도형과 관련된 문제해결과정에서 초등학생의 오류 유형과 원인 분석 연구 = (An) Analysis on errors of elementary school students in geometric problem solving process

국문 초록 (Abstract)

본 연구의 목적은 도형과 관련된 문제 해결과정에서 초등학교 학생들이 나타내는 오류 유형을 조사하고, 그 원인을 분석하여 교수학적 시사점을 제시하는데 있다.
이에 다음과 같은 연구문제를 설정하였다.
‘도형과 관련된 문제해결과정에서 초등학생들이 나타내는 오류에는 어떤 유형이 있으며, 그 원인은 무엇인가?’
본 연구를 수행하기 위하여 연구 대상자는 전라북도 남원시에 소재하는 초등학교 5～6학년 학생 230명을 대상으로 실시하였고, 검사지는 도형 문제해결과정에서의 오류를 검사하기 위하여 초등학교 5, 6학년 학생이 풀 수 있는 수준의 난이도로 교과서의 문제 수준을 고려하여 만들었다. 검사지는 문항의 내용에 따른 특성을 고려하여 학생들의 문제해결과정에서의 오류를 알아볼 수 있는 검사지A와, 오류 과정에서의 학생들의 기본적인 개념과 정의에 대한 이해도를 연결지어 원인을 분석하기 위한 자료로서 검사지B를 제작하였다. 그리고, 오류에 관한 원인 분석 자료로 빈힐레 수준 검사지C를 추가하였다. 도형과 관련된 문제해결과정에서 학생들이 제시한 문제 풀이 과정을 통하여 도형과 측정 영역에 대한 오류 유형과 원인을 분석하였다.
오류 유형 분석으로 그 특징을 살펴보았으며, 오류의 유형별로 원인을 살펴보았다. 구체적인 오류의 원인에 대하여 분석하였고 그 원인을 수학 교수학습 이론과 교수학적 요인-교과서의 영향-으로 살펴보았다. 또한, 이와 같은 원인 분석을 토대로 교육과정의 논의 및 교수학적 시사점을 제시하였다.
본 연구로부터 다음과 같은 결과를 얻을 수 있었다.
첫째, 오류의 유형은 7가지 범주(부정확한 개념과 정의에 의한 오류, 시각적 자료를 부적절하게 사용하는 오류, 논리적으로 부적절한 추론으로 인한 오류, 문제 자료를 불충분하다고 여기는 오류, 문제 자료를 곡해하는 오류, 기술적인 오류, 문제해결을 기피하는 오류)로 분류될 수 있었다.
둘째, 본 연구자가 실시한 검사지에 따르면, 학생들이 도형 영역에 대한 문제해결과정에서 가장 많이 보이는 오류는 부정확한 개념과 정의에 의한 오류이며, 시각적 자료를 부적절하게 사용하는 오류, 문제 자료를 곡해하는 오류, 기술적인 오류 순이었다. 성취도가 높은 수준의 학생들은 주로 기술적인 오류, 잘못된 개념이미지에 의한 부적절한 개념과 정의로 인한 오류나, 시각적 추측으로 인한 시각적 자료를 부적절하게 사용하는 오류가 많았다. 그에 비해 성취도가 낮은 수준의 학생들은 부정확한 개념과 정의에 의한 오류로서 기본적인 개념과 정의의 부족으로 인한 오류가 상대적으로 매우 많았으며, 시각적 자료의 추측과 문제 자료를 곡해하는 오류, 접하지 않은 도형에 대해 포기하는 오류 등이 많았다.
셋째, 도형 영역의 문제해결과정에서 학생들이 나타내는 오류의 원인을 찾아본 결과, 학생들의 사고수준이 매우 낮았으며 이에 따른 도형의 개념 형성 및 성질 파악의 부족으로 문제해결과정에서 오류를 보였다. 또한, 학생들은 그들이 가지고 있는 잘못된 개념이미지로 인하여 도형에 관한 문제를 해결할 때 오류를 보였으며, 이는 교수학적인 요인으로도 설명될 수 있었다. 특히, 교과서 분석을 통하여 살펴본 결과, 교과서에서 제시된 대부분의 도형 이미지가 일반적인 형태로 제한되어 제시되어 있었으며, 도형과 관련된 측정영역에서는 그 비율이 매우 높았다. 심지어는 도형 개념을 정의한 부분에서조차도 교사와 학생들 모두에게 잘못된 개념이미지를 부추기는 내용으로 제시되고 있었다.
넷째, 이를 통하여 몇 가지 시사점을 논의하면 다음과 같다. 교과서가 잘못된 개념이미지를 줄이고 학생들의 다양하고 실제적인 활동을 위한 방향으로 대대적인 검토가 이루어져야 한다. 이를 바탕으로 교수-학습 활동이 다양한 구체물을 접하게 하며, 실제적인 측정 활동 및 탐구 활동으로 이루어 져야 한다. 또한, 개념과 원리를 탐구할 수 있는 다양한 교구의 활용 및 컴퓨터 프로그램의 활용 등으로 도형과 관련된 문제해결활동에 자신감을 심어주어야 한다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

