Testing the Existence of a Discontinuity Point in the Variance Function

Huh, Jib 한국데이터정보과학회 2006 한국데이터정보과학회지 Vol.17 No.3

분산함수는 회귀함수와 더불어 회귀모형의 연구에 매우 중요한 함수이며 이 함수가 불연속일 때의 연구는 Delgado and Hidalgo (2000)와 Perron (2001)은 시계열모형에서는 비모수적 추정법에 의해 분산함수의 추정을 연구하였으며 Kang and Huh (2006)은 Perron의 추정법을 회귀모형에 적용하여 분산함수의 불연속점의 추정에 대하여 연구하였고, Huh (2005)는 Kang and Huh의 잔차제곱들을 이용한 분산함수의 불연속점의 추정 대신 이차적률함수를 이용하여 분산함수의 불연속점을 추정하였다. 이는 Kang and Huh의 연구에서 잔차제곱들을 구하기 위하여 회귀함수의 추정이 우선되어야 하기에 전체적인 계산량이 늘어나게 되고, 늘어난 만큼 불연속점 추정의 정도가 떨어지게 됨으로 반응변수의 표본의 제곱을 이용하여 이차적률함수의 추정으로 불연속점을 추정하는 것이 더 용이하기 때문이다. 이러한 연구를 바탕으로 본 연구에서는 Huh의 점프의 크기 추정량의 점근분포를 이용하여 불연속점의 존재 유무에 대한 가설검정법을 제안하였다. 즉, 점프의 크기 추정량의 귀무가설 하의 점근분포가 가지고 있는 장애모수인 불연속점의 위치에서 확률밀도함수와 4차적률함수를 비모수적 방법으로 추정하는 방법을 제안하고 이들의 균일 일치성을 보여 가설검정법을 제안하였다. 불연속점의 추정에 앞서 불연속점의 존재 여부의 가설검정이 우선되어야 하기에 다른 통계적 함수에 대한 불연속점의 연구에서도 이러한 본 논문에서 연구한 방법으로 불연속점의 존재 유무에 대한 가설검정법을 제안 할 수 있을 것이다. When the regression function is discontinuous at a point, the variance function is usually discontinuous at the point. In this case, we had better propose a test for the existence of a discontinuity point with the regression function rather than the variance function. In this paper we consider that the variance function only has a discontinuity point. We propose a nonparametric test for the existence of a discontinuity point with the second moment function since the variance function and the second moment function have the same location and jump size of the discontinuity point. The proposed method is based on the asymptotic distribution of the estimated jump size.

Nonparametric Detection of a Discontinuity Point in the Variance Function with the Second Moment Function

Huh, Jib 한국데이터정보과학회 2005 한국데이터정보과학회지 Vol.16 No.3

지금까지 회귀모형에서 불연속점의 추정은 주로 평균함수에 대해 연구되어져 왔다. 분산함수는 평균함수와 더불어 회귀모형의 연구에 매우 중요한 함수이며 이 함수가 불연속일 때의 연구는 활발히 이루어지지 않았다. Delgado와 Hidalgo (2000)와 Perron(2001)은 시계열모형에서는 비모수적 추정법에 의해 분산함수의 추정을 연구하였다. Huh와 Kang (2004)은 Perron의 추정법을 회귀모형에 적용하여 분산함수의 불연속점의 추정에 대하여 연구하였고, Perron의 추정량보다 수렴속도가 개선된 불연속점 추정량을 제안하였다 이러한 분산함수의 추정들은 잔차의 제곱을 이용한 것으로 평균함수의 추정이 필수적이다. 결국, 전체적인 계산량이 늘어나게 되고, 늘어난 만큼 불연속점 추정의 정도가 벌어지게 될 것이다. 만약, 평균함수가 연속이고 분산함수만 불연속이라면 굳이 잔차를 이용하여 분산함수의 불연속점을 추정할 필요 없다. 분산함수만 불연속점을 가지므로 이차적률함수의 불연속점이 곧 분산함수의 불연속점이므로 이차함수의 불연속점을 추정하는 것으로 충분하다. 평균함수와 분산함수 모두 불연속이라면 불연속점의 위치가 같으므로 평균함수의 불연속점의 위치를 추정하면 분산함수의 불연속점의 위치를 추정하게 되는 것이다. 따라서 이 논문에서는 이차적률함수의 불연속점을 추정하는 방법을 제안하였고 이 제안된 추정량들의 수렴속도가 잔차를 이용한 Huh와 Kang의 분산함수의 불연속점 추정량의 수렴속도와 같음을 보였고, 모의실험 결과에서는 우수함을 보여주었다. In this paper we consider detection of a discontinuity point in the variance function. When the mean function is discontinuous at a point, the variance function is usually discontinuous at the point. In this case, we had better estimate the location of the discontinuity point with the mean function rather than the variance function. On the other hand, the variance function only has a discontinuity point. The target function in order to estimate the location can be used the second moment function since the variance function and the second moment function have the same location and jump size of the discontinuity point. We propose a nonparametric detection method of the discontinuity point with the second moment function. We give the asymptotic results of these estimators. Computer simulation demonstrates the improved performance of the method over the existing ones.

