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    ⅰ ⅱ ⅲ ⅳ ⅴ ⅵ ⅶ ⅷ ⅸ ⅹ Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Ⅹ
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    함수 개념 교육을 위한 인식론적 참조 모델에 관한 연구 = Epistemological Reference Models for the Teaching of the Concept of Function

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    다국어 초록 (Multilingual Abstract) kakao i 다국어 번역

    영어
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    The concept of function has become one of the fundamental ideas of modern mathematics. As such it has been used as a unifying factor in school mathematics and has received considerable attention in mathematics education research. However, the research that focused on teachers and prospective teachers’ content knowledge, pedagogical content knowledge, and curricular knowledge related to the concept of function illustrates a lack of understanding of the function concept and also limited understanding of the value of the function as a unifying idea in mathematics. A century ago, Felix Klein called this a “double discontinuity”: first one had to forget school mathematics upon beginning one’s university studies and later as a teacher one had to forget university mathematics and return to school mathematics.
    To eliminate this “double discontinuity”, this study suggested epistemological reference models for the teaching of the concept of function as following procedures.
    First, this study draws upon Yves Chevallard’s “the theory of didactic transposition” as a theoretical framework for analyzing the phenomena of transformation of function concept. The didactic transposition theory (Chevallard, 1985) and the didactical praxeological concept of ATD (the anthropological theory of the didactical) (Chevallard, 1994) aimed to describe and explain the phenomena of transformation of knowledge from its production up to its teaching, and to study the factors that make school mathematics different from research mathematics.
    After giving an account of it, particular phenomena which appear when applying this theory to the teaching of function concept are considered. In Chevallard’s sense, this study identified three different didactically reconstructed intended mathematics with regard to the concept of function: Klein’s period, New Math period, Standards period. In the period of Klein, meanings of functions are related to the reform efforts of restructuring school in the direction of giving more emphasis to geometrical aspects of meaning and to applications. Teaching the concept of function through teaching geometry was considered a fundamental idea that should integrate pure and applied aspects of mathematics and legitimize the introduction of calculus into the secondary curriculum. Another historical period for the function concept in mathematics education was the New Math reform where functions were reconstructed as examples of the general concept of mapping, or as a special subset of the Cartesian product of two sets. In this period, traditional aspects of meaning of function as ‘relations between magnitudes’ were devalued. In the period of NCTM Standards, the new didactically reconstructed intended mathematics with regard to the concept of function make connections to the humanistic and descriptive views of mathematics which represent constructivism. The complementarity of the concept of function is introduced: complementary aspects of the function which based on the dependent relation between variables and the Dirichlet-Bourbaki definition of a function.
    Hans Freudenthal (1983) considers arbitrariness and univalence to be the essential features of the concept of function as it has evolved in history. Arbitrariness is closely related to an analytical judgment whether an instance belongs to a concept family while univalence is a function specific characteristic. In other words, these two essential features are existence and uniqueness. Existence and uniqueness are the essence of the modern concept of function which creates opportunities and possibilities to handle mathematical objects by new operations (composing and inverting functions).
    In this dissertation, epistemological reference models for the teaching of the concept of function include composition of functions and the inverse function of a function, algebraic morphisms. The concept of function as an important unifying idea in mathematics generates new functions through composition and inverse. The study deals with logarithmic and exponential functions as epistemological reference models for the teaching of the concept of function. Also, the study deals with a function which links the two mathematical structures. The creative analogy often proceeds from the known to the unknown, preferably simpler ones, or ones with which one is already familiar. When we consider carrying the structure of the known set to the other set which is unknown, we are not interested in a general function, but rather a function which links the binary operations as well. Such a function is called a “algebraic morphism”. The study investigated the usual addition and multiplication, the addition and multiplication of matrix, the addition and multiplication of sets as epistemological reference models for the teaching of the concept of function.
    The study concludes with a discussion of the implications these findings hold for abolishing “double discontinuity” between school and university mathematics and further research.
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    The concept of function has become one of the fundamental ideas of modern mathematics. As such it has been used as a unifying factor in school mathematics and has received considerable attention in mathematics education research. However, the research...

