한국과 일본의 초등 수학교과서 비교 : 5, 6학년을 중심으로

윤지연 한국교원대학교 교육대학원 2012 국내석사

본 연구의 목적은 한국과 일본의 초등 수학교과서를 비교하여 두 나라의 교과서에서 제시되고 있는 ‘활동’과 ‘질문’이 학생들의 수학적 사고 형성을 위한 아이디어를 어떻게 제공하고 있는지 그 특징을 밝히고자 하는데 있다. 또한 수학 교육 개선 및 교과서 편찬에 유용한 참고 자료를 마련하는데 시사점을 제공하고자 하였다. 이 논문에서 답하고자 하는 연구문제는 다음과 같다. 첫째, 한국과 일본 초등 수학교과서의 전반적인 형식(구성 체제 및 조직)의 특징은 무엇인가? 둘째, 한국과 일본 초등 수학교과서의 ‘활동’ 제시 방식의 특징은 무엇인가? 셋째, 한국과 일본 초등 수학교과서의 ‘질문’의 구성 형태는 어떠한 차이를 보이는가? 이와 같은 연구문제를 해결하기 위하여 한국의 2007 개정 교육과정에 의해 발행된 5, 6학년의 수학교과서와 일본 GakkoTosho(학교도서주식회사)에서 발행된 ‘MATHEMATICS’ 6학년 검정 교과서(영문판)를 살펴보았고 공통적인 학습 내용을 다루고 있는 단원과 차시를 선정하였다. 단원의 차시별 내용 안에서 전개되는 흐름을 파악하여 같은 맥락 속에서 활동과 질문 중심의 질적 내용에 대한 비교를 하기 위해서 두 나라 수학교과서의 단원 체제 및 조직 내용에 대한 비교를 진행하였다. 활동 제시 방식의 비교를 위해서 구체적인 학습 내용의 전개 방식을 중심으로 비교하였고 질문 구성 형태는 Bloom의 질문 분류 체계에 준거하여 비교를 실시하였다. 한국과 일본 Gakkoh Tosho 수학교과서의 구성 체제 및 조직의 특징에서는 기존에 동경서적 주식회사와 신흥출판사의 검정교과서를 대상으로 이미 이루어진 선행 연구와 큰 차이를 보이지 않는 것으로 나타났다. 그러나 본 연구는 교과서의 외형적 요소에 대한 비교보다는 한국과 일본 Gakkoh Tosho의 수학교과서에 제시된 ‘활동’과 ‘질문’에 중점을 두어 비교를 진행하였고 다음과 같은 특징을 보였다. 첫째, 한국의 수학교과서는 학습 내용의 도입에 있어 구체적인 문제 상황으로 제시하는 경우와 구체적인 문제 상황 없이 산술식만으로 제시하는 경우가 있었다. 반면에 일본 Gakkoh Tosho의 수학교과서는 일관된 문제 상황으로 활동을 제시하고 있었다. 특히 분수의 곱셈과 나눗셈과 관련하여 산술식에 의한 계산 과정 이해과 해결도 중요하지만 구체적인 문제 상황을 파악하여 문제 해결에 필요한 수학적 원리와 자연스럽게 연결시키는 것이 더 중요하다. 둘째, 학습 내용을 도입하는 활동 제시 방식에 있어 한국의 수학교과서는 다양한 생활 소재를 독립적으로 사용하였다. 반면에 일본 Gakkoh Tosho의 수학교과서는 일관된 소재와 문제 상황을 사용하였다. 이것은 연관되는 개념의 경우 같은 상황에서 다르게 적용되는 개념에 대한 비교를 가능하게 하여 각각의 독립적 상황을 제공하였을 때 보다 개념적 이해를 높일 수 있을 것이다. 그러나 다양한 생활 소재를 활용한 구체적인 문제 상황 도입을 통해서도 학생들이 떠올릴 수 있는 경험을 풍부하게 하는 장점이 있으므로 이 두 가지 방법을 통합하여 각 활동의 도입부에는 통일된 생활 소재와 일관성 있는 문제 상황을 제시하고 마지막 부분에 다양한 생활 소재와 문제 상황을 제시하는 것이 좋을 것이다. 셋째, 탐구 과정을 안내하는 활동 제시 방식에 있어 한국의 수학교과서는 문제 해결을 위한 해결 방법을 직접적으로 제시하기 보다는 형식적 지식을 바탕으로 탐구 과정에 대한 안내를 주로 제시하고 있다. 