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Generalized Logistic 분포형의 신뢰구간 추정을 위한 점근 분산 유도 : Ⅰ. 점근 분산식의 유도
신홍준(Shin Hongjoon),김수영(Kim Sooyoung),허준행(Heo Jun-Haeng) 대한토목학회 2007 대한토목학회논문집 B Vol.27 No.3B
추정값의 오치는 크게 표본 자료의 부족으로 인한 오차와 부적절한 분포형의 선택으로 인한 오차로 나눌 수 있다. 그러므로 특정 재현기간에 대한 quantile의 추정값은 분포형의 정확도를 나타내는 척도가 존재하지 않는다면 추정값 자체로는 큰 의미를 갖는다고 할 수 없다. 최근 빈도해석에서 generalized logistic(GL) 분포형이 널리 사용되고 있으나, 분포형의 정확도를 나타내는 신뢰구간에 대한 연구는 아직 미흡한 실정이다. 따라서 본 연구에서는 GL 분포형의 매개변수 추정방법을 소개하고, quantile값의 신뢰구간을 구하기 위한 근사적 분산식을 모멘트법(method of moments), 최우도법(method of maximum likelihood), 확률가중모멘트법(method of probability weighted moments)에 근거하여 유도하였다. 각각의 매개변수 추정방법별로 유도된 분산식은 표본크기, 재현기간, 매개변수의 함수로 표현되는 것으로 나타났다. The error of estimate accounts for the error due to the shortness of the sample data and the choice of inappropriate distribution. Hence, it is clear that a point estimate of quantile corresponding to specified return period may be of no real significance unless there is an indication of the prediction accuracy of distribution. The generalized logistic (GL) distribution has been widely used for frequency analysis. However, there is a little study related to the confidence intervals that indicate the prediction accuracy of distribution for the GL distribution. In this paper, the estimation of parameters are introduced and the asymptotic variances of quantiles for the GL distribution are derived to estimate the confidence intervals based on the method of moments (MOM), maximum likelihood (ML), and probability weighted moments (PWM). As a result, it was found that the asymptotic variances of quantile estimator are represented as a function of the sample size, return period, and parameters for each estimation technique.
Generalized Logistic 분포형의 신뢰구간 추정을 위한 점근 분산 유도 : Ⅱ. 모의실험 및 적용
신홍준(Shin Hongjoon),김수영(Kim Sooyoung),허준행(Heo Jun-Haeng) 대한토목학회 2007 대한토목학회논문집 B Vol.27 No.3B
본 연구에서는 “Generalized Logistic 분포형의 신뢰구간 추정을 위한 점근 분산식 유도 : Ⅰ. 접근 분산식의 유도”의 결과를 바탕으로, Monte Carlo 모의실험을 수행하여 quantile에 대한 신뢰구간의 적용성을 살펴보았다. 본 연구에서 모의실험은 모멘트법, 최우도법, 확률가중모멘트법에 의한 quantile의 신뢰구간의 적용성을 검토하기 위해 수행되었으며, 이를 위해 위치매개변수와 규모매개변수는 각각 0, 1로 고정시켰으며, 형상매개변수는 왜곡도계수 -1.0, +0.5, +1.0에 해당하는 값인 +0.11387, -0.06134, -0.11387로 변화시켰다. 그 결과 신뢰구간에 대한 상대편의 (RBIAS)와 상대평균제곱근오차(RRMSE)는 재현기간이 커질수록 증가하며 표본크기가 커질수록 감소하는 것을 알 수 있었다. 또한 표본자료가 거의 대칭일 경우, 즉 왜곡도계수가 0에 가끼울 경우 확률가중모멘트법에 의한 신뢰구간 추정이 모멘트법이나 최우도법에 의한 신뢰구간 추정보다 좋은 결과를 나타냈으나, 표본자료의 크기가 어느 정도 크고 왜곡되어있을 경우에는 최우도법에 의한 결과가 가장 좋은 것으로 나타났다. 연최대 강우 자료에 GL분포형을 적용한 결과, 확률강우량 추정에서 모멘트법을 제외한 최우도법과 확률가중모멘트법은 유사한 결과를 보였으며, 최우도법과 확률가중모멘트법이 대상자료의 크기와 왜곡도계수에 따라 가장 작은 분산값 및 좁은 신뢰구간을 보이는 것으로 나타났다. Monte Carlo simulation experiments were performed to verify the applicability of the derived asymptotic variance for estimating confidence intervals of quantile using the results from the previous study "Asymptotic Variance of Quantiles for Estimating Confidence Intervals of the Generalized Logistic Distribution : Ⅰ. Derivation of the Asymptotic Variances". In this study, simulation experiments were performed to find out the applicability of the derived confidence intervals of quantiles based on the methods of moments, maximum likelihood, and probability weighted moments. For this purpose, the location and scale parameters were set to 0 and 1, respectively, and the shape parameter was varied as +0.11387, -0.06134, -0.11387 (corresponding skewness coefficients: -1.0, +0.5, +1.0, respectively). As the results, the relative bias (RBIAS) and relative root mean square error (RRMSE) of the confidence intervals generally increase as return period increases and reverse as sample size increases. And PWM for estimating the confidence intervals performs better than the other methods in terms of RRMSE when the data is almost symmetric while ML shows the smallest RBIAS and RRMSE when the data is more skewed and sample size is moderately large. The GL model was applied to fit the distribution of annual maximum rainfall data. The results show that there are little differences in the estimated quantiles between ML amd PWM while distinct differences in MOM. And ML and PWM show the smallest variances and the narrowest confidence intervals depending on sample sizes and skewness coefficients.