    The concept of function has become one of the fundamental ideas of modern mathematics. As such it has been used as a unifying factor in school mathematics and has received considerable attention in mathematics education research. However, the research that focused on teachers and prospective teachers’ content knowledge, pedagogical content knowledge, and curricular knowledge related to the concept of function illustrates a lack of understanding of the function concept and also limited understanding of the value of the function as a unifying idea in mathematics. A century ago, Felix Klein called this a “double discontinuity”: first one had to forget school mathematics upon beginning one’s university studies and later as a teacher one had to forget university mathematics and return to school mathematics.
    To eliminate this “double discontinuity”, this study suggested epistemological reference models for the teaching of the concept of function as following procedures.
    First, this study draws upon Yves Chevallard’s “the theory of didactic transposition” as a theoretical framework for analyzing the phenomena of transformation of function concept. The didactic transposition theory (Chevallard, 1985) and the didactical praxeological concept of ATD (the anthropological theory of the didactical) (Chevallard, 1994) aimed to describe and explain the phenomena of transformation of knowledge from its production up to its teaching, and to study the factors that make school mathematics different from research mathematics.
    After giving an account of it, particular phenomena which appear when applying this theory to the teaching of function concept are considered. In Chevallard’s sense, this study identified three different didactically reconstructed intended mathematics with regard to the concept of function: Klein’s period, New Math period, Standards period. In the period of Klein, meanings of functions are related to the reform efforts of restructuring school in the direction of giving more emphasis to geometrical aspects of meaning and to applications. Teaching the concept of function through teaching geometry was considered a fundamental idea that should integrate pure and applied aspects of mathematics and legitimize the introduction of calculus into the secondary curriculum. Another historical period for the function concept in mathematics education was the New Math reform where functions were reconstructed as examples of the general concept of mapping, or as a special subset of the Cartesian product of two sets. In this period, traditional aspects of meaning of function as ‘relations between magnitudes’ were devalued. In the period of NCTM Standards, the new didactically reconstructed intended mathematics with regard to the concept of function make connections to the humanistic and descriptive views of mathematics which represent constructivism. The complementarity of the concept of function is introduced: complementary aspects of the function which based on the dependent relation between variables and the Dirichlet-Bourbaki definition of a function.
    Hans Freudenthal (1983) considers arbitrariness and univalence to be the essential features of the concept of function as it has evolved in history. Arbitrariness is closely related to an analytical judgment whether an instance belongs to a concept family while univalence is a function specific characteristic. In other words, these two essential features are existence and uniqueness. Existence and uniqueness are the essence of the modern concept of function which creates opportunities and possibilities to handle mathematical objects by new operations (composing and inverting functions).
    In this dissertation, epistemological reference models for the teaching of the concept of function include composition of functions and the inverse function of a function, algebraic morphisms. The concept of function as an important unifying idea in mathematics generates new functions through composition and inverse. The study deals with logarithmic and exponential functions as epistemological reference models for the teaching of the concept of function. Also, the study deals with a function which links the two mathematical structures. The creative analogy often proceeds from the known to the unknown, preferably simpler ones, or ones with which one is already familiar. When we consider carrying the structure of the known set to the other set which is unknown, we are not interested in a general function, but rather a function which links the binary operations as well. Such a function is called a “algebraic morphism”. The study investigated the usual addition and multiplication, the addition and multiplication of matrix, the addition and multiplication of sets as epistemological reference models for the teaching of the concept of function.
    The study concludes with a discussion of the implications these findings hold for abolishing “double discontinuity” between school and university mathematics and further research.

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    국문 초록 (Abstract) kakao i 다국어 번역