따라서 한국의 수학교과서는 다양한 문제 해결 방법을 학생 스스로 해결하도록 함에 있어 보다 많은 기회를 제공할 수 있다는 장점이 있으나 형식적 지식과 의미있게 연결될 수 있는 비형식적 지식에 대한 가능성의 언급이 부족하여 결국 학생들의 사고가 형식적 지식에 제한될 수 있다는 문제점이 있다. 반면에 일본 Gakkoh Tosho의 수학교과서는 문제 해결에 대한 형식적 지식과 함께 ‘○○○의 생각’을 통해서 비형식적 지식도 함께 제시하고 있다. 이렇게 교과서를 통해 제시되는 형식적 지식과 비형식적 지식은 다양한 해결 방법에 대해서 학생들이 미처 생각해내지 못한 방법을 안내할 수도 있고 교과서를 통해 제시되어있는 문제 해결 방법에 대하여 구성원끼리 수학적 의사소통을 가능하게 하는 소재를 제공할 수 있다는 장점이 있다. 다만 일본 Gakkoh Tosho의 수학교과서에서 제시하고 있는 비형식적 지식을 포함한 다양한 문제 해결 방법들이 오히려 학생들로 하여금 사고의 폭을 제한시킬 수도 있다는 문제점이 있기 때문에 비형식적 지식이 형식적 지식과 의미 있게 연결될 수 있도록 안내하는 과정도 꼭 필요하다고 판단된다. 따라서 학생들 스스로 주어진 문제를 해결할 기회를 충분히 제공한 후에 다양한 해결 방법을 제시해 주어진다면 학생들에게 다양하고 폭 넓은 수학적 사고를 위한 바탕을 마련해 줄 수 있고 학생들이 생각한 방법과 다른 여러 가지 방법에 대하여 수학적 의사소통할 수 있는 기회를 제공해 줄 수 있다. 넷째, 질문의 구성 형태에 있어서 Bloom의 분류 체계에 의하여 두 나라의 교과서는 ‘적용’을 요구하는 질문이 가장 많이 나타났다. 한국의 수학교과서는 ‘종합’, ‘평가’를 요구하는 질문이 다른 질문 수준에 비하여 상대적으로 적었으며 일본 Gakkoh Tosho의 수학교과서에는 전혀 등장하지 않았다. 따라서 한국의 수학교과서는 보다 높은 수준의 사고 확장을 위해서 ‘종합’과 ‘평가’ 수준을 요구하는 질문에 대한 구성을 보완할 필요가 있다. 다섯째, 질문의 구성 형태에 있어서 한국의 수학교과서에서 제시하고 있는 질문의 수가 상당히 많았으며 반복적인 형태를 지니고 있었다 반면에 일본 Gakkoh Tosho의 활동에서 나타나는 질문은 보다 덜 제한적인 형태를 지니고 있었으나 질문에 대한 대답이 말풍선 형식의 힌트와 ‘○○○의 생각’으로 대부분 바로 아래에 제시되어 있는 경우가 많았다. 따라서 반복적인 질문의 형태는 학생들의 사고를 자극하기 힘들기 때문에 보다 참신하고 다양한 질문을 구성하여 문제 해결에 대한 아이디어 구성을 도울 필요가 있다. 여섯째, 질문의 구성 형태에 있어서 일본 Gakkoh Tosho의 수학교과서가 ‘적용’ 수준 위주의 질문을 구성하였지만 한국의 수학교과서는 ‘분석’ 수준의 질문도 함께 제시하였다. 이과 같은 ‘분석’ 수준의 질문은 교과서 전체에 걸쳐 자주 등장하고 있는데 이러한 질문의 구성을 통해 주어진 정보의 관계를 탐색하는 능력을 요구하는 것은 바람직하다고 할 수 있으나 다만 똑같은 내용의 질문으로 반복되기 때문에 학생들에게 호기심을 일으킬 수 없다는 단점이 있으므로 한국의 수학교과서는 반복적인 형태의 질문 구성을 벗어날 필요가 있다. 이러한 논의를 바탕으로 한국의 수학교과서는 교과서 편찬에 있어서 학생들의 수학적 사고 형성을 위한 아이디어 제공 방식에 대하여 고려할 필요가 있다.

