초등학교 4학년 학생들의 수학 문제해결과정에서의 시각적 표현 = The Fourth Graders' Visual Representation in Mathematics Problem Solving Process|RISS 상세보기

국문 초록 (Abstract)

본 연구는 초등학교 4학년 학생들의 수학 문제해결 과정에서 나타나는 시각적 표현이 어떠한지를 알아보고, 이를 바탕으로 수학 문제해결에 유용한 시각적 표현을 효과적으로 지도하기 위한 방안을 모색해 보는데 그 목적이 있다. 이를 통해 학생들의 문제해결과정에서의 시각적 표현에 대한 심도 깊은 이해를 도모하여 문제해결에 관한 교수․학습 방법에 시사점을 얻고자 한다. 이와 같은 연구의 목적을 달성하기 위하여 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다.

1. 초등학교 4학년 학생들의 문제해결 과정에서 나타나는 시각적 표현은 어떠한가?

2. 초등학교 4학년 학생들의 문제해결과정에서의 시각적 표현 지도방안은 무엇이고, 결과는 어떠한가?

본 연구에서는 이러한 연구 문제를 해결하기 위하여 심층면담과 교수실험을 통한 질적 사례연구 방법을 적용하였다. 구체적으로 연구 문제 1을 해결하기 위하여, 서울D초등학교 4학년 1개 학급을 대상으로 학생들의 문제해결과정에서의 시각적 표현이 어떠한지에 관한 검사를 실시하고 그 결과를 분석하였으며, 검사지 분석 결과 문제해결과정에서의 시각적 표현에 특징을 보이는 학생 4명을 선정하여 심층면담을 실시한 후 그 결과를 분석하였다.
연구 문제 2를 해결하기 위하여, 본 검사 및 심층면담 결과, 교과서 분석 결과, 관련 문헌 및 선행 연구 분석을 바탕으로 문제해결과정에서의 시각적 표현 지도의 방향을 마련하였다. 이러한 지도의 방향을 토대로 문제해결과정에서의 시각적 표현 지도를 위한 7차시 수업 프로그램을 개발하였고, 이를 심층면담 대상자를 포함하여 모두 6명의 학생들에게 적용하였다. 그리고 수업 프로그램의 적용 과정에서 나타나는 학생들의 특징적인 반응과 오류 개선 과정 등을 분석하였다.

본 연구를 통해 얻은 결과는 다음과 같다.

첫째, 본 검사의 결과를 통해 성취도와 시각적 표현 사이의 관계를 살펴보면, 본 검사에서 맞은 개수가 많은 학생일수록 시각적 표현 점수가 높게 나타났다.
둘째, 학생들은 문제해결과정에서 기호적 표현인 ‘식 세우기’를 가장 우선시 하는 경향이 있다. 본 검사지가 문제해결에 시각적 표현이 결정적인 역할을 하는 문제들로만 구성되었음에도 불구하고 성취도가 낮은 학생들의 경우 주로 식을 세워서 문제를 해결하려고 시도하거나 무응답 반응을 보였다.
셋째, 학생들이 문제해결을 위해 시각적 표현을 시도했다고 하더라도 ‘무엇을’, ‘어떻게’ 표현해야 하는지를 모르는 경우가 종종 있었다. 문제 상황에 등장하는 대상의 외적인 모습을 그대로 드러내는 그림 표현을 하거나, 주어진 문제 상황을 전혀 반영하지 못하는 엉뚱한 표현을 하는 경우도 발견되었다.
넷째, 학생들의 시각적 표현이 문제 상황을 도식적으로 표현하고 있다고 하더라도, 주어진 조건들을 서로 관련시켜 세심하게 표현하지 못하여 오답에 이르는 경우가 많았다. 즉 문제 해결을 위한 결정적인 단서가 되는 조건들을 모두 포함시키지 못하고 있는 것이다.
다섯째, 학생들의 시각적 표현이 성공적인 문제해결로 이어지지 못하는 또 다른 이유는 학생들이 시각적 표현을 했다고 하더라도 기호적 표현을 하는 과정에서 오류가 발생하는 경우가 있다. 이는 학생들의 기호적 표현이 시각적 표현에서 끌어내어지는 것이 아니라 시각적 표현과는 관계없이 이미 머릿속에 전제하고 있던 대로 이루어지거나, 시각적 표현을 기호적 표현으로 옮기는 과정이 성급하게 이루어져 세심한 주의가 부족했기 때문이다.
여섯째, 학생들은 특정 대상에 대한 그림 표현과 도식 표현을 비교해 보는 활동과, 문제 상황에 대한 그림 표현과 도식 표현의 예를 제시하고 이를 바탕으로 문제를 해결해 보는 활동을 통해 도식 표현의 의미와 방법 및 문제해결에 있어서의 유용성에 대해 인식하게 되었다.
일곱째, 학생들은 동일 대상이 포함된 여러 문제를 해결함으로써, 동일한 대상이 문제 상황에 따라 다르게 표현되어야 함을 인식하게 되었다. 또한 도식 표현의 결과가 문제에 주어진 대상의 외적 특성을 나타낼 필요가 없음을 깨닫게 됨으로써 도식 표현의 추상적 특성을 인식하게 되었다.
여덟째, 학생들은 4가지 도식표현유형을 적용한 문제해결 경험을 통해 각각의 도식표현유형을 적용하여 해결할 수 있는 문제의 특징을 이해하였으며, 문제해결과정에서 시각적 표현을 구성하는 방법을 알게 되었다.
아홉째, 각각의 문제를 해결하는 과정에서 ‘문제해결과정 5단계’ 중 특히 ‘문제 읽기’의 단계와 ‘시각화하기’의 단계를 강조하였으며, 특히 ‘시각화하기’ 단계를 ‘그리기’의 단계와 ‘관계 나타내기’의 단계로 세분화하여 학생들이 자신의 시각적 표현을 수정․보완해갈 수 있도록 함으로써 학생들은 문제 상황에 대한 올바른 시각적 표현을 구성하게 되었다.
마지막으로, 도식표현의 의미 및 도식표현유형에 대한 학습 결과 학생들은
특정 도식표현유형을 적용하기에 적합한 문제를 찾아 이를 적용하여 문제를 해결하는 모습을 보였으며, 한 발 더 나아가 특정 도식표현유형을 적용할 수 있는 문제에 대해서도 자신만의 독특한 도식 표현을 구성하는 모습을 보였다. 또한 학습한 4가지 도식표현유형을 적용할 수 없는 문제에 대해서도 학생 스스로 자신만의 독자적인 도식 표현을 구성해 내고 이를 통해 문제를 해결할 수 있게 되었다.