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    함수 개념 교육의 정당성은 수학에서 매우 중요한 통합적 아이디어라는 데에 있다. 본 연구에서는 ‘수학교수학’의 입장에서 이러한 ‘통합적’ ‘조직적’ 아이디어로서의 함수 개념을 연구 대상으로 하여, 통합과 조직 개념으로서의 함수 개념 교육에 기여할 인식론적 모델을 제시하는 것을 연구 과제로 설정하였다.
    이러한 연구 과제의 해결을 위해, 먼저 가르쳐질 지식으로서 함수 개념에 대한 논의를 위한 프레임워크로서 교수학적 변환 이론을 개관하고(제2장), 교수학적 변환 이론의 관점에서 함수 개념의 교육에 대한 역사적 흐름을 고찰하였다(제3장). 이어서 교수학적 변환의 과정에서 함수 개념의 본질로서 다루어야 할 함수의 특성을 밝히고(제4장), 이러한 본질을 함수 개념의 교수학적 변환의 과정에서 참조할 참조 모델로 제시하는(제5장) 방법으로 연구 과제에 답하였다.
    또한 이와 같은 과제 해결 방안은 다음과 같이 구체화되었다. 먼저 제2장에서는 본 연구가 의존하는 인식론적 모델로서 교수학적 변환 이론을 개관하고, 교수학적 변환에 의해 무엇이 변화하고 있는지, 무엇이 보존되어 있는지를 보다 명확하게 보여 주며, 이러한 교수학적 변환을 산출해 낼 수 있도록 하는 제약과 조건을 밝혀 줄 프레임워크를 분명히 하였다. 제3장에서는 2장에서의 고찰을 바탕으로, 학교수학에서의 함수 개념 교육의 역사적 변천을 교수학적 변환의 맥락에서 분석하고, 가르쳐질 지식으로서의 함수 개념이 지적 집합체 고유의 요구나 제약에 따른 교수학적으로 재구성된 의도된 수학이라는 것을 논했다. 제4장에서는 3장에서의 고찰을 바탕으로, 함수 개념의 교수학적 변환에서 본질적 요소로 고려해야만 할 함수 개념의 핵심에 관한 인식론적 고찰을 행하였다. 결과, 함수 개념은 수학적 대상의 존재성과 유일성을 보장하는 수학적 표현 구성의 도구로서 기능한다는 것이었다. 제5장에서는 2, 3, 4장의 종합의 결과로서 함수 개념의 지도-학습을 위한 교수학적 변환의 참조 모델로서 역함수와 합성함수, 대수학에서의 준동형 사상을 들었다. 이는 가르쳐질 지식으로서 함수 개념이 지닌 구체적 표현인 현대적 정의가 학문적 수학에서는 어떻게 기능하고 있는지에 대한 참조 모델이다.
    본 연구는 함수 개념의 학습과 지도의 과정에서 존재하는 교사의 이중 단절을 연결로 이어 주는 의미로서의 연구 의의를 지닌다고 하겠다. 단, 수학교수학의 관점에서 이러한 참조 모델의 제안을 대수학적인 측면에서 논의하는 데 그쳤으나, 좀 더 풍부한 참조 모델을 제시하는 것은 앞으로의 과제로 남아 있는 부분이다.
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    함수 개념 교육의 정당성은 수학에서 매우 중요한 통합적 아이디어라는 데에 있다. 본 연구에서는 ‘수학교수학’의 입장에서 이러한 ‘통합적’ ‘조직적’ 아이디어로서의 함수 개념을 ...

    함수 개념 교육의 정당성은 수학에서 매우 중요한 통합적 아이디어라는 데에 있다. 본 연구에서는 ‘수학교수학’의 입장에서 이러한 ‘통합적’ ‘조직적’ 아이디어로서의 함수 개념을 연구 대상으로 하여, 통합과 조직 개념으로서의 함수 개념 교육에 기여할 인식론적 모델을 제시하는 것을 연구 과제로 설정하였다.
    이러한 연구 과제의 해결을 위해, 먼저 가르쳐질 지식으로서 함수 개념에 대한 논의를 위한 프레임워크로서 교수학적 변환 이론을 개관하고(제2장), 교수학적 변환 이론의 관점에서 함수 개념의 교육에 대한 역사적 흐름을 고찰하였다(제3장). 이어서 교수학적 변환의 과정에서 함수 개념의 본질로서 다루어야 할 함수의 특성을 밝히고(제4장), 이러한 본질을 함수 개념의 교수학적 변환의 과정에서 참조할 참조 모델로 제시하는(제5장) 방법으로 연구 과제에 답하였다.
    또한 이와 같은 과제 해결 방안은 다음과 같이 구체화되었다. 먼저 제2장에서는 본 연구가 의존하는 인식론적 모델로서 교수학적 변환 이론을 개관하고, 교수학적 변환에 의해 무엇이 변화하고 있는지, 무엇이 보존되어 있는지를 보다 명확하게 보여 주며, 이러한 교수학적 변환을 산출해 낼 수 있도록 하는 제약과 조건을 밝혀 줄 프레임워크를 분명히 하였다. 제3장에서는 2장에서의 고찰을 바탕으로, 학교수학에서의 함수 개념 교육의 역사적 변천을 교수학적 변환의 맥락에서 분석하고, 가르쳐질 지식으로서의 함수 개념이 지적 집합체 고유의 요구나 제약에 따른 교수학적으로 재구성된 의도된 수학이라는 것을 논했다. 제4장에서는 3장에서의 고찰을 바탕으로, 함수 개념의 교수학적 변환에서 본질적 요소로 고려해야만 할 함수 개념의 핵심에 관한 인식론적 고찰을 행하였다. 결과, 함수 개념은 수학적 대상의 존재성과 유일성을 보장하는 수학적 표현 구성의 도구로서 기능한다는 것이었다. 제5장에서는 2, 3, 4장의 종합의 결과로서 함수 개념의 지도-학습을 위한 교수학적 변환의 참조 모델로서 역함수와 합성함수, 대수학에서의 준동형 사상을 들었다. 이는 가르쳐질 지식으로서 함수 개념이 지닌 구체적 표현인 현대적 정의가 학문적 수학에서는 어떻게 기능하고 있는지에 대한 참조 모델이다.
    본 연구는 함수 개념의 학습과 지도의 과정에서 존재하는 교사의 이중 단절을 연결로 이어 주는 의미로서의 연구 의의를 지닌다고 하겠다. 단, 수학교수학의 관점에서 이러한 참조 모델의 제안을 대수학적인 측면에서 논의하는 데 그쳤으나, 좀 더 풍부한 참조 모델을 제시하는 것은 앞으로의 과제로 남아 있는 부분이다.

