탱그램과 모자이크퍼즐을 활용한 수학과 수업 분석에 관한 연구 = (An) Analysis Research of Mathematics Classes utilizing Tangrams and Mosaic Puzzles

국문 초록 (Abstract)

현재 수학 교육의 관심은 "어떻게 하면 잘 이해시킬 것인가?"에 있으며 이것은 수학을 교수-학습시켜 '참다운 이해'를 추구하는 것으로 수학의 학습지도와 학습자의 현실 내에서 수평적 수학화에 적합한 풍부한 문제와 학습상황을 선정하여 수직적 수학화를 위한 수단과 교구를 제공하면서 수학이 재 발명되도록 지도해야 한다는 것이다. 이러한 현실에서 수학교사는 풍부한 학습상황의 선정과 수학화를 위한 교구에 대하여 많은 관심을 가지게 된다.
Welchman(1999)은 "Are You Puzzled?"라는 논제로 Van Hiele이 소개한 일곱 조각 모자이크퍼즐과 기존의 탱그램 퍼즐을 가지고 학생들에게 여러 가지 삼각형들 사이의 관계를 탐구하도록 하는 연구를 하였다. 탱그램과 모자이크퍼즐 조각 사이의 관계를 파악하는 것은 학생들의 고차원 사고 기능을 향상시키고 유클리드 기하학의 많은 원리를 발견할 수 있게 하며 커다란 재미를 주기 때문에 수학을 배우는 좋은 교구라고 그는 밝히고 있다. 그러면서 그는 이들의 구체적인 활용 방안을 위한 후속 연구를 제언하고 있다. 한편 우리 나라의 제7차 교육 과정 수학 교과서는 탱그램을 도형판이라는 이름으로 두 군데 (3-가 단계 3단원과 4-나 단계 5단원)에서 소개하고 있다. 그러나 탱그램만으로는 정삼각형이나 둔각삼각형을 만들 수 없는데도 제7차 교육과정에는 이를 고려하지 못하고 있다.
따라서 본 연구자는 Welchman이 사용한 탱그램과 모자이크퍼즐 교구가 우리 나라 초등학교 평면도형 학습에서도 의미 있게 활용될 수 있을 것이라 생각하여 그의 연구의 후속 과제 내용을 구현할 수 있는 구체적인 활용방안을 모색하려고 하였다. 이를 위하여 탱그램과 모자이크퍼즐 및 각 퍼즐의 활동판을 제작하고 수업내용에 따른 활동카드를 구안하였다. 또한 현장에 적합한 활용 방안을 구체화하기 위하여 우리 나라 수학과 교육과정 각 단계에서의 평면도형 학습목적과 내용을 고찰하고 활동카드의 내용을 분석할 기준을 마련하여 학생들의 반응을 분석하였다.
본 연구결과를 종합하면 다음과 같다.
탱그램은 평면도형 학습에 유용하게 사용될 수 있는 조작교구이다. 하지만 탱그램 활동판과 모자이크퍼즐 활동판을 함께 병행하여 사용할 때 학생들끼리의 의사소통을 보다 원활히 할 수 있도록 도울 수 있으며, 활동판을 사용함으로써 교사는 학생들의 학습 결과물을 좀 더 세밀히 관찰할 수 있는 자료를 얻을 수 있다. 또한 평면도형의 학습에서 정삼각형이나 둔각삼각형을 만들 수 없지만 모자이크퍼즐을 함께 사용함으로써 이러한 도형에까지 그 탐색의 범위를 확장시킬 수 있다. 그리고 탱그램과 모자이크퍼즐로 만든 각각의 도형을 서로 비교해 봄으로써 보다 다양한 방식으로 각과 변, 꼭지점과 같은 도형의 여러 구성요소와 길이와 면적과의 관계를 탐구하는 데에도 유용한 정보를 얻을 수 있다. 특히 구체적 교구를 사용함으로써 학생들은 평면도형 학습활동에 흥미를 가지고 활동적으로 참여하면서 다양한 수학적 사고를 통해 많은 원리를 발견할 수 있는 기회를 가지게 된다. 또한 상호 의사소통을 통하여 자신의 아이디어를 말이나 글로 표현해 봄으로써 개념과 원리를 더욱 깊이 이해하게 된다.
이 같은 사실로 보아 탱그램과 모자이크퍼즐의 활용을 구체화하기 위해 본 연구자가 개발하여 사용한 활동판과 활동카드는 제7차 수학과 교육과정에서 요구하는 평면도형의 성질, 크기, 모양, 각, 면적, 길이 등의 개념을 발견하고 논의할 수 있는 학습 보조 자료로 매우 유용할 것이다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