본 연구 결과로부터 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다. 먼저 연구 문제 1로부터 도출된 결론은 다음과 같다.
첫째, 연구 대상 학급을 대상으로 문제해결과정에서 나타나는 시각적 표현 검사지를 분석한 결과, 학생들의 문제해결에 있어서의 성취도와 문제해결과정에서의 시각적 표현의 활용 사이에는 깊은 관계가 있는 것으로 나타났다. 이는 선행연구의 결과와도 일치하는 것으로, 이처럼 성공적인 수학 문제의 해결과 시각적 표현의 활용 사이의 상관관계가 명백한 만큼, 학생들에게 문제해결을 위한 방법으로 문제해결과정에서 시각적 표현을 지도하는 것은 의미 있는 일이다.
둘째, 학생들은 문제해결에서 식 세우기에 치중하는 경향이 있는 것으로 드러났는데, 이는 학생들이 다루어왔던 문제들의 패턴이 대부분 ‘문장제’-‘식’-‘답’의 형태로 주어져 문제의 해결과정보다는 결과만을 요구해 왔기 때문이다. 이러한 현상은 성취도가 낮은 학생에게서 더 두드러지게 나타났는데 성취도가 낮은 학생일수록 시각적 표현 없이 기호적 표현만을 이용함으로써 오답에 이르는 경우가 많았다. 또한 시각적 표현을 했다고 하더라도 기호적 표현을 통해 답에 대한 전제를 미리 가지고 시각적 표현을 함으로써 시각적 표현을 통해 기호적 표현이 끌어내지지 못해 오답에 이르는 경우도 있었다. 학생들에게 문제해결과정에서 시각적 표현을 이용함으로써 성공적인 문제해결에 이를 수 있음을 지도함으로써 문제해결의 첫 단계가 식 세우기라는 학생들의 잘못된 인식을 수정해 할 수 있겠다.
셋째, 성취도가 높은 학생들이 수학 문제해결과정에서 시각적 표현의 유용성을 알고 스스로 문제해결에 시각적 표현을 활용할 수 있음에 반해, 성취도가 낮은 학생들은 시각적 표현이 문제해결에 이용될 수 있음을 인식하지 못하고 있다. 성취도가 낮은 학생들, 특히 문제해결을 시도조차 하지 못하여 무응답 반응을 보인 학생들에게 시각적 표현이 문제해결을 위한 방법이 될 수 있음을 지도함으로써 이들이 최소한 문제해결을 위한 어떤 시도를 할 수 있게 해 줄 수 있다.
넷째, 선행연구에서는 시각적 표현을 도식 표현과 그림 표현으로 나누어 그림 표현을 도식 표현과 같은 비중을 두고 다루었던 것에 반해, 본 검사에서는 그림 표현이 차지하는 비중이 그리 크지 않았다. 그러므로 학생들이 문제 상황을 그림 표현으로 나타내는 문제에 대해서는 도식 표현의 의미를 지도함으로써 해결할 수 있겠고, 시각적 표현 지도는 도식 표현의 방법에 초점을 맞추어 이루어져야 하겠다.
다섯째, 학생들이 문제해결을 위해 시각적 표현을 한다고 하더라도 성공적인 문제해결에 이르지 못하는 경우가 많았는데, 이는 학생들이 문제에 주어진 조건 중 ‘무엇을’ 표현해야 할지, 또 주어진 조건들을 ‘어떻게’ 서로 관련지어 세부적으로 표현할지 판단을 내리지 못하기 때문이다. 따라서 문제해결과정에서의 시각적 표현은 단계적인 과정을 통해 이루어지도록 지도하는 것이 바람직하다.

