중학교 기하단원의 개방형 문제에서 학생의 문제해결과정의 사고 특성에 관한 연구

국문 초록 (Abstract)

21세기인 정보화 시대는 '문제해결력'을 요구하고 있다. 그러나 교실에서 교과서를 통해 아동들에게 제시되어 왔던 문제는 대부분 정형화된 그리고 답이 오직 하나로 제한된 페쇄형 문제로, ‘문제해결력’을 육성하거나 학생의 자주적인 학습을 촉구하기에는 충분하지 못할 뿐만 아니라 수학에 대해 부정적 신념과 태도를 형성하고 있다. 학생의 수학적 문제해결과정에 대한 관심을 가지고 시작한 본 연구는 수학 교육 현실에서 학생의 능력에 따라 정답을 산출하고, 수학적 문제해결력을 향상시키는 것으로 기대되는 개방형 문제를 이용하여 학생의 수학적 사고의 특성을 제시하고 있다.
본 연구는 00중학교 2학년 학생 한 명을 대상으로 주1회 1시간씩 총 5차시에 걸쳐 수학 8단계의 기하단원을 중심으로 차시를 구성하여, 질적 사례연구의 방법을 적용하였다. 특히, 지금까지 개방형 문제의 연구에 있어 양적 연구방법을 사용하였던 것에서 벗어나 학생은 어떠한 수학적 사고를 하며 또, 무엇을 필요로 하는지 구체적으로 알아보고, 메타인지적 요소는 어떻게 나타나는지 살펴보기 위해 개방형 문제에 대한 학생들의 답안에 대해 구체적으로 소개하였다.
본 연구 결과는 수학 8단계의 학생이 개방형 문제를 해결하는 과정에서 나타난 학생들의 사고의 특징을 Polya의 문제해결 4단계를 따라 보여주고 있다. 본 연구의 결과로 얻은 결론은 다음과 같다.
첫째. 개방형 문제를 해결하는 과정에서 학생은 문제의 이해단계를 소홀히 하는 경향을 보였으나, 개방형 문제를 활용한 수업이후 문제를 좀 더 신중하게 읽고 이해하려는 모습이 관찰되었으며, 개방형 문제가 학생으로 하여금 문제를 단순화하거나 구체적 사고과정을 거치지 않도록 할 수 있음도 알 수 있었다.
둘째. 학생은 개방형 문제를 해결하는 과정의 계획단계에서 구체적인 사고를 하며, 자신의 계획을 명확하게 표현하는 것에 익숙하지 못하였다. 하지만 학생은 개방형 문제를 더욱 다양한 방법으로 해결하려고 시도하였으며, 자신의 사고과정을 체계적으로 되돌아 볼 수 있는 메타인지적 지식을 가지게 되었다.
셋째. 개방형 문제를 해결하는 과정에서 계획 실행 단계를 살펴보면, 학생을 훌륭한 문제 해결자가 되도록 하는 것은 효과적인 통제이며, 통제 매커니즘의 부재는 문제해결 실패의 주요 요인이 됨을 알 수 있었다. 그리고 개방형 문제를 해결하는 과정을 통해 이러한 통제수준이 향상됨이 관찰되었다.
넷째. 학생은 개방형 문제릍 통해 반성단계는 검산을 하는 단계라는 생각이 수정되어. 문제의 다른 해결 방법은 무엇인지에 대해 생각하는 하는 등, 반성단계의 필요성을 인식하게 되었다. 그리고 개방형 문제는 실생활의 적용 및 일반화하는 과정을 통해 문제해결력 향상에 긍정적 영향을 미칠 수 있음을 알게 되었다.
다섯째. 개방형 문제를 해결하는 과정에서는 학생으로 하여금 Polya의 문제해결과정이 상호 순환하여 일어나도록 하여, 학생의 유연한 사고와 메타인지적 능력의 향상을 촉진함을 알 수 있었다.
마지막으로 자기평가 대화표와 면담을 통해 개방형 문제가 답이 하나인 문제를 푸는 것보다 조금 어렵지만 부정적 반응은 나타나지 않았으며 오히려 재미있고 성취감을 느낌을 알 수 있었다. 또한 학생은 기존에 예상했던 것보다, 개방형 문제는 "일반적 수업보다 수학적 신념체계에 매우 긍정적 영향을 미치며, 학생들에게 도전감을 주고. 수학적 힘을 길러줄 수 있음도 알 수 있었다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