초등학교 수석교사의 수학교과서 활용

김택준 한국교원대학교 대학원 2012 국내석사

본 연구의 목적은 초등학교에 근무하는 수석교사 중 수학 교과에 관심있는 교사들의 수학 교과서에 대한 인식 및 활용 실태를 알아보고 열린 교과서관을 가지고 있는 교사가 실제로 수학 교과서를 어떻게 활용하는지를 살펴봄으로써 교사들의 수학 교과서 활용에 대한 시사점을 얻고자 하는 것이었다. 이에, 본 연구에서 설정한 연구문제는 다음과 같다. 1. 초등학교에 근무하는 수석교사 중 수학 교과에 관심있는 교사들의 교과서에 대한 인식 및 교과서 활용 실태는 어떠한가? 2. 연구 문제 1에 참여한 교사 중 열린 교과서관을 갖는 교사의 수학 교과서 활용의 실제는 어떠한가? 위의 연구문제를 달성하기 위하여 본 연구에서는 조사 연구와 사례 연구가 혼합된 혼합연구를 진행하였다. 먼저 초등학교에 근무하는 수석교사 중 수학 교과에 관심있는 교사들이 교과서를 어떻게 인식하는지, 그리고 수학 교과서를 어떻게 활용하는지 알아보기 위하여 수학 교과서에 대한 인식 및 활용 실태에 관한 설문지를 제작하고 이를 각 시․도 초등학교에서 근무하는 수석교사 중 수학 교과에 관심있는 교사 각 30명 전체를 대상으로 배포․수합한 후 빈도 분석을 실시하였다. 다음 설문조사 결과를 바탕으로 열린 교과서관을 갖고 있다고 판단되는 교사 2명을 선정하여 수업을 관찰하고 면담 및 문서 자료를 활용하며 수업에 활용된 학습 자료를 분석하여 교사가 실제로 교과서를 어떻게 활용하는지 분석하였다. 본 연구에 대한 결과는 다음과 같다. 조사 연구에서는 ‘교과서에서 중요시되는 가치’, ‘수업에서의 교과서 활용’, ‘교과서와 연계된 자료 활용’, ‘교과서 재구성’, ‘이상적인 교과서’의 5개의 하위 범주에 해당된 대부분의 항목에서 열린 교과서관을 갖는 교사에 가까운 응답을 보였다. 교과서 이외의 자료를 활용하거나 교과서에서 제시하는 방법이나 순서를 재구성 또는 재조직하고, 교사들이 열린 교과서관에 맞는 이상적인 교과서를 생각하고 있다는 것을 알 수 있었다. 다만 현재의 교과서에 대한 인식에서 교사들의 응답이 엇갈리게 나타나는 것을 확인할 수 있었다. 조사 연구가 끝난 후 열린 교과서관을 가지고 있다고 판단되는 교사 2명을 선정하여 수업 전․후 인터뷰와 수업 관찰을 통해 교사가 교과서를 어떻게 활용하는지 실제를 살펴보았다. 두 교사 모두 연구 결과 1에서 제시된 하위 범주 중 교과서 활용과 관련된 3개 범주를 중심으로 살펴보았는데 연구 결과 1에서 교사들이 응답한 결과와 일치하는 모습을 보였다. 이상의 결과를 바탕으로 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다. 첫째, 초등학교에 근무하는 수석교사 중 수학 교과에 관심있는 교사들의 수학 교과서에 대한 인식 및 수학 교과서 활용에 있어서 대체로 열린 교과서관에 바탕을 두고 있다는 것을 알 수 있었다. 이는 교사들이 교과서를 활용하면서 교과서가 교실 수업 전체를 지배하는 절대적인 위치에 있는 것이 아니라 수업에서 활용할 수 있는 수많은 자료들 중 하나라는 생각을 가지고 활용해야 한다고 본다. 