초등학생의 대수적 사고 분석에 관한 연구 = (A) Study on analysis of the algebraic thinking for elementary school students

국문 초록 (Abstract)

최근 국제 사회는 '모두를 위한 대수'가 제창되면서 대수의 지도와 학습에 흥미와 관심을 높이고 있으며, 여러 가지 접근 방법 즉 규칙의 일반화, 문제 해결, 구체적 모형을 사용한 방정식 풀이, 함수 상황의 도입, 물리적·수학적 현상의 모형화 등이 제안되고 있다.
따라서 본 연구는 초등학교 5학년 학생을 대상으로 대수적 문제 상황을 제시하여 그들의 사고 과정을 관찰함으로써 초등학생에게 대수적 사고가 가능한지 살핀다. 그리고 만약 가능하다면 그들에게서 관찰되는 대수적 사고에는 어떤 것이 있는지 분석하고자 한다. 더불어 산술적 풀이에 전적으로 의지하고 있는 수학 교실에 좀 더 다양하고 적절한 사고 전략을 제공함으로써, 사고의 유연성을 발달시키고, 대수적 사고를 경험할 수 있는 기회를 제공하고자 한다.
대수적 사고는 우선 알려지지 않은 양이나 조건을 알고 있는 것처럼 가정하고, 여기서 더 발전하여 가정한 것을 더 이상 거짓값으로 생각하지 않고 미지수 자체의 기호 언어로 문제를 재해석하고 해결하는 것이다.
본 연구자는 대수적 사고 수업 모형으로 초등학교 5학년생들을 대상으로 한 수업에서 다음과 같은 결론을 얻었다.
첫째, 학생들은 모르는 것을 아는 것처럼 가정하고 이를 ♡, ○, ☆, △, x, y등과 같은 다양한 부호와 문자를 사용해 식으로 표현하였다. 이를 통해 대수적 사고가 가능함을 알 수 있다.
둘째, 학생들은 관계를 대수적으로 표현해 본 선행 경험을 통해 대수적 표현을 발전시킬 수 있으며 개인차에 따라 매우 다양한 수준의 대수적 표현을 할 수 있다. 또한 이러한 경험을 통해 대수적 표현의 이점을 알 수 있다.
셋째, 학생들은 같은 문자가 같은 수를 의미함을 쉽게 받아들이지 못하고, 다른 수도 같은 문자로 표현하는 경향이 있다. 또 변수가 사용된 식을 자신의 활동 과정으로는 쉽게 받아들이지만 답으로 받아들이는 것은 어려워하는 과정-산물 딜레마(process-product dilemma)를 관찰할 수 있다.
즉 연구자는 초등학생들이 대수적 사고를 할 수 있음을 확인하였고, 그들의 대수적 사고에 대한 발전 가능성과 특성을 발견할 수 있었다. 본 연구의 결과는 앞으로 보다 발전적인 후속 연구에 의해 언제든지 도전 받을 수 있을 것이다. 본 연구는 대수적 사고에 대한 시작으로 또한 앞으로 입증해 가야 할 과제 제시로 의의를 가지며, 앞으로 대수적 사고에 대한 연구가 계속 되기를 바란다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