연구문제 2로부터 도출된 결론은 다음과 같다.
첫째, 학생들이 문제해결과정에서 시각적 표현을 이용해 성공적으로 문제를 해결하는 경험을 갖도록 함으로써 문제해결과정에서의 시각적 표현의 유용성을 인식할 수 있게 되었다. 학생들은 해결이 어려운 문제에 대하여 주어진 문제 상황을 시각적으로 표현해 보는 과정에서 올바른 해결 방법을 찾아내는 과정을 통해 문제해결과정에서의 시각적 표현의 유용성을 체득하게 되었는데, 이는 특히 문제해결과정에서 성급한 식세우기를 시도했거나 무응답 반응을 보인 학생들이 문제해결을 위한 하나의 새로운 방법을 알게 되었다는 측면에서 매우 긍정적인 의미를 갖는다고 하겠다.
둘째, 도식 표현 유형을 도입할 때 학생들에게 친숙한 시나리오를 제시하였는데 이는 학생들의 도식 표현에 대한 수용을 용이하게 하였다. 이는 학생들에게 친숙한 문제 상황을 제공하는 것은 학생들이 시각적 표현을 위한 새로운 도식 유형을 학습하는데 초점을 맞출 수 있게 해 줄 뿐만 아니라(Diezmann, 2002), 문제 상황이 학생들에게 친밀한 것일수록 문제에 대한 내적 표상이 쉽게 형성될 수 있기 때문이다. 따라서 문제해결과정에서의 시각적 표현에 대한 지도는 학생들에게 친숙한 것으로 시작할 필요가 있겠다.
셋째, 학생들에게 4가지 도식표현유형을 제시하여 문제해결과정에서 시각적 표현을 활용하는 방법을 지도한 결과, 학생들이 다양한 문제의 해결에서 시각적 표현을 활용할 수 있게 되었다. 학생들은 문제를 해결함에 있어 학습한 도식표현유형을 적용하여 이와 유사한 도식 표현을 하기도 하고, 전혀 새로운 도식 표현을 구성해 내기도 하였다. 이는 도식 표현 유형에 대한 학습을 하면 문제에 주어진 정보 사이의 관계를 파악할 수 있는 능력을 기르게 되어, 특정 도식으로 해결할 수 없는 새로운 문제에서도 시각적인 표현을 할 수 있게 된다는 선행연구의 결과와 일치하는 것이다(Diezmann, 2002). 따라서 도식표현유형을 통해 학생들이 문제해결과정에서 시각적 표현을 이용해 문제를 해결하는 경험을 갖도록 하는 것은 학생들의 앞으로의 문제해결에 긍정적인 영향을 미칠 수 있다.
넷째, 학생들이 보이는 문제해결과정에서의 시각적 표현에 있어서의 문제점 중의 하나인 그림 표현의 문제는, 문제해결과정에서의 시각적 표현 지도의 시작 단계에서 특정 대상에 대한 그림 표현과 도식 표현을 비교하여 도식 표현의 의미를 지도함으로써 쉽게 해결할 수 있었다. 즉 학생들은 도식 표현의 의미를 명확히 인식하게 됨으로써 문제 상황을 그림 표현으로 표현하는 것이 문제를 해결하는데 전혀 도움이 되지 않음을 쉽게 수용하게 되었다.
문제해결과정에서의 시각적 표현을 지도함에 있어서 가장 핵심적인 부분은 ‘무엇을’ ‘어떻게’ 도식 표현을 할 것인지를 지도하는 것이었는데, 이를 위해 4가지 도식표현유형을 경험하도록 하였다. 같은 유형으로 분류될 수 있는 문제들을 하나의 도식표현유형으로 묶어 문제 상황을 시각적으로 표현해 보는 경험을 함으로써 학생들은 ‘어떻게’ 도식 표현을 할 수 있는지를 익힐 수 있었다. 또한 각각의 문제 해결에서 ‘문제해결과정 5단계’를 거치도록 했는데, 특히 ‘문제 읽기’ 단계에서 주어진 문제 상황을 머릿속에 표현해 보도록 하고, ‘그리기’ 단계에서 문제해결을 위해 시각적으로 표현해야 할 ‘중요한 것’이 무엇인지를 찾아보도록 하는 과정을 거침으로써 학생들이 주어진 문제에서 ‘무엇을’ 표현해야 하는지를 인식하도록 할 수 있었다. 또한 ‘관계 나타내기’ 단계에서 ‘Re-arrange' 과정을 반복적으로 거치도록 함으로써 문제에 주어진 조건들을 세부적으로 관련시켜 나타내는 경험을 하도록 함으로써 ‘어떻게’ 도식 표현을 해야 하는지를 익힐 수 있었다.