The main purpose of this study is to investigate and analyze several types of errors in geometric problem solving and the reasons of those errors made by students of elementary school.
To achieve the aims of this research, the research questions are set up as followings:
What types of errors do the elementary students show in geometric problem solving processes and what is the reasons of those errors?
For performing this research, 230 students of fifth-sixth elementary schools in Nam-won were selected as subjects. The tests to find students' errors was designed by considering the degree of textbooks used in the elementary school,
Three tests was made and used. Test A is made and used to find and analyze errors in geometric problem-solving processes. Test B is made and used to analyze the reason of those errors by student's understanding level about basic concept and definitions in geometry and measurement. In addition, test C - modified van Hiele Level Test- is used.
After the students were tested by these tests, the types and reasons of errors were analyzed in detail on their answer sheets.
The results obtained by this research are as follows:
First, error models fall into seven types- errors from deficient mastery of prerequisite concepts and definitions, errors from mistakes in using visual material, errors by logically invalid inferences, errors of regarding given materials as insufficient ones, errors from the fallacy of not using given materials, technical errors, errors of avoiding solving the problem.
Second, the rates of fallacies that happened in the process of geometric problem solving are shown as follows; the most errors occurred in geometric problem solving are errors from deficient mastery of prerequisite concepts and definitions, errors from mistakes in using visual material, errors of regarding given materials as insufficient ones and technical errors. Many students in low level gave up to solve the geometric problems. because, it's very strange for them. Other case is technical errors, or they don't have enough knowledge.
Third, there are many reasons for those errors in geometric problem-solving process. Many students have few knowledge to solve it. In geometry study, sometimes, students have their own concept images about geometric concepts and those concept images make students commit some errors. And, those errors can be explained by analysis of our mathematics textbooks. In the textbooks, most of geometric figures are arranged in standard positions, and peculiar shapes. So, the textbooks are responsible for the students' concept images.

목차 (Table of Contents)

• 목차 = ⅰ
• 논문초록 = ⅵ
• Ⅰ. 서론 = 1
• 1. 연구의 필요성 및 목적 = 1
• 2. 연구 문제 = 3
• 3. 논문의 구성 = 5
• Ⅱ. 이론적 배경 = 7
• 1. 개념과 개념 이미지 = 7
• 2. 도형 개념 형성과 수준 이론 = 17
• 3. 개념적 지식과 절차적 지식 = 26
• 4. 수학적 오류 = 30
• Ⅲ. 도형과 관련된 문제해결에서 오류 유형 분석 = 40
• 1. 연구 방법 및 절차 = 40
• 가. 연구 대상 = 40
• 나. 검사도구 = 40
• 다. 연구 방법 및 절차 = 44
• 라. 자료 분석 방법 = 45
• 마. 오류 모델의 설정 = 46
• 바. 연구의 제한점 = 48
• 2. 조사 결과 및 오류 유형 분석 = 50
• 가. 오류 유형별 예시 및 특징 분석 = 50
• 나. 오류 경향 분석 = 68
• Ⅳ. 오류의 원인 분석 및 교수학적 시사점 논의 = 76
• 1. 오류의 원인 분석 = 76
• 가. 오류 유형별 원인 분석 = 76
• 나. 수학 교수학습이론에 따른 원인 분석 = 80
• 다. 교수학적 요인 -교과서 분석 = 95
• 2. 기하 교수학습 개선을 위한 교수학적 시사점 및 논의 = 107
• 가. 교육과정 및 교과서 분석을 통한 논의 = 107
• 나. 사고 수준 향상을 위한 활동 논의 = 110
• 다. 잘못된 개념이미지 교정을 위한 활동 논의 = 112
• 라. 오류 교정과 관련된 교수학습 활동에 관한 시사점 = 114
• Ⅴ. 결론 및 제언 = 122
• 1. 요약 및 결론 = 122
• 2. 제언 = 126
• 참고문헌 = 128
• 부록 = 131
• 검사지A = 132
• 검사지B = 136
• 검사지C = 139
• ABSTRACT = 142