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    목차 (Table of Contents)

    • 제1장 서론 1
    • 제2장 교수학적 변환 이론 6
    • 2. 1 교수학적 상황 이론 6
    • 2. 1. 1 학습의 전제 7
    • 2. 1. 2 지도의 전제 8
    • 제1장 서론 1
    • 제2장 교수학적 변환 이론 6
    • 2. 1 교수학적 상황 이론 6
    • 2. 1. 1 학습의 전제 7
    • 2. 1. 2 지도의 전제 8
    • 2. 1. 3 교수학적 계약 8
    • 2. 1. 4 여러 가지 상황과 수학 지식 10
    • 2. 1. 5 교수학적 상황 이론을 적용한 간단한 예시 11
    • 2. 2 교수학적 변환 이론 14
    • 2. 2. 1 교수학적 변환의 전제 15
    • 2. 2. 2 교수학적 변환의 연구 방법 16
    • 2. 2. 3 다양한 지적 집합체(institutions)와 지식의 변환 18
    • 2. 2. 4 교수학적 변환의 과정 19
    • 2. 3 교수학의 인류학적 이론 22
    • 2. 3. 1 수학교수학으로의 인류학적 접근 23
    • 2. 3. 2 프랙시오로지 25
    • 제3장 학교수학에서의 함수 교육 30
    • 3. 1 제1기: Klein의 시대 32
    • 3. 1. 1 교육과정에서 바라보는 Klein의 함수적 사고 32
    • 3. 1. 2 교과서에서 바라보는 Klein의 함수적 사고 37
    • 3. 2 제2기: 새 수학(New Math) 운동의 시대 41
    • 3. 3 제3기: Standards의 시대 46
    • 3. 4 우리나라의 함수 개념 지도의 역사적 변천 50
    • 제4장 함수 개념과 존재성, 유일성 56
    • 4. 1 존재성(Existence)과 유일성(Uniqueness) 56
    • 4. 2 함수에서의 존재성(Existence)과 유일성(Uniqueness) 63
    • 4. 2. 1 함수의 정의 64
    • 4. 2. 2 임의성(arbitrariness)과 일가성(univalence) 67
    • 4. 2. 2. 1 함수의 임의성 67
    • 4. 2. 2. 2 함수의 일가성 69
    • 4. 3 함수 개념 그리고 존재성(Existence)과 유일성(Uniqueness) 71
    • 제5장 함수 개념의 교수학적 변환을 위한 참조 모델 78
    • 5. 1 합성함수와 역함수 78
    • 5. 1. 1 합성함수 81
    • 5. 1. 2 역함수 83
    • 5. 1. 3 지수함수와 로그함수 86
    • 5. 2 대수적 준동형사상(algebraic morphisms) 91
    • 5. 2. 1 상용 덧셈(the usual addition)과 상용 곱셈(the usual multiplication) 93
    • 5. 2. 2 행렬의 덧셈과 곱셈 96
    • 5. 2. 3 집합의 덧셈과 곱셈 102
    • 제6장 결론 111
    • 참고문헌 114
    • ABSTRACT 129
    • 감사의 글 132
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    참고문헌 (Reference)

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    2. 日本???育史, 中谷太?, , 2010

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