초등학교 3학년 학생들의 수학적 정당화 활동 분석 = Analysis of third graders' mathematical justification activities

국문 초록 (Abstract)

최근 수학적 과정에 대한 관심과 함께 수학적 추론이 강조되며 수학적 정당화에 대해 초등학교부터 점진적으로 지도되어야 할 필요성이 증대되고 있다. 이에 본 연구는 초등학교 3학년 학생들의 수학적 정당화 수준 및 표현양식에 따른 인지적 특성을 파악하여 적절한 수학적 정당화의 지도 방안에 대해 시사점을 제공하고자 한다. 본 연구를 위해 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다.

1. 초등학교 3학년 학생들의 수학적 정당화 수준은 어떠한가?
가. 문항별 수학적 정당화 수준은 어떠한가?
나. 수학성취도에 따른 수학적 정당화 수준은 어떠한가?

2. 초등학교 3학년 학생들이 수학적 정당화 과정에서 사용하는 표현양식을 통해 파악할 수 있는 인지적 특성은 무엇인가?

본 연구는 초등학교 3학년 학생 27명을 대상으로 수와 연산 영역(A1～A4)의 4개, 도형 영역(G1～G3)의 3개, 측정 영역(M1～M2)의 2개, 규칙성 영역(P)의 1개 문항을 구성하여, 총 10개의 검사 문항에 대해 수학적 정당화 수준을 분석하였다. 각 학생들이 해결한 문항의 답안을 스캔하고, 면담 내용을 녹취?기록한 후, 문항별 수학적 정당화 수준을 파악하였으며 수학성취도와 수학적 정당화 수준 사이의 상관관계를 분석하였다. 또한, 정당화 과정에 사용된 표현양식을 바탕으로 초등학교 3학년의 인지적 특성을 살펴보았다.

본 연구 결과를 통하여 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다.
첫째, 초등학교 3학년 학생들은 2수준인 경험적 정당화를 보인 경우가 가장 많았다. 이는 대부분의 학생이 직관 또는 구체물을 활용하거나 임의의 예를 사용하는 정당화 방식을 가장 선호했다는 것으로 이해할 수 있다. 또한, 포괄적 정당화 수준과 연역적 정당화 수준을 보이는 학생들도 상당수 있었던 것으로 볼 때, 과제 또는 학생에 따라 수준 높은 수학적 정당화 수준으로의 이행도 충분히 가능하다는 것을 함의한다.
둘째, 수학적 정당화의 수준은 수학성취도가 높을수록 높게 나타났다. 이는 수학에 대한 올바른 개념과 지식이 자신이 나타내고자 하는 수학적 견해를 보다 논리적으로 펼치는데 꼭 필요하다는 것을 의미한다. 즉, 보다 수준 높은 수학적 정당화를 위해서는 수학적 지식이 필수적이라 할 수 있다.
셋째, 대부분의 학생들이 수학적 정당화의 표현양식에 있어서 언어적 표현을 사용했다. 이는 기호나 식, 또는 그림이 익숙하지 않은 3학년 학생들의 특성상 가장 쉽게 사용할 수 있는 표현양식이었기 때문으로 보인다. 또한, 수학적 정당화를 위해 둘 이상의 표현양식을 혼재하여 사용하는 경우가 많았는데 이는 한 가지 표현양식으로 충분한 정당화를 나타내지 못한 경우, 다른 표현양식을 활용하여 자신의 논리를 보충하고자 했음을 알 수 있다.

본 연구결과를 바탕으로 초등학교 3학년 학생들의 수학적 정당화 지도 방안에 대해 다음과 같은 시사점을 얻을 수 있다.
첫째, 초등학교 3학년 학생들 역시 충분히 수학적 정당화를 할 수 있음이 밝혀진 바, 보다 높은 수학적 정당화 수준으로의 이행을 위해 수업 속에서 수학적 정당화를 할 수 있는 다양한 기회를 많이 제공해야 하며 수업 속에서 자연스럽게 정당화의 기초를 다질 수 있는 환경을 조성해야 한다.
둘째, 수학적 정당화 지도를 위한 다양한 문항을 개발해야 한다. 학생들의 수학성취도가 다르므로, 다양한 난이도의 수학적 정당화 문항을 개발하여, 수학성취도가 낮은 학생들도 수학적 정당화를 할 수 있도록 해야한다.
셋째, 기호와 수식의 표현이 익숙하지 않은 초등학교 3학년 학생들의 인지적 상태를 고려하여, 수학적 정당화의 표현에 있어서 다양한 표현양식을 허용해주어야 한다. 또한, 가장 많이 사용하는 표현양식이 언어적 표현이라는 것을 볼 때, 글뿐만 아니라 토론 및 대화 등 다양한 수학적 의사소통 기회를 제공함으로써 정당화에 익숙한 환경을 만들어 주어야 한다.
넷째, 수학적 정당화를 위한 교육과정과 연계된 체계적인 접근이 필요하다. 2009 개정 교육과정에서 정당화 지도를 강조하고 있으나, 교과서에 수학적 정당화가 가능한 장면들은 적은 것이 사실이다. 따라서 학년에 맞는 적절한 수학적 정당화 기회가 교과 단원의 차시학습에서 보다 구체적이고 체계적으로 제공되어야 할 것이다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