In the 21C as it is an information age, problem solving abilities are just required. However the problems in textbooks presented to children at classes, mostly they are closed ones that are standardized, asking one-answering, therefore they are not enough to stimulate students' independence on learning nor bring up their 'problem solving abilities. Besides they make students form negative beliefs and attitudes toward mathematics. This study, initiated with interest in Student's Processes of Problem Solving, suggests computing answers by the capacity of an individual student and using open-ended problems, which were expected to improve problem solving abilities to show mathematical thinking features.
It was subjected to one middle school student conducted five times, once a week, a span of one-hour, respectively with lessons on geometry of eighth grader of mathematics curriculum and is to use a qualitative case study method. Particularly, it avoided using a quantitative study method to practice open-ended problems and pursues introducing student's answer papers on open-ended problems specifically. Accordingly it presented how the student did his mathematical thinking, what he needed for that and how the metacognitive factor appeared.
The result of this study was documented according to Polya's four problem solving steps, comprehending the thinking features on the process of open-ended problem solving of students in eighth grader of mathematics.
Based on those results, the following conclusions were drawn:
First, in the process of solving an open-ended problem, the student tended to neglect the stage of understanding a problem. However as the lessons proceeded with practicing an open-ended problem, the student was observed to read and understand it with more prudence and also to be able to simplify the problem and skip the concrete thinking processes.
Second, the student did the concrete thinking when devising a plan on solving open-ended problems and he was not good at explaining his plan clearly. Nevertheless the student attempted to solve the open-ended problem with more various ways and became to have the metacognitive knowledge, leading him to think back on his thinking processes systematically.
Third, to survey the stage of Carrying Out the Plan in the process of solving an open-ended problem, it was an effective control to make the student an excellent problem solver or a failing factor to be absence of control mechanism. Also, it is observed that such control level was improved through the process of solving open-ended problems.
Fourth, the student recognized the necessity of looking back stage through open-ended problems, adjusting his thought on it as a checking accounts to as deriving other ways of solving problems. The open-ended problems affected positive influence on improving problem solving ability through applying to and generalizing of mathematical problems in actual life.
Fifth, in the process of solving open-ended problems, the student was stimulated to grow metacognitive capacity and flexible thinking by mutual circulation of Polya's problem solving steps.
Lastly, it was found by interviewing with the student that although open-ended problems were more difficult to solve than one-answer problems, there was no negative reactions, instead he enjoyed it and had the sense of achievement. The student was influenced positively by far on forming mathematical belief systems, providing him a challenging spirit and developing his mathematical power, compared a regular math-class to one with open-ended problem, more than expected.

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ. 서론 = 1
• 1. 연구의 필요성 및 목적 = 1
• 2. 연구 문제 = 4
• 3. 용어의 정의 = 4
• 4. 연구의 제한점 = 6
• Ⅱ. 이론적배경 = 7
• 1. 개방형 문제(Open-ended Problem) = 7
• (1) 개방형 문제의 역사적 배경 = 7
• (2) 개방형 문제의 개념 및 정의 = 8
• (3) 개방형 문제의 유형 = 11
• (4) 개방형 문제의 교육적 가치 = 12
• (5) 개방형 교수법에 의한 수업 전개 = 13
• 2. 문제해결(Problem-Solving) = 15
• (1) 문제해결의 의미 = 15
• (2) 문제해결의 수학적 의의 = 15
• (3) 문제해결 과정 = 16
• (4) 문제해결 과정과 메타인지 = 20
• 3. 선행연구의 고찰 = 32
• Ⅲ. 연구 방법 및 절차 = 35
• 1. 연구의 대상 = 35
• 2. 연구의 도구 = 36
• 3. 자료의 수집 및 분석 방법 = 38
• 4. 연구의 절차 = 40
• Ⅳ. 연구의 결과 = 41
• 1. 차시별 실제 수업의 관찰결과 및 분석 = 41
• 2. 자기평가 대화표 및 면담를 통해 본 관찰 결과 = 71
• Ⅴ. 결론 및 제언 = 73
• 1. 결론 = 73
• 2. 제언 = 81
• 참고 문헌 = 85
• ABSTRACT = 92
• 부록Ⅰ-(Ⅰ) = 94
• 부록Ⅰ-(Ⅱ) = 95
• 부록Ⅰ-(Ⅲ) = 96
• 부록Ⅰ-(Ⅳ) = 98
• 부록Ⅰ-(Ⅴ) = 99
• 부록Ⅱ = 100