초등학교에서의 대수적 추론 능력 향상을 위한 교수-학습 방향 탐색 = Research on the Teaching and Learning to Foster Algebraic Reasoning Ability for Elementary School Students

국문 초록 (Abstract)

본 연구는 일반화된 산술로서의 대수적 추론을 중심으로 저?중?고학년 학생들의 이해 수준과 어려움을 조사하고, 실제 수업 상황에서 초등학생들의 대수적 추론 능력의 발달 과정이 어떠한지와 학생들의 대수적 추론 능력의 발달을 성공적으로 이끄는 요소가 무엇인지를 구체적으로 밝힘으로써 초등학교에서의 대수 교수-학습 방안에 대한 시사점을 제공하는데 그 목적이 있다. 이를 위해 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다.

가. 초등학교 저?중?고학년 학생들의 일반화된 산술로서의 대수적 추론 능력은 어떠한가?
1) 등호 및 등식에 대한 저?중?고학년 학생들의 이해는 어떠한가?
2) 연산의 성질별로 저?중?고학년 학생들의 이해는 어떠한가?
3) 문제 상황별로 저?중?고학년 학생들의 이해는 어떠한가?
나. 초기 대수를 강조하는 수업에서 초등학교 4학년 학생들의 대수적 추론 능력의 발달 과정은 어떠한가?
1) 덧셈 상황에서 수와 연산의 성질을 일반화하는 과정은 어떠한가?
2) 곱셈 상황에서 수와 연산의 성질을 일반화하는 과정은 어떠한가?
다. 초기 대수를 강조하는 수업에서 학생들의 대수적 추론 능력의 발달을 성공적으로 이끄는 요소는 무엇이며, 교사와 학생이 겪는 어려움 및 그에 따른 시사점은 무엇인가?
연구 문제 가를 해결하기 위해, 일반화된 산술로서의 대수적 추론 능력 검사지를 개발하고 전국의 초등학교를 서울특별시, 광역시, 중소도시, 읍면지역의 학교 수에 비례하도록 무선 표집한 후, 표집 학교의 2, 4, 6학년 학생들을 대상으로 조사연구를 실시하였다. 분석 대상은 2학년 648명, 4학년 688명, 6학년 751명으로 총 2087명의 검사지를 분석하였다. 연구문제 나와 연구문제 다를 해결하기 위해, 초기 대수를 강조하는 4학년 수학 수업을 대상으로 탐구적?질적 사례 연구를 실시하였다. 수업 분석을 위해 동영상, 교사와 학생의 수업 후 소감문, 관찰 기록지, 학생 활동 결과물 등을 모두 수집하였고, 본 연구자는 참여 관찰자로서 매 수업에 참여하여 학생들의 대수적 추론 능력의 발달 과정과 교수-학습 과정을 면밀하게 관찰하고 자료를 수집?분석하였다.

연구 결과 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다. 첫째, 학생들은 우리가 기대하는 것 이상으로 수와 연산의 성질을 일반화할 수 있는 가능성과 잠재력을 가지고 있었다. 그러나 상당수의 학생들이 문제 상황에 포함된 수와 연산의 성질을 제대로 파악하지 못하였고, 수와 연산의 성질을 적용하여 문제를 해결하는 데 많은 어려움을 겪는 것으로 드러났다. 이는 학교 수학에서 수와 연산의 성질을 집중적으로 탐구할 수 있는 기회와 경험이 충분히 제공되지 못하고 있음을 반영한다고 할 수 있다. 초등학교 과정에서 수와 연산의 성질을 이해하고 적용하는 경험을 풍부하게 제공하는 것은 연산의 의미를 더 깊이 있게 이해하고 계산을 유창하게 할 수 있게 한다는 점과, 더 나아가 중등학교에서 대수 학습을 성공적으로 할 수 있는 토대를 마련한다는 점에서 매우 의미 있는 활동이다. 이에 초등학교에서 수와 연산의 성질을 탐구할 수 있는 기회와 경험을 더욱 강조하여 지속적으로 제공할 필요가 있다.
둘째, 일반화된 산술로서의 대수적 추론을 강조한 수업에서 학생들의 대수적 추론 능력은 구체적인 수 상황에서 수와 연산의 성질에 초점 맞추기, 충분한 사례 탐구를 통해 수와 연산의 성질 발견하기, 임의의 수 상황에서 수와 연산의 성질 일반화하기의 세 단계를 거쳐 발달되는 특징이 있었다. 구체적으로 첫 번째 단계에서 학생들은 문제 상황에 포함된 수와 연산의 성질에 초점을 맞춤으로써 자연스럽게 수와 연산의 성질을 인식하기 시작하였다. 두 번째 단계에서 학생들은 특정한 사례를 통해 인식하기 시작했던 수와 연산의 성질이 다양한 사례에서도 공통적으로 적용되는 일종의 규칙이라는 사실을 깨닫게 됨으로써 수와 연산의 성질을 발견할 수 있었다. 세 번째 단계에서 학생들은 수와 연산의 성질이 임의의 수 상황에서도 여전히 적용되는지에 대해 추측하고 정당화하는 활동을 통해, 수와 연산의 성질의 일반성을 깨닫고, 문장이나 관계식 등을 사용하여 수와 연산의 성질의 일반성을 표현할 수 있었다. 이처럼 수와 연산의 종류에 관계없이 후속 단계로 진행할수록 학생들이 수와 연산의 성질을 이해하고 적용하는 범위가 확장되었고 수와 연산의 성질을 정당화하고 일반화하는 능력 또한 향상되는 특징이 나타났다.
셋째, 실제 교수-학습 상황에서 학생들의 대수적 추론 능력의 발달을 성공적으로 이끄는 요소로는 연산의 성질을 적용할 수 있는 문제 맥락의 설정, 연산의 성질을 직관적으로 이해하도록 돕는 시각적 모델의 활용, 연산의 성질을 예시할 수 있는 관계식의 활용 등이 있음을 탐구하였다. 또한, 교사가 문제 상황과 시각적 모델, 관계식을 함께 고려하도록 제시하면서, 학생들의 수학적 지식이 서로 연결되도록 발문하고 촉진하는 활동은 학생들이 수와 연산의 성질을 성공적으로 발견하고 일반화하도록 하는 데 중요한 역할을 한 것으로 드러났다.