이렇게 문제해결과정에서의 시각적 표현을 지도한 결과, 지도 방법이라는 측면에서 내릴 수 있는 결론은 문제해결과정에서의 시각적 표현의 유용성에 대한 인식과 시각적 표현을 이용한 성공적인 문제해결의 경험이 모두 중요하다는 것이다. 이는 학생들이 문제해결과정에서의 시각적 표현의 유용성을 알고 이를 다양한 문제를 해결할 때 활용할 수 있도록 하는 것과, 시각적 표현을 통해 성공적으로 문제를 해결하는 경험을 통해 시각적 표현의 유용성을 체득해 가는 것이 서로 상보적인 역할을 하기 때문이다. 이렇게 함으로써 학생들이 앞으로 문제를 해결할 때 시각적 표현을 문제해결을 위한 하나의 방법으로 자발적으로 활용할 수 있게 될 것이다.
다섯째, 문제해결과정에서의 시각적 표현을 지도함에 있어서 학생 개개인의 독자적인 표현을 강조하였다. 비록 4가지의 도식표현유형을 제시하여 지도하기는 했지만, 이것은 학생들에게 도식 표현의 경험을 제공하기 위한 하나의 예시적인 의미를 지니는 것으로, 문제 상황에 대한 시각적 표현이 크게 오류를 보이는 경우가 아니라면 학생들의 독자적인 표현을 존중해 주었다. 이는 학생들에게 문제해결과정에서의 시각적 표현을 지도하는 궁극적인 목표가 학생들이 앞으로 마주하게 될 많은 다양한 문제들에 대해 학생 스스로 시각적 표현을 구성해가면서 문제해결에 이르도록 하는 것이기 때문이다. 또한 동일한 문제에 대해서 학생들 저마다 서로 다른 내적 표상을 형성할 수 있고, 또 문제해결과정에서도 저마다의 방식으로 이러한 내적 표상을 변형시켜 가기 때문이다. 이렇듯 문제에 대한 학생들의 내적 표상이 다를 수 있는 만큼, 학생 개개인에게 동일한 표현 방법을 강요하기 보다는 학생 개개인의 시각적 표현을 존중해 주는 것이 바람직하다.
여섯째, 문제해결과정에서 시각적 표현을 이용하여 문제를 해결하도록 지도한 결과, 본 검사와 심층면담에서 학생들의 문제해결 과정에서 나타나는 문제점의 하나인 ‘성급한 식 세우기’의 문제를 개선할 수 있었다. 이는 ‘문제 읽기’와 ‘식 세우기’ 사이에 ‘시각적 표현하기’ 활동을 추가시켜 문제에 대한 내적 표상이 외적인 표현으로 구체적으로 드러나도록 함으로써 문제에 대한 명확한 이해 및 해결 방법의 발견을 가능하게 했기 때문인데, 이를 통해 학생들은 문제해결방법으로 시각적 표현을 활용하면서 식 세우기에 대한 지나친 의존에서 벗어날 수 있게 되었다. 이처럼 학생들이 문제해결과정에서 기호적 표현에 치중하는 것은 다양한 문제해결방법을 경험하지 못했기 때문으로, 문제해결과정에서 시각적 표현과 같은 다양한 문제해결 방법을 학습할 기회가 제공되어야 하겠다.

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본 연구는 초등학교 4학년 학생들의 수학 문제해결 과정에서 나타나는 시각적 표현이 어떠한지를 알아보고, 이를 바탕으로 수학 문제해결에 유용한 시각적 표현을 효과적으로 지도하기 위...