 그 추측에 대한 반례가 등장하여 GSP를 통해 구하고자하는 점을 추정하는 경험을 통해 구하고자 하는 점이 Fermat의 점이라는 완성된 추측의 개선이 이루어졌다. 문제3에서는 주어진 사각형의 무게중심은 대각선의 교점이라는 원시적 추측에서 출발하여 반례에 의해 삼각형의 경우에서와 같이 사각형의 중선의 개념을 정의하여 추측의 개선이 이루어졌고, 이 또한 반박되어 두 물체가 평형을 이루기 위한 물리학적인 개념을 도입하여 사각형의 무게중심은 대각선에 의해 분할된 삼각형의 무게중심을 연결한 두 선분의 교점이라는 완성된 추측의 개선이 이루어졌다.
이와 같이 Lakatos의 증명과 반박의 원리에 따른 교수․학습에서 ‘요일 찾기’, ‘Fermat의 점 찾기’ 그리고 ‘사각형의 무게중심 찾기’ 등의 소재는 완성된 형태의 수학적 지식을 학생들이 받아들이는 기존의 설명식 교수․학습 환경과는 달리 학생들로 하여금 다양한 추측을 제기하고 추측에 대한 반례를 찾으며 반례를 분석하여 이전보다 세련되고 확장된 추측의 개선을 하여 학생들이 직접 수학적 지식을 발견하고 그것을 정당화하며 수학적 지식에 대한 오류의 개선을 경험하는 것을 확인할 수 있었다.

연구문제2의 해결을 위해서 청주시에 소재한 한 고등학교 1학년 수학심화반 학생 4명을 대상으로 90분 단위의 활동 3차시를 실시하였고 황혜정(2001)의 수학적 사고의 분류에서 귀납적 사고, 연역적 사고, 유추적 사고 그리고 비판적 사고의 측면에서 교수․학습 상황을 분석하였으며 그 결론은 다음과 같다.
Lakatos의 증명과 반박의 원리를 활용한 교수․학습 상황에서 각 문제를 해결하기 위해 추측을 제안하고, 그것을 증명하고, 추측에 대한 반례를 찾고, 추측을 개선하는 과정에서 학생들은 다양한 수학적 사고를 하였다.
첫째, 추측을 제안하기 위한 아이디어를 얻거나 추측을 개선하는 단계에서 학생들은 귀납적 사고와 유추적 사고를 하였다. 문제1에서는 추측을 제안하기 위해 필요한 식을 이끌어 내는 과정에서 구체적인 경우에서 규칙을 찾거나 표와 그래프를 그리는 활동을 통해 귀납적으로 식을 이끌어 내었다. 문제2에서는 학생들은 GSP의 작도와 측정 그리고 드래그의 기능을 활용하여 다양한 삼각형을 관찰하여 귀납적으로 추측을 제안하거나 산술기하평균의 조건을 통해 유추적으로 추측을 제안하였다. 문제3에서는 학생들은 사각형의 무게중심을 찾는 과정에서 직사각형, 마름모, 평행사변형 등과 같이 구체적인 사각형을 직접 만들어서 그것들의 무게중심을 관찰하는 과정을 통해 무게중심으로 추정되는 점을 귀납적으로 추론하였고, 삼각형의 경우를 통해 중선 개념을 도입하여 무게중심을 유추적으로 추론하였다.
둘째, 추측을 증명하는 단계에서 학생들은 연역적 사고를 하였다. 문제1에서는 추측을 증명하기 위해 기존에 참이라고 인정된 성질들을 이용하여 삼단논법을 이용하였고, 문제2에서는 Fermat의 점을 작도하는 방법을 찾는 과정에서 정삼각형과 원의 외접사각형의 성질을 이용하여 연역적으로 방법을 이끌어내었다. 문제3에서는 사각형의 무게중심을 찾기 위해 대각선을 이용하여 주어진 사각형을 두 개의 삼각형으로 분할할 수 있는 경우가 두 가지임을 파악하였고, 나누어진 삼각형의 무게중심을 연결한 두 선분의 교점이 존재함을 파악하여 사각형의 무게중심을 작도하는 방법은 연역적으로 이끌어내었다.
셋째, 추측을 반박하는 단계에서 학생들은 비판적 사고를 하였다. 문제1과 문제2 그리고 문제3에서 학생들은 다른 학생들이 제시한 추측을 비판적인 관점에서 접근하여 자신이 알고 있는 지식 또는 멀티미디어 매체(휴대폰의 달력, GSP), 직접 사각형을 만드는 활동 등을 통해 반례를 제시하였다.
이와 같이 Lakatos의 증명과 반박의 원리를 활용한 교수․학습 환경에서 학생들은 문제를 해결하기 위해 추측을 제안하고, 그것을 증명하고, 추측에 대한 반례를 찾고, 추측을 개선하였고, 그러한 일련의 과정에서 획일적이고 표준화된 사고를 지향하는 기존의 설명식 교수․학습과는 달리 교사의 적절한 발문과 멀티미디어 매체의 활용 그리고 구체물의 조작을 통해 학생들의 다양한 수학적 사고가 발현되었다.

결론적으로 본 연구를 통해서 Lakatos의 증명과 반박의 원리를 활용한 교수․학습은 학생들이 다양한 추측을 제기하고 추측에 대한 반례를 찾으며 반례를 분석하여 이전보다 세련되고 확장된 추측의 개선을 경험함으로써 수학적 지식이 발전하는 과정의 본질적 측면을 학생들이 체험할 수 있고 그러한 과정에서 다양한 수학적 사고가 발현된다는 측면에서 교육적 가치가 있다는 점을 재확인할 수 있었다. 그리고 본 연구에서 활용한 교수․학습 소재인 ‘요일 찾기’, ‘Fermat의 점 찾기’ 그리고 ‘사각형의 무게중심 찾기’는 고등학생을 대상으로한 Lakatos의 증명과 반박의 원리를 활용한 교수․학습의 소재로 충분한 가치가 있다고 판단된다. 따라서 본 연구에 제시된 교수․학습 상황의 예를 목적에 맞게 수정 및 보완하여 활용한다면 의미 있는 교수․학습 활동이 가능하리라 여겨진다.

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ. 서 론 1
• A. 연구의 필요성 및 목적 1
• B. 연구문제 3
• C. 용어의 정의 4
• D. 연구의 제한점 6
• E. 연구의 기대 효과 7
• Ⅱ. 이론적 배경 8
• A. Lakatos의 증명과 반박의 방법 8
• B. 수학적 사고 13
• Ⅲ. 연구 방법 및 절차 16
• A. 연구의 설계 16
• B. 연구 대상 16
• C. 교수학습 모형 17
• D. 교수학습 소재 발굴 18
• E. 자료 수집 23
• F. 자료 분석 24
• G. 연구 절차 24
• Ⅳ. 결과분석 및 논의 26
• A. 원시적 추측과 반례에 대한 추측의 개선 26
• B. 수학적 사고 46
• Ⅴ. 결론 및 제언 84
• 참고문헌 90
• ABSTRACT 92
• 부록 95
• 부록 A 학습지 95
• 부록 B Fermat의 점 (2번 문제 참고자료) 97
• 부록 C 평면도형판의 무게중심의 간학문적 도임 (3번 문제 참고자료) 99