In this study I tried to develop strategies of using the tangrams and the mosaic puzzles for learning the elementary geometry in the Korean primary schools. The learning objectives and the tasks of the figural section at each primary school level of the Korean Math curriculum were reviewed. The tangram and the mosaic puzzle activity-panels were developed and the activity-cards for them also were designed. The criteria to be used for the analyses of contents of the activity-cards were developed. Students responses were surveyed and analyzed.
The results of the study indicated that the tangrams were useful as operational learning materials. And the tangram and the mosaic puzzle activity-panels helped the students' communication more effectively when they were used together. The teachers who were involved in the study were enable to evaluate the students' learning outcomes more in details by using those panels.
A previous research had insisted that solely using the tangrams were not useful in learning about an obtuse-angled triangle in the elementary geometry (Welchman, 1999), but the combinative uses of the tangrams and the mosaic puzzles were found to extend the limits of the previous study in investigating the figures of the plain diagrams. The tangrams and the mosaic puzzles helped the students to learn the concepts of several elements of the plain diagrams such as 'angles', 'sides', and 'angular points', with students' operational comparison of the diagrams developed with them. They also provided useful clues in learning the relationship between the 'length' and the 'area' of the plain diagrams.
The students participated in learning actively, using the operational learning materials. They also comprehended the concepts and the principles of the elementary geometry more thoroughly, expressing their ideas in spoken or written languages through interactive communication.
In conclusion, the tangrims and the mosaic puzzles can be used for learning the elementary geometry of the primary school level as motivative learning materials, helping students enhance diverse mathematical thinking and discover mathematical principles. The study suggested to utilize the activity panels and cards together in discovering, discussing and apprehending the characteristics, the sizes, the shapes and the concepts of several components of the plain diagrams.

목차 (Table of Contents)