가능도함수를 이용한 로그분산함수의 불연속점 검정

허집,Huh, Jib 한국데이터정보과학회 2009 한국데이터정보과학회지 Vol.20 No.1

회귀모형의 분산함수가 알려져 있지 않은 한 점에서 불연속이라 가정하자. Yu와 Jones (2004)는 음이 아닌 값을 취하는 분산함수를 실수 값을 취하도록 하기 위하여 로그 변환하였고, 변환된 로그분산함수를 국소다항적합으로 추정하였다. 로그분산함수의 국소다항적합을 이용하여, Huh (2008)는 분산함수의 불연속점의 추정하는 대신 로그분산함수의 불연속점을 추정하였다. 본 연구는 Huh의 점프의 크기 추정량의 점근분포를 이용하여 로그분산함수의 불연속점의 존재여부에 대한 가설검정을 제안하고, 제안한 방법에 대한 모의실험 결과를 제시하고자 한다. Let us consider that the variance function in regression model has a discontinuity/change point at unknown location. Yu and Jones (2004) proposed the local polynomial fit to estimate the log-variance function which break the positivity of the variance. Using the local polynomial fit, Huh (2008) estimate the discontinuity point of the log-variance function. We propose a test for the existence of a discontinuity point in the log-variance function with the estimated jump size in Huh (2008). The proposed method is based on the asymptotic distribution of the estimated jump size. Numerical works demonstrate the performance of the method.

불연속 확률밀도함수의 커널 추정

허집(Jib Huh) 한국데이터정보과학회 2022 한국데이터정보과학회지 Vol.33 No.1

본 연구에서는 불연속점을 가지는 확률밀도함수의 커널추정량을 제안한다. 불연속점의 위치 추정량과 불연속점에서의 점프크기 추정량은 한쪽방향커널함수를 이용하여 Huh (2002)에 의해 제안되었다. 한편, Huh (2012a, 2012b)는 확률밀도함수의 불연속점의 위치와 점프크기의 커널추정량에서 사용되는 평활 모수인 띠폭의 선택 방법들을 교차타당성을 이용하여 제시하였다. 불연속점에서의 커널 추정량이 가지는 추정의 문제점은 경계점의 커널추정량이 가지는 추정의 문제점과 유사하다. 확률밀도함수의 경계점 문제를 극복하기 위하여 Schuster (1985)는 표본의 대칭화를 활용하였으며, Cline과 Hart (1991)는 Schuster (1985)의 방법으로 불연속점에서 일어나는 추정량의 편의에 대한 문제를 보완할 수 있는 커널추정량을 제안하였다. 본 연구에서는 불연속점에서 표본을 두 부분으로 분리하여 각 분리된 표본으로 경계점에서 사용되고 있는 커널함수를 이용하여 불연속점에서의 확률밀도함수를 추정하고자 한다. 제안한 확률밀도함수의 커널추정량들과 Cline과 Hart (1991)의 불연속 확률밀도 함수의 커널추정량를 모의 실험을 통하여 비교연구하고자 한다. In this paper, we propose a kernel type estimator of a probability density function with a discontinuity point. The kernel estimators of the location of the discontinuity point and its jump size were proposed by Huh (2002) using a one-sided kernel function. Based on the cross-validation, Huh (2012a, 2012b) proposed methods for bandwidth selection, which is a smoothing parameter used in the kernel estimators of the location of the discontinuity point and its jump size. The estimation problem of the kernel estimator at the discontinuity point is similar to that of the kernel estimator at the boundary point. In order to overcome the boundary problem, Schuster (1985) used the symmetrized sample. Cline and Hart (1991) used Schuster (1985)’s method to modify the bias of the kernel estimator of the density at discontinuity point. Using a boundary kernel function, the estimated density based on the data sets divided by the location of the discontinuity point is proposed. By simulation studies, the finite sample performance of the proposed kernel density estimator with the one of Cline and Hart (1991) are compared.