With being proposed 'Algebra for All', in the international community, the teaching and learning of algebra have recently received a great deal of research interest, and different approaches aimed at making this learning meaningful for students have been proposed: generalization of patterns, problem solving, equation solving aided by the use of concrete models, introduction of functional situations, and the modeling of physical and mathematical phenomena.
In this study we prescribed that the algebraic thinking supposed unknown as if it were known and, progressively it was to solve and retranslate problem which was thought not as a fault value but as symbolic language of its unknown.
The purpose of this study was to find out whether the fifth grade students of elementary school can think algebraically in given situation of algebraic problem, to analyze what kind of algebraic thinking was to be observed from them if it could be, and more ultimately, to develop the flexibility of their thinking by providing the opportunity that help students to practice more variable and suitable algebraic thinking in the mathematics classroom in which entirely depended on arithmetic solving.
To achieve these purposes, we first developed the instruction model for teaching algebraic thinking, and using this model instructed for the students of one fifth grade class that selected as our investigating objects, and we analyzed the processes of the instructions.
We concluded the following several results through our study.
First, students supposed unknown to known and expressed with various signs and letters; ♡, ○, ☆, △, x, y, etc. From this we could find out that elementary school students can think algebraically.
Second, students could develop algebraic representation through pre-experience which they have ever expressed algebraically the relations. They could make algebraic expression of various degree according to individual ability, and could recognize the usefulness of algebraic thinking by having theses experiences.
Third, students felt difficult to understand that the same letter meant the same quantity, and they tended to represent different quantity as the same letter. We observed the process-product dilemma, that is, students accepted easily an equation with variables as a process of own activity but felt difficult to accept that as an answer.
Therefore, we confirmed algebraic thinking is possible to elementary school students and discovered some characters of their algebraic thinking and the possibility of its development. In the future, the results of this study always could be challenged from following study better than ours. We confer that the significance of this study as a proposal of task that should be proved and as the beginning such a study. We expect the study of algebraic thinking will be acted continuously after this.

목차 (Table of Contents)

• 목차
• 국문초록 = ii
• I. 서론 = 7
• II. 대수적 사고 = 10
• 1. 대수적 사고의 역사적 발달 = 10
• 가. 대수 역사 속의 대수적 사고 = 11
• 나. 그리스 기하에서의 대수적 추론 = 13
• 2. 대수적 사고의 특성 = 15
• 가. 대수 기호와 대수적 사고 = 15
• 나. 대수적 사고의 특성 = 17
• 1) 대수의 특성 = 17
• 2) 대수적 사고의 특성 = 19
• 다. 대수적 사고 과정 = 20
• 3. 대수적 사고와 산술적 사고 = 22
• 가. 대수적 사고와 산술적 사고의 차이 = 22
• 나. 대수적인 문제와 산술적인 문제 = 25
• 다. 대수적 사고 학습에서 나타나는 산술적 사고 = 27
• III. 대수적 사고의 교육 = 30
• 1. 대수적 사고의 장애와 지도 = 30
• 가. 변수 개념의 장애 = 30
• 1) 변수 인식과 장애 = 30
• 2) 올바른 변수 개념 = 31
• 3) 초등학생들의 변수 개념 지도 = 33
• 나. 대수적 표현에서의 장애 = 34
• 다. 산술에서 대수로의 전이에서 나타나는 인지적 장애 = 36
• 2. 대수적 사고 학습에 대한 접근 방법 = 38
• 가. 대수적 사고 학습에 대한 일반화적 접근 방법 = 38
• 나. 대수적 사고 학습에 대한 문제해결적 접근 방법 = 41
• 다. 대수적 사고 학습에 대한 모델링적 접근 방법 = 42
• 라. 대수적 사고 학습에 대한 함수적 접근 방법 = 45
• IV. 대수적 사고 모델 개발 및 수업의 실제 = 47
• 1. 대수적 사고의 분석을 위한 수업 모형 = 47
• 가. 선행 대수적 사고 수업 모델의 탐색 = 47
• 나. 대수적 사고 수업 모형 개발 = 50
• 2. 대수적 사고의 분석을 위한 수업의 실제 = 55
• 가. 교과서 내용의 고찰 = 55
• 나. 연구 수업 방법 및 수업 계획 = 56
• 다. 수업의 실제 = 56
• 3. 수업에서 나타난 대수적 사고 분석 = 69
• 가. 제 1차시 수업에서 나타난 대수적 사고 분석 = 69
• 나. 제 2차시 수업에서 나타난 대수적 사고 분석 = 76
• V. 결론 및 제언 = 80
• 참고문헌 = 84
• 부록 = 87
• ABSTRACT = 99