수학 영재프로그램 개발을 위한 볼록 다각형의 무게중심 연구 = A Study of the Centroid of Convex Polygons for the Program Development of Mathematicaliy Gifted

국문 초록 (Abstract)

Freudenthal은 현실을 매체로 하는 인간의 정신적 활동이 수학이며, 수학을 학습하는 최선의 방법은 수학적 지식을 전달받는 것이 아니라, 수학자가 자신의 수학을 창조하듯이 학생들이 스스로의 활동을 통해 수학이 형성되는 과정을 경험하고 재발명하는 것이라고 하였다. 특히, 다양한 분야에 호기심이 많고 새로운 문제 상황을 스스로 해결하려 하는 영재에게는 ‘실재(reality)’의 문제 상황을 실험이나 기타 활동을 통해 수학적으로 재발명할 수 있는 프로그램이 필요하다.
본 연구는 이러한 프로그램의 예로 지레의 원리를 기저로 한 다각형의 무게중심을 제안한다. 다각형의 무게중심은 실세계의 물리적 현상인 무게중심을 이상화하여 수학적으로 모델화한 개념이다. 이 때, 다각형은 점, 선, 면으로서 참조되는 물리 세계의 대상물을 가지고 있으므로 다각형의 무게중심 또한 점, 선, 면으로서의 경우를 생각해야 한다. 실제로 일반적인 다각형에서 점․선․면으로서의 무게중심은 일치하지 않기 때문에, 이것은 더욱 의미가 있다.
그러나 무게중심에 관한 선행연구와 교과서에서는 점․선․면으로서의 다각형의 무게중심을 구별하지 않거나 명확한 언급을 제시하지 않고 있다. 공과대학 재학생들을 대상으로 연구자가 실시한 설문의 결과에서도 점․선․면으로서의 다각형의 무게중심이 다르다는 것에 대한 인식이 매우 부족한 것을 알 수 있었다.
본 연구는 이러한 의식 하에 점․선․면으로서의 다각형의 무게중심을 연구하고, 무게중심 프로그램을 초등 영재 학생들에게 적용, 분석하여 교육적 시사점을 얻기 위한 목적을 지니고 있다. 먼저, 무게중심의 개념과 이와 관계된 물리법칙인 ‘지레의 원리’를 고찰하여 무게중심에 대한 이해를 도모하였다. 이어 선행연구와 교과서에 나타난 다각형의 무게중심 개념의 문제점을 분석하고, 점, 선, 면을 구별한 다각형의 무게중심의 의미와 무게중심 찾는 방법에 대하여 연구하였다. 이를 토대로 점, 선, 면을 구별한 다각형의 무게중심 프로그램을 조직하고 초등 영재 학생들에게 적용한 결과를 분석하였다.
초등 영재들은 삼각형의 무게중심을 이해했을 때 다각형의 무게중심을 공과대학 재학생들과 비슷한 수준에서 일반화하였다. 이는 무게중심 프로그램이 초등 영재에게 적용 가능하다는 것을 시사한다. 그리고 다양한 다각형의 무게중심을 점, 선, 면을 구별하여 물리적이고 현상적인 의미에서 지도하는 것이 학생들의 무게중심에 대한 오개념과 오류를 줄이고 사고의 유연성과 독창성 향상에 도움이 된다는 것을 발견하였다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

Freudenthal placed emphasis on the so-called, "Realistic Mathematics Teaching Approach". For talented students who are strongly inquisitive and apt to try to overcome difficulties which they face, this approach is more demanded. Particularly, programmes are needed to develop that provide opportunities for the talented students to formulate a "realistic" problem in mathematical ways.
In this work, a programme to find the center of gravity in a polygon is proposed as a mathematical gifted programme. The center of gravity in polygons, a realistic physical phenomenon, can be modelled mathematically. It can be challenging problem to the students as generally the center of gravities are different among polygons composed of a plane, dots and lines. Preceded studies as well as mathematics textbooks in terms of the center of gravity usually have not distinguished among the center of gravities in polygons composed of a plane, dots and lines. It was revealed by a survey specially conducted for this study on undergraduate students in college of engineering that the awareness of the difference among them are considerably low.
In this context, the center of gravities of polygons composed of a plane, dots and lines are investigated in this thesis. In addition, programmes are developed for talented students to grasp their understanding on the concept of the center of gravity.
Firstly, a review is given to understand the concept of the center of gravity with a particular focus on a physical principle of leverage. Secondly, analyses are made on preceded studies as well as mathematical textbooks. Thirdly, methods to find center of gravities in polygons are investigated. Lastly, a gifted programme is developed and the result of application of which to talented students is analysed.
Interestingly, talented students in elementary school level could generalise the concept of center of gravity to polygons after understanding the concept in a triangle as undergraduate students in college of engineering. The concept of the center of gravity is found to be one of good "realistic" problems to formulate in mathematical ways applicable to talented students in elementary school level. The programme developed here can improve their understanding on the concept of center of gravity in polygons regardless of its composition of a plane or dots or lines. In addition, their creativity and flexibility of thoughts are expected to improve by the programme.

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ. 서론 1
• 1. 연구의 필요성 및 목적 1
• 2. 연구내용 및 문제 5
• Ⅱ. 이론적 배경 6
• 1. 무게중심의 개념 6
• 2. 지레의 원리와 무게중심 11
• 3. 무게중심에 관한 선행 연구 19
• Ⅲ. 연구방법 32
• 1. 문헌연구 32
• 2. 점․선․면으로서의 볼록다각형의 무게중심 탐구 33
• 3. 무게중심에 대한 공과대학 재학생들의 인식조사 34
• 4. 1차 프로그램의 적용 분석 36
• 5. 2차 프로그램의 적용 분석 38
• Ⅳ. 점․선․면으로서의 볼록다각형의 무게중심 탐구 40
• 1. 삼각형의 무게중심 40
• 2. 사각형의 무게중심 52
• 3. 볼록다각형의 무게중심 62
• Ⅴ. 무게중심 프로그램의 개발 및 적용 결과 분석 66
• 1. 무게중심에 대한 공과대학 재학생들의 인식 조사 66
• 2. 초등 수학영재 학생을 대상으로 한 1차 무게중심 프로그램 개발 및 적용 결과 분석 76
• 3. 초등 수학영재 학생을 대상으로 한 2차 무게중심 프로그램 개발 및 적용 결과 분석 90
• Ⅵ. 결론 107
• 1. 요약 107
• 2. 결론 112
• 3. 제언 114
• 참고문헌 116
• 영문초록 118