수학교과서에서 나타난 미적분 개념의 접근방식과 학생들의 미적분 개념의 이해

국문 초록 (Abstract)

미적분에서의 수학은 무한, 무한소, 변화율, 접선, 도함수 등의 개념을 기초로 한 학문으로써 미적분을 배우는 학생들은 이 개념의 이해를 바탕으로 기초적인 개념학습을 중요시해야 한다.
하지만, 기초 개념인 극한의 불충분한 이해와 한정된 수업시간동안의 입시교육이 시행됨에 따라 대부분의 학생들은 미분의 기초개념에 대한 이해가 부족하게 되고, 따라서 더 높은 수준의 학습수준으로 이어지지 못하여 수업시간이 지겹고 암기위주의 학습이 되고 있는 현실이다.
실제로, 미적분학 개념은 직관적으로 이해하기에는 많은 어려움이 따르고, 지필환경에서의 미적분학 개념의 지도는 한계가 있다. 그러므로 고등학교 수준에서는 개념의 원리나 이해보다는 형식적인 정의와 공식화된 풀이방법을 지도하고 있다. 이와 같은 학교수학은 미적분학의 개념을 학생들이 재미와 흥미를 느끼면서 배울 수 있도록 교과서의 활용의 극대화와 지도방법을 강구해야 하며 개념 이해에 도움이 될 수 있는 각종 방법이 제시되어야 하겠다.
따라서, 본 연구에서는 미적분학을 배우기 시작하는 제 7차교육과정의 고등학교 수학Ⅱ 교과서와 대학 미적분 교과서로 주로 사용되는 교과서에서의 미적분의 주요개념의 정의와 서술내용을 비교할 것이며, 또한 컴퓨터를 어떻게 활용할 수 있는지? 끝으로 고등학생과 대학생들의 모집단으로부터 얻은 설문조사의 결과를 통하여 학생들의 이해정도를 분석하고자 한다.
이를 위하여 다음과 같이 연구문제를 설정하였다. (1)미적분 교과서의 미분개념에 사용되는 주요 용어를 비교해 보고, 개념 설명에 대한 접근방식은 어떠한가? (2)미분개념 지도에 컴퓨터를 어떻게 활용할 수 있는가? (3)고등학생·대학생들의 미적분 주요개념에 대한 이해도를 조사한다.
연구문제(3)의 결과분석방법으로는 각 문항에 대한 답지별 정답율과 문항별 평균을 산출하여 비교하였다.
본 연구의 결과는 (1) 교과서간의 정의와 서술의 내용의 차이가 나타났으며, 교과서에서 사용하는 정의를 설명하기 위한 표현중에 학생들의 이해하기에는 어려운 정의가 있었다. (2) 직관적인 개념이해에는 어려움이 따르므로 컴퓨터를 활용하여 지도하는 다양한 방법이 존재함을 알 수 있다. (3) 교과서의 내용을 바탕으로 한 설문 조사에서 알 수 있듯이 많은 학생들이 기본적인 개념에 대한 이해가 부족하다. 더구나 고등학생보다 더 성적이 좋은 것으로 기대됐던 대학생 집단의 성적이 더 낮았던 것은 고등학교때 이해위주의 학습보다는 암기위주의 교육이 이루어졌기 때문으로 결론지어진다.
본 연구에서는 교과서에서 나타난 적절하지 못한 정의의 표현과 학생들이 공통적으로 개념 이해에 어려움을 느끼고 있는 미적분학의 특정한 개념을 알 수 있었다. 이런 사실을 교사가 인지함으로써 학생들에게 충실한 개념지도가 될 수 있게 하는 참고자료로 활용할 수 있을 것이다.

목차 (Table of Contents)

• 국문요약 = ⅰ
• 목차 = ⅲ
• Ⅰ. 서론 = 1
• 1. 연구의 필요성 = 1
• 2. 연구의 목적 = 2
• Ⅱ. 미적분의 역사적 개념 = 3
• 1. 도함수 개념의 역사적 발달 = 3
• 1) 도함수 = 3
• 2) 극한개념 = 7
• Ⅲ. 교과서에 나타난 미분적분학 = 12
• 1. 미적분 관련 용어 정의 = 12
• 1) 평균변화율 = 12
• 2) 미분가능성 = 14
• 3) 순간변화율(미분계수) = 16
• 4) 도함수 = 18
• 2. 미적분 관련 용어 서술 = 20
• 1) 평균변화율 = 20
• 2) 미분가능성 = 23
• 3) 순간변화율(미분계수) = 26
• 4) 도함수 = 30
• Ⅳ. Technology 도입에서 도함수 의미 설명 = 34
• 1. 곡선의 확대로 본 도함수의 의미 = 34
• 2. 접선의 시각적인 표현 = 37
• 3. 접선의 기울기를 이용한 도함수 구하기 = 42
• Ⅴ. 미분개념 이해도 분석을 위한 설문조사 = 46
• 1. 대상 = 46
• 2. 도구 = 46
• 3. 조사방법 = 48
• 4. 결과 분석 방법 = 48
• Ⅵ. 미분개념 이해도 = 49
• 1. 미분개념에 관한 문항별 평균 = 49
• 2. 미분개념 이해 = 51
• 1) 평균변화율의 정의이해 = 51
• 2) 미분가능성 이해 = 53
• 3) f'(a)의 이해 = 56
• 4) 미분가능하면 미분계수의 존재여부 / 순간변화율의 정의 이해 = 58
• 5) 미분계수의 정의 / 순간변화율과 미분계수의 관계 이해 = 59
• 6) 도함수의 정의 이해 = 61
• 7) 도함수를 의미하는 기호 이해 = 63
• 8) 기학적인 도함수 의미 이해 = 65
• 3. 집단간 이해도에서 큰 차이를 보인 문항 = 68
• 4. 미분개념의 이해도가 저조한 문항 = 70
• Ⅶ. 요약 및 결론 = 74
• 1. 요약 = 74
• 2. 결론 = 76
• 참고문헌 = 77
• 부록 1 = 79