수학적 모델링을 통한 개념적 지식과 절차적 지식의 연결 : 삼각비 단원을 중심으로 = Connecting Conceptual and Procedural Knowledge through Mathematical Modeling: Focusing on the Trigonometric Ratio Unit

국문 초록 (Abstract)

본 연구는 중학교 3학년 삼각비 단원에서 개념적 지식과 절차적 지식의 함양 및 두 지식의 연결을 촉진하기 위한 방안으로서 수학적 모델링 과제의 효과를 탐색하기 위해 수행되었다. 이를 위해 Blum & Leiss(2007)가 제시한 수학적 모델링 과정을 바탕으로 삼각비 단원에 적합한 수학적 모델링 과제를 개발하였으며, 사전 및 사후 평가를 통해 학생들의 지식 변화 양상을 분석하였다.
사전 및 사후 평가는 학생들의 삼각비에 대한 개념적 이해, 절차적 숙련, 두 지식의 연결 수준을 진단하기 위해 구성되었고, 모델링 과제는 이러한 지식들을 실제 맥락 속에서 통합적으로 활용하도록 설계되었다. 사후 평가 결과, 모든 문항에서 정답률이 향상되었으며 특히 개념적 지식과 절차적 지식의 연결 영역에서 뚜렷한 향상이 나타났다. 학생들은 삼각비의 개념을 단순한 공식 암기에서 벗어나 닮음을 활용한 비율적 개념으로 이해하였고, 계산 절차를 수행하는 과정에서도 그 이유를 개념적으로 설명하는 사고를 보였다. 또한 각도의 변화에 따른 삼각비 값의 변화를 스스로 해석하며 개념적 지식과 절차적 지식을 통합적으로 활용하는 모습을 보였다.
이러한 결과는 수학적 모델링 과제가 단순한 문제 해결 과제가 아니라, 개념적 이해의 확장과 절차적 수행의 내면화를 동시에 촉진하는 교수·학습 도구로 기능할 수 있음을 시사한다.
따라서 수학 교육에서는 단원 내 핵심 개념을 중심으로 과제를 변형하여 개념, 절차, 연결이 동시에 작동하는 모델링 기반 과제 설계가 필요하며, 이를 뒷받침하기 위한 평가 체계의 다차원화 및 교사 연수의 강화가 요구된다.
또한, 본 연구의 접근 방식은 삼각비 단원뿐만 아니라 함수, 기하, 확률 등 개념적·절차적 통합이 요구되는 다양한 수학 영역으로 확장될 수 있으며, 이를 통한 지속적이고 전이 가능한 학습 효과에 대한 후속 연구가 필요하다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

This study was conducted to examine the effectiveness of mathematicalmodeling tasks as a pedagogical approach for fostering the development ofconceptual and procedural knowledge, as well as for promoting the connectionbetween these two types of knowledge, within the trigonometric ratio unit taughtin the ninth grade.
Based on the mathematical modeling process proposed by Blum and Leiss(2007), modeling tasks appropriate for the trigonometric ratio unit were developed,and students’ changes in knowledge were analyzed through pre- andpost-assessments.
The assessments were designed to diagnose students’ conceptual understanding,procedural fluency, and the level of connection between the two types ofknowledge, while the modeling tasks were structured to enable students tointegrate and apply these forms of knowledge within real-world contexts.
The post-assessment results revealed improvements across all items, withparticularly notable gains in the connection between conceptual and proceduralknowledge. Students demonstrated a shift from merely memorizing formulas tounderstanding trigonometric ratios as proportional relationships derived fromsimilarity. Moreover, during the execution of procedural tasks, they were able toconceptually justify their reasoning and interpret the variation of trigonometricvalues as the angles changed, reflecting an integrated use of conceptual andprocedural understanding.
These findings suggest that mathematical modeling tasks function not merely asproblem-solving exercises, but as effective instructional tools that simultaneouslypromote conceptual expansion and internalization of procedural knowledge.
Therefore, mathematics education should emphasize modeling-based task designcentered on core unit concepts, enabling concept, procedure, and connection tooperate synergistically. Furthermore, the diversification of assessment frameworksand enhancement of teacher training are required to support this approach.
Finally, the pedagogical approach of this study can be extended beyond thetrigonometric ratio unit to other mathematical domains, such as functions,geometry, and probability, where the integration of conceptual and proceduralknowledge is essential, calling for further research into its long-term andtransferable learning effects.

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ. 서론 1
• 1. 연구의 필요성과 목적 1
• 2. 연구문제 3
• 3. 연구의 제한점 3
• Ⅱ. 이론적 배경 4
• 1. 개념적 지식과 절차적 지식 4
• 2. 삼각비 단원에서의 개념적 지식과 절차적 지식 5
• 3. 수학적 모델링 7
• Ⅲ. 연구 방법 11
• 1. 연구 대상 11
• 2. 연구 절차 11
• 3. 검사도구 및 수학적 모델링 과제 12
• Ⅳ. 연구 결과 19
• 1. 사전 평가 결과 19
• 2. 수학적 모델링 수업 20
• 3. 사후 평가 결과 31
• Ⅴ. 결론 및 제언 36