또한 교육과정이 요구하는 사항은 반드시 달성하고 교과서에서 제시하는 핵심적인 개념은 반드시 전달해야 하지만, 그 외 교과서에서 제시하는 활동이나 자료 등은 교사가 반드시 따라야 할 필요가 없다고 보았다. 둘째, 조사 연구에 참여한 교사 중 열린 교과서관을 갖고 있다고 판단된 교사는 실제로 열린 교과서관에 맞게 교과서를 활용하고 있었다. 연구에 참여한 2명의 교사 모두 교과서가 다양한 학습 자료들 중 하나라고 인식하면서 교육과정에서 요구하는 사항과 교과서에 제시된 핵심 개념을 이해한 상태에서 교사의 의도에 맞게 교과서 내용이나 활동을 선택하고 변환한다는 것을 알 수 있었다. 일선현장에서 근무하는 교사들이 핵심 개념을 전달하는 데 더 좋은 활동과 더 좋은 자료가 있는지 고민해보고 핵심 개념을 더 잘 전달할 수 있도록 교사가 생각하고 얻은 활동과 자료를 활용하여 수업 중 활동 순서를 교사의 의도에 맞게 재조직해야 한다고 보았다. 연구의 실제에 참여한 교사들은 산출된 지식으로서의 자료보다는 과정을 중시하는 자료에 긍정적임을 알 수 있었다. 교과서와 연계된 자료를 활용하면서 교과서를 활동 자료로 사용하기도 하고 아예 사용하지도 않는 모습을 보였다. 또한 교사가 의도한 활동에 맞는 자료를 만들거나 수집하였으며 교사가 제시한 자료를 통해 학생들이 활동 중 과제를 해결함으로써 교과서에 제시된 핵심 개념에 도달하는 모습을 보였다. 두 교사 모두 과정을 중시하는 자료를 중요시한다고 볼 때, 핵심 개념에까지 이르게 되는 과정을 중심으로 하는 자료 활용, 학생들이 핵심 개념에 도달하기에 효과적인 자료 활용이 이루어져야 한다. 필요에 따라 교과서를 덮고 수업을 할 수 있는 용기도 필요하다. 연구에 참여한 두 교사는 교과서에 제시된 활동 이외에 교사들 나름대로 구상한 활동, 일상생활과 관련된 활동을 활용하여 재구성하기도 했다. 다른 교과와 연계학습을 하기 위한 재구성, 다양한 자료들을 활용한 재구성이 이루어졌다. 교과서에 없더라도, 타 교과라 할지라도 핵심적인 개념을 전달할 수 있는 활동이 있으면 그 활동을 바탕으로 학생 활동을 재구성하고 차시 학습과의 연계를 위해 과감하게 도입할 필요가 있다고 본다. 또한 일상생활에서 흔히 볼 수 있는 장면을 활용하거나 교과서 또는 교과서 외의 자료를 편집하여 학생 활동을 재구성할 때 활용할 수 있어야 할 것이다. 본 연구는 수학 교과서 활용에 대한 시사점을 얻기 위해 이루어진 연구이다. 따라서 초등학교에 근무하는 수석교사 중 수학 교과에 관심있는 교사들을 대상으로 연구가 진행되었다. 그러다 보니 연구 방향에 의해 일선 학교에서 근무하는 교사들에 대한 연구가 이루어지지 않았다. 일선 교사들을 대상으로 수학 교과서의 인식 및 활용 실태에 대한 조사 연구를 실시하여 본 연구 중 조사 연구의 결과와 어떤 차이점이 있는지 비교해 볼 필요가 있다. 또한 Kong & Shi가 제시한 교과서 사용 모델 수준과 교과서 사용 수준을 바탕으로 일선 학교에서 근무하는 교사들이 교과서 활용에 관하여 어떤 수준에 있는지 살펴볼 필요가 있다고 본다. 그리고 Kong & Shi가 연구했던 것처럼 사전‧사후 실험을 진행하여 교사들의 교과서 사용 수준이 어느 정도 향상되는지 알아보는 연구도 유용하리라 본다.