LIDAR 자료의 분산함수의 불연속점 수의 추정

허집(Jib Huh) 한국데이터정보과학회 2021 한국데이터정보과학회지 Vol.32 No.1

Ruppert 등 (1997)이 연구한 LIDAR 자료의 회귀함수의 비모수적 추정에 의한 잔차들은 분산함수가 불연속점을 한두 개 가지고 있음을 추측하게 한다. Kang과 Huh (2006)는 분산함수의 불연속점의 위치와 점프크기의 비모수적 추론을 잔차들의 Nadar-aya-Watson 추정량으로 연구하였다. 한편, Huh (2016) 등은 국소다항추정량의 장점을 이용하기 위하여 분산함수의 로그변환이나 잔차의 로그변환을 통하여 분산함수 대신 로그분산함수의 불연속점의 위치와 점프크기의 비모수적 추론을 제시하였다. 그들의 연구에서 점프크기추정량의 점근분포를 이용하여 불연속점이 있는지 없는지에 대한 검정법들이 제시되었다. 이러한 방법을 바탕으로 분산함수 혹은 로그분산함수의 불연속점의 수를 추정하는 알고리듬을 소개하고, 모의실험과 함께 LIDAR 자료에서 분산함수의 불연속점의 수를 추정해 보고자 한다. We can guess that there exist one or two discontinuity points in the variance function of LIDAR data in Ruppert et al. (1997). Kang and Huh (2006) proposed the Nadaraya-Watson estimators for the location and corresponding jump size of the variance function in regression model. To use some merits of the local polynomial estimator, Huh (2016) estimated the location and jump size of discontinuity point of log-variance function based on likelihood function. They suggested the testing for the existence of a discontinuity point with the asymptotic distribution of the estimator of the jump size. In this paper, algorithms of detection of the number of discontinuity points in the variance and log-variance function are introduced and illustrated by simulated example and LIDAR data.

점프크기추정량에 의한 수정된 로그잔차를 이용한 불연속 로그분산함수의 추정

홍혜선,허집,Hong, Hyeseon,Huh, Jib 한국통계학회 2017 응용통계연구 Vol.30 No.2

Due to the nonnegativity of variance, most of nonparametric estimations of discontinuous variance function have used the Nadaraya-Watson estimation with residuals. By the modification of Chen et al. (2009) and Yu and Jones (2004), Huh (2014, 2016a) proposed the estimators of the log-variance function instead of the variance function using the local linear estimator which has no boundary effect. Huh (2016b) estimated the variance function using the adjusted squared residuals by the estimated jump size in the discontinuous variance function. In this paper, we propose an estimator of the discontinuous log-variance function using the local linear estimator with the adjusted log-squared residuals by the estimated jump size of log-variance function like Huh (2016b). The numerical work demonstrates the performance of the proposed method with simulated and real examples. 분산함수가 불연속점을 가지는 경우, 대부분의 비모수적 함수 추정 연구에서 분산함수가 음수 값을 갖지 않기에 잔차제곱을 이용한 Nadaraya-Watson 추정량인 국소상수항추정량을 이용하였다. 한편, Huh (2014, 2016a)는 Chen 등 (2009)과 Yu와 Jones (2004)의 연구를 바탕으로 불연속 분산함수를 로그 변환한 로그분산함수를 추정 대상으로 삼아 잔차제곱이나 로그잔차제곱으로 경계점 문제를 가지지 않는 국소선형추정량을 이용하여 비모수적으로 추정하였다. Huh (2016b)는 불연속점에서 점프크기추정량을 활용하여 잔차제곱을 분산함수가 연속인 회귀모형에서 얻어진 잔차제곱인 것처럼 수정한 후 이들을 이용하여 불연속 분산함수의 추정을 연구하였다. 본 연구에서는 불연속 로그분산함수의 점프크기추정량을 이용하여 로그잔차제곱을 수정하고 불연속 로그분산함수를 국소선형추정량을 이용하여 추정하고자 한다. 제안된 추정량의 우수성을 모의실험을 통하여 Chen 등 (2009)의 로그분산함수 추정량을 이용한 Huh (2014)의 불연속 로그분산함수 추정량과 비교하고 실제자료에 적용하고자 한다.