궁극적으로 초등학생들의 대수적 추론 능력의 개발이 성공적으로 이루어지기 위해서는 학생들의 정확한 실태를 바탕으로 초기 대수 교수-학습이 어떻게 이루어져야 하는지에 대한 실제적이고 구체적인 방향이 제시되어야 한다. 그런 의미에서 수업 사례 연구를 토대로 학생들의 대수적 추론 능력의 발달 과정과 성공적인 대수 교수-학습의 특징을 탐구하여 제시한 본 연구는 초등학교에서의 대수 지도 방안에 대한 시사점을 제공한다.

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ. 서론 1
• 1. 연구의 필요성과 목적 1
• 2. 연구문제 7
• 3. 용어의 정의 8
• 가. 초기 대수 8
• 나. 대수적 추론 능력 8
• 다. 일반화된 산술로서의 대수적 추론 능력 9
• 라. 초기 대수를 강조하는 수업 9
• 4. 연구의 제한점 10
• 5. 기대되는 효과 10
• Ⅱ. 이론적 배경 11
• 1. 초기 대수 교육의 중요성 11
• 가. 전통적인 대수 교육에서 학생들이 겪는 어려움 11
• 나. 대수 교육의 개선을 위한 접근 방법 13
• 다. 초기 대수 교육의 의미와 중요성 19
• 2. 대수와 대수적 추론 21
• 가. 대수와 대수적 추론의 본질 21
• 나. 대수적 추론의 유형 27
• 3. 초등학교 교육과정에서의 대수 30
• 가. 일반화된 산술로서의 대수와 관련된 주요 개념 30
• 나. 초등학교 교육과정에서 일반화된 산술로서의 대수와 관련 내용 분석 34
• 4. 선행 연구 고찰 39
• 가. 학교수학에서 대수적 추론의 본질을 탐구한 선행 연구 고찰 39
• 나. 초등학교 수학교육과정의 내용 요소로서 대수를 탐구한 선행 연구 고찰 41
• 다. 초등학생들의 대수적 추론 능력 개발 방안을 탐구한 선행 연구 고찰 42
• Ⅲ. 연구 방법 및 절차 45
• 1. 조사 연구 46
• 가. 연구 방법 및 절차 46
• 나. 연구 대상 48
• 다. 검사 도구 50
• 라. 자료 수집 54
• 마. 자료 분석 54
• 2. 사례 연구 56
• 가. 연구 방법 및 절차 56
• 나. 연구 대상 58
• 다. 자료 수집 58
• 라. 자료 분석 72
• Ⅳ. 연구 결과 및 논의 74
• 1. 일반화된 산술로서의 대수적 추론 능력 실태 조사 결과 74
• 가. 지역규모 및 성별에 따른 차이 분석 74
• 나. 등호 및 등식에 대한 이해 76
• 다. 연산의 성질에 대한 이해 개관 86
• 라. 교환법칙에 대한 이해 94
• 마. 결합법칙에 대한 이해 107
• 바. 분배법칙에 대한 이해 117
• 2. 일반화된 산술로서의 대수적 추론을 강조한 수업 분석 결과 123
• 가. 초등 수학 수업에서 대수적 추론의 일반화 과정 123
• 나. 학생들의 대수적 추론 능력의 발달을 성공적으로 이끄는 요소 182
• 다. 수와 연산의 성질에 대한 학생들의 전반적인 이해 평가 202
• 3. 연구 결과에 대한 논의 218
• 가. 일반화된 산술로서의 대수적 추론 능력 실태 조사 결과 논의 218
• 나. 일반화된 산술로서의 대수적 추론을 강조한 수업 분석 결과 논의 223
• Ⅴ. 요약, 결론 및 제언 229
• 1. 요약 229
• 2. 결론 및 제언 233
• 참고문헌 236
• ABSTRACT 248
• 부록 251

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