• 목차
• 국문초록 = 1
• I. 서론 = 1
• 1. 연구의 필요성과 목적 = 1
• 2. 연구 문제 = 3
• 3. 용어의 정의 = 3
• 4. 연구의 제한점 = 4
• II. 이론적 고찰 = 5
• 1. Welchman의 선행 연구 = 5
• 가. 연구 내용 요약 = 5
• 나. 후속 연구를 위한 Welchman의 제언 = 7
• 2. 탱그램과 모자이크퍼즐의 특성 = 9
• 가. 탱그램의 특성 = 9
• 나. 모자이크퍼즐의 특성 = 10
• 3. 교구에 대한 일반적인 이론들 = 11
• 가. 조작 교구란 무엇인가? = 11
• 1) 수학 학습에서 조작 교구 사용에 대한 이론의 기초 = 11
• 2) 조작 교구의 선택 기준 = 12
• 3) 조작 교구의 일반적인 사용 목적 = 13
• 4) 조작 교구를 효과적으로 사용하는 방법 = 13
• 5) 조작적 교구 사용시 유의점 = 15
• 나. 수학 교수에서 손으로 조작하는 교구의 활용 = 16
• 1) 조작 교구 활용에 관한 원리 = 16
• 2) 원리에 적합한 교구 = 16
• III. 연구의 설계 = 18
• 1. 탱그램과 모자이크퍼즐 및 활동판 제작 = 18
• 가. 탱그램과 모자이크퍼즐 제작 = 18
• 나. 탱그램과 모자이크퍼즐 활동판의 제작 = 19
• 다. 탱그램과 모자이크퍼즐 활용 수업 내용 = 21
• 라. 수업 활용을 위한 탱그램과 모자이크퍼즐 활동카드 제작 = 22
• 2. 초등학교 평면도형에 관한 제7차 교육과정 분석 = 35
• 가. 분석의 목적 = 35
• 나. 교육과정의 각 단계에서의 평면도형 학습목적 및 내용 = 35
• 다. 수업목표에 따른 활동내용 분석의 내용 및 결과 = 43
• 3. 연구의 분석 방법 및 분석 기준 = 50
• 가. 수학적 사고의 분석 기준 = 50
• 나. 탱그램과 모자이크퍼즐 교구의 유용성 분석 기준 = 51
• 다. 우리 나라 제7차 교육과정의 평면도형 학습내용 = 52
• IV. 수업의 실제 = 56
• 1. 탱그램과 모자이크퍼즐을 활용한 제1차 수업 = 56
• 가. 수업의 대상 = 56
• 나. 수업의 주제 = 56
• 다. 수업의 내용 = 56
• 라. 수업의 결과 = 56
• 1) 탱그램으로 삼각형 만들기 수업 = 56
• 2) 모자이크퍼즐로 삼각형 만들기 수업 = 58
• 2. 탱그램과 모자이크퍼즐을 활용한 제2차 수업 = 59
• 가. 수업의 대상 = 59
• 나. 수업의 주제 = 60
• 다. 수업의 내용 = 60
• 라. 수업의 결과 = 60
• 3. 탱그램과 모자이크퍼즐을 활용한 제3차 수업 = 62
• 가. 수업의 대상 = 62
• 나. 수업의 주제 = 62
• 다. 수업의 내용 = 62
• 라. 학생들의 반응을 알아본 수업 = 63
• 1) 탱그램을 사용한 수업 = 63
• 가) 탱그램으로 삼각형 찾기 = 63
• 나) 탱그램으로 직사각형 찾기 = 64
• 다) 탱그램으로 정사각형 찾기 = 65
• 2) 모자이크퍼즐을 사용한 수업 = 67
• 가) 모자이크퍼즐로 삼각형 찾기 = 67
• 나) 모자이크퍼즐로 직사각형 찾기 = 68
• 다) 모자이크퍼즐로 정사각형 찾기 = 69
• 마. 제3차 수업의 문제점 = 71
• 4. 탱그램과 모자이크퍼즐을 활용한 제4차 수업 = 71
• 가. 수업의 대상 = 71
• 나. 수업의 주제 = 71
• 다. 수업의 내용 = 71
• 라. 제4차 수업의 결과 = 71
• 1) 삼각형의 탐구 = 72
• 2) 직사각형의 탐구 = 77
• 3) 정사각형의 탐구 = 83
• 4) 면적탐구 = 85
• 5) 각도의 탐구 = 89
• 6) 길이의 탐구 = 93
• 7) 다각형의 탐구 = 96
• 5. 분석의 결과 = 99
• 가. 탱그램과 모자이크퍼즐 교구의 제작면 = 100
• 1) 탱그램과 모자이크퍼즐 제작면 = 100
• 2) 탱그램 활동판과 모자이크퍼즐 활동판의 제작면 = 100
• 나. 탱그램과 모자이크퍼즐 교구 활용면 = 100
• 다. 수업에서의 수학적 사고면 = 103
• 1) 삼각형의 탐구 = 104
• 2) 직사각형의 탐구 = 106
• 3) 정사각형의 탐구 = 108
• 4) 면적탐구 = 109
• 5) 각도의 탐구 = 110
• 6) 길이의 탐구 = 111
• 7) 다각형의 탐구 = 112
• V. 요약 및 결론 = 115
• 1. 탱그램과 모자이크퍼즐 제작면 = 115
• 2. 탱그램 활동판과 모자이크퍼즐 활동판의 제작면 = 115
• 3. 탱그램과 모자이크퍼즐 교구 활용면 = 115
• 4. 수업에서의 수학적 사고면 = 116
• 참고문헌 = 122
• Abstract = 149
• 감사의 글 = 151