불연속 로그분산함수의 커널추정량들의 비교 연구

허집,Huh, Jib 한국데이터정보과학회 2014 한국데이터정보과학회지 Vol.25 No.1

분산함수가 불연속인 경우 Kang과 Huh (2006)는 잔차제곱을 이용한 Nadaraya-Watson 추정량으로 분산함수를 추정하였다. 음의 실수 값도 가질 수 있는 로그분산함수를 추정 대상으로 하여, 오차제곱의 분포를 ${\chi}^2$-분포로 가정하고 국소선형적합을 이용한 불연속 로그분산함수의 추정이 Huh(2013)에 의해 연구되었다. Chen 등 (2009)은 연속인 로그분산함수를 로그잔차제곱을 이용한 국소선형적합으로 추정하였다. 본 연구는 Chen 등의 추정법을 이용하여 불연속인 로그분산함수의 추정량을 제시하였다. 기존의 제안된 불연속인 로그분산함수의 추정량들과 제안된 추정량을 모의실험을 통하여 비교연구하고자 한다. 한편, 로그분산함수가 연속이지만 그 미분된 함수가 불연속일 경우, Huh (2013)의 방법과 제안된 방법으로 적합된 국소선형의 기울기를 이용하여 불연속인 미분된 로그 분산함수의 추정량을 제시하고자 한다. 이들 추정량의 비교 연구 또한 모의실험을 통하여 제시하고자 한다. In the regression model, Kang and Huh (2006) studied the estimation of the discontinuous variance function using the Nadaraya-Watson estimator with the squared residuals. The local linear estimator of the log-variance function, which may have the whole real number, was proposed by Huh (2013) based on the kernel weighted local-likelihood of the ${\chi}^2$-distribution. Chen et al. (2009) estimated the continuous variance function using the local linear fit with the log-squared residuals. In this paper, the estimator of the discontinuous log-variance function itself or its derivative using Chen et al. (2009)'s estimator. Numerical works investigate the performances of the estimators with simulated examples.

가능도함수를 이용한 불연속점 수의 추정

허집,Huh, Jib 한국데이터정보과학회 2010 한국데이터정보과학회지 Vol.21 No.1

일반화선형모형에서 회귀함수가 하나의 불연속점을 가질 때, Huh (2009)는 하나의 모수를 가지는 지수족의 가능도함수를 한쪽방향커널을 이용하여 그 불연속점의 위치와 점프크기를 추정하였다. 이 논문에서는 미지의 불연속점 수 q개를 가지는 회귀함수인 경우에, Huh (2009)가 제안한 점프크기 추정량의 점근분포를 이용한 가설검정법을 소개하고, 그 가설검정법을 이용한 불연속점 수를 추정하는 알고리듬을 제안하고, 모의실험을 통하여 추정의 정도를 알아보고자 한다. In the case that the regression function has a discontinuity point in generalized linear model, Huh (2009) estimated the location and jump size using the log-likelihood weighted the one-sided kernel function. In this paper, we consider estimation of the unknown number of the discontinuity points in the regression function. The proposed algorithm is based on testing of the existence of a discontinuity point coming from the asymptotic distribution of the estimated jump size described in Huh (2009). The finite sample performance is illustrated by simulated example.

교차타당성을 이용한 확률밀도함수의 불연속점 추정의 띠폭 선택

허집,Huh, Jib 한국데이터정보과학회 2012 한국데이터정보과학회지 Vol.23 No.4

교차타당성은 커널추정량의 평활모수인 띠폭의 선택 방법으로 흔히 활용되고 있다. 연속인 확률밀도함수의 커널추정량의 띠폭 선택으로 널리 쓰이는 교차타당성 방법으로는 최대가능도교차타당성과 더불어 최소제곱교차타당성과 편의교차타당성이 있다. 확률밀도함수가 하나의 불연속점을 가질 때, Huh (2012)는 불연속점 추정을 위한 커널추정량의 띠폭 선택으로 최대가능도교차타당성을 이용한 방법을 제시하였다. 본 연구에서는 Huh (2012)에 의해 최대가능도교차타당성으로 제안된 띠폭선택의 방법과 같이 한쪽방향커널함수를 이용한 최소제곱교차타당성과 편의교차타당성으로 띠폭 선택 방법을 제시하고, 이들 띠폭 선택 방법들과 Huh (2012)의 최대가능도교차타당성을 이용한 띠폭 선택 방법을 모의실험을 통하여 비교연구 하고자 한다. The cross-validation is a popular method to select bandwidth in all types of kernel estimation. The maximum likelihood cross-validation, the least squares cross-validation and biased cross-validation have been proposed for bandwidth selection in kernel density estimation. In the case that the probability density function has a discontinuity point, Huh (2012) proposed a method of bandwidth selection using the maximum likelihood cross-validation. In this paper, two forms of cross-validation with the one-sided kernel function are proposed for bandwidth selection to estimate the location and jump size of the discontinuity point of density. These methods are motivated by the least squares cross-validation and the biased cross-validation. By simulated examples, the finite sample performances of two proposed methods with the one of Huh (2012) are compared.

Testing the Existence of a Discontinuity Point in the Variance Function

Jib Huh 한국데이터정보과학회 2006 한국데이터정보과학회지 Vol.17 No.3