Recently, as the importance of mathematical justification has arisen for the enhancement of mathematical knowledge through the mathematical deduction, it is emphasized that mathematical justification needs to be taught over the entire grades. Thus, this study is aimed at identifying the level of mathematical justification and cognitive characteristics according to the mode of expressions of the third grade students at elementary school, and thereby providing implications on an appropriate teaching scheme of mathematical justification.
The following research problems were set for this study.

A. What is the level of mathematical justification of the third grade students at elementary school?
1) What is the level of mathematical justification for each question?
2) What is the level of mathematical justification according to the academic achievement?
B. What are the cognitive characteristics that can be identified through the mode of expression used by the third grade students at elementary school during the process of mathematical justification?

A total of 10 questions were set, consisting of 4 in the number and arithmetic domain (A1 - A4), 3 in the geometry domain (G1 - G3), 2 in the measurement domain (M1 - M2) and 1 in the pattern domain (P), for 27 students in the third grade at an elementary school, and the mathematical justification process on these questions were analyzed. The answers to questions worked out by each student were scanned, and the interviews recorded and transcribed. Then, the level of mathematical justification for each question was investigated and the correlation between the academic achievement and the level of mathematical justification analyzed. Also, the cognitive characteristics of the third grade students at elementary school were examined on the basis of the mode of expression used in the mathematical justification process. The results of the study are as follows.
First, the highest proportion of the third grade students at elementary school displayed the level 2 empirical justification for each of the mathematical justification questions. Next is the level 3 comprehensive justification, followed by in the order of the level 4 deductive justification, the level 0 no justification and the level 1 authoritative justification.
Second, it was shown that the level of mathematical justification had a high correlation with the academic achievement with a correlation coefficient of 0.875. Thus, it was confirmed that the level of mathematical justification was higher with the higher academic achievement.
Third, the most common mode of expression in mathematical justification was verbal expression. This appears to be because the easiest mode of expression to students who were not familiar with symbols, equations or figures was verbal expression.
Fourth, in many cases, more than one modes of expression were used for the mathematical justification. It appears that a different mode of expression was used to complement the logic if a single mode of expression was not capable of representing a sufficient justification.
On the basis of these results, the following implications on the teaching scheme of the mathematical justification for the third grade students at elementary school could be derived.
First, as it was proved that the third grade elementary students could make mathematical justification, various opportunities of making mathematical justification must be amply provided to them in class for transition to a higher level of mathematical justification.
Second, a diverse array of questions that can represent mathematical justification need to be developed. Since the academic achievement is different among students, students whose academic achievements are low should also be ensured to be capable of making mathematical justification by developing the mathematical justification questions with various difficulties.
Third, various modes of expression in mathematical justification should be allowed in consideration of the cognitive status of the third grade students at elementary school who are not familiar with symbols and equations. Also, considering that the most frequently used mode of expression is verbal expression, various opportunities of communications in addition to written texts should be provided.
Fourth, a systematic approach associated with the curriculum for the mathematical justification is needed. Although teaching of the justification is emphasized in the curriculum, it is true that the textbook lacks in the scenes that enable the mathematical justification. Thus, the opportunity of the mathematical justification appropriate for each grade should be provided specifically and systematically in the regular learning unit of the mathematics subject.

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ. 서론 1
• 1. 연구의 필요성 및 목적 1
• 2. 연구문제 5
• 3. 용어의 정의 5
• 4. 연구의 제한점 6
• Ⅱ. 이론적 배경 7
• 1. 수학적 정당화 7
• 2. 수학적 정당화의 유형 및 수준 8
• 3. 수학적 정당화의 표현 14
• Ⅲ. 연구방법 16
• 1. 연구의 대상 16
• 2. 연구절차 17
• 3. 연구방법 18
• 4. 검사문항 작성 19
• 5. 수학적 정당화 분석틀 24
• Ⅳ. 연구결과 27
• 1. 수학적 정당화 수준 분석 27
• 2. 수학적 정당화에 사용된 표현양식 분석 67
• Ⅴ. 결론 및 제언 71
• 1. 결론 71
• 2. 제언 74
• 참고문헌 75
• 영문초록 79
• 부록 83