특수교육 수학과의 기본 교육과정 국제 비교 : 도형 영역, 측정 영역을 중심으로

곽은혜 한국교원대학교 대학원 2014 국내석사

본 연구는 2011 개정 특수교육 교육과정에 따른 수학과 기본 교육과정을 외국(일본, 독일 바이어른 주)의 교육과정과 비교․분석하여 우리나라의 수학과 기본 교육과정의 의의를 찾고, 향후 개선점이 무엇인지 알아보아 수학과 특수교육의 발전에 기초자료를 제공하는데 그 목적이 있다. 이와 같은 목적을 달성하기 위하여 본 연구는 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. 1. 국가별 수학과 기본 교육과정 도형 영역의 비교를 통해 얻을 수 있는 시사점은 무엇인가? 1-1. 교육내용의 적합성 측면 1-2. 교육내용의 적정성 측면 1-3. 교육내용 조직의 적합성 측면 2. 국가별 수학과 기본 교육과정 측정 영역의 비교를 통해 얻을 수 있는 시사점은 무엇인가? 2-1. 교육내용의 적합성 측면 2-2. 교육내용의 적정성 측면 2-3. 교육내용 조직의 적합성 측면 이상의 연구문제에 따른 연구결과는 다음과 같다. 첫째, 내용의 적합성 측면을 비교․분석한 결과, 도형 영역과 측정 영역 모두 독일 바이어른 주 교육과정에 기초적인 내용이 잘 제시되어 있었으며, 일본과 바이어른 주 교육과정에 기능적인 내용이 잘 제시되어 있어, 비교적 우리나라 교육과정에 제시된 기초적인 내용과 기능적인 내용이 부족하였다. 둘째, 내용의 적정성 측면을 비교․분석한 결과, 도형 영역에서 우리나라 교육과정에 제시된 학습 주제의 수가 가장 많았으나, 공간방향과 관련된 학습 주제의 수는 우리나라가 가장 적었다. 학습 주제의 도입 시기는 입체도형 범주의 학습 주제는 그 도입 시기가 같았으나, 공간 방향과 평면도형 범주에서는 일본 교육과정에 비해 우리나라 교육과정에서 한 두 단계 앞서 도입되는 학습 주제의 수가 많았다. 측정 영역에서 양의 측정 범주는 우리나라, 일본, 바이어른 주에 제시된 학습 주제의 양이 비슷하였으며, 시각과 시간 범주는 일본이 우리나라 교육과정보다 더 많은 학습 주제를 다루고 있었다. 또한 우리나라 교육과정에서 도입 시기가 한 단계 빠른 학습 주제의 수가 많았다. 셋째, 내용 조직 방식의 적합성을 비교․분석한 결과, 도형 영역에서 일본 교육과정에서와 달리 우리나라 교육과정은 공간방향 범주의 학습 주제가 한 단계에서만 일회적으로 제시되어 있었으며, 입체도형 범주는 우리나라와 일본 교육과정 모두 일회적으로 다루고 있었으나, 이는 평면도형 학습이 먼저 이루어져야 한다는 논리적 선행 요건에 따른 것이다. 평면도형 범주는 우리나라와 일본 교육과정 모두 여러 단계에 걸쳐 내용이 심화․확장되면서 연속적으로 다루고 있었으나, 일본 교육과정의 경우 하나의 학습 주제가 여러 단계에 걸쳐 제시되는 것으로 보아 교육과정이 나선형으로 구성되어 있음을 알 수 있었다. 측정 영역에서 양의 측정 범주의 학습 주제는 우리나라와 일본 교육과정 모두 연속적으로 제시되어 있었으나, 우리나라 교육과정에서 ‘넓이’와 관련된 학습 주제는 일회적으로 제시되어 있었다. 시각과 시간 범주의 학습 주제는 일본 교육과정이 초․중․고등학교 과정에서 다루고 있는 반면, 우리나라 교육과정에서는 초등학교 과정에만 제시되어 있었다. 이상의 연구결과를 통해 얻은 결론은 다음과 같다. 첫째, 중도․중복 장애학생들도 학습에 참여할 수 있도록 기초적인 내용을 강화하여야 하며, 특수교육대상학생의 궁극적인 교육목표인 자립 생활을 위해 기능적인 내용을 보다 강화하여야 한다. 둘째, 우리나라 수학과 기본 교육과정에서 도형 영역 학습 주제 중 추상적․관계적 기하 수준에 해당하는 내용을 삭제하고, 중핵적인 내용만을 선별하여서 학습 주제의 양을 조절하여야 한다. 셋째, 우리나라는 일본 교육과정에 비해 도입시기가 한 두 단계 앞서 있는 학습 주제가 많아 해당 학년 군에서 일본에 비해 그 수준이 높다고 할 수 있다. 넷째, 특수교육대상학생의 특성을 고려하여 하나의 학습 주제가 한 단계에서 일회적으로 제시하는 것이 아닌 일본의 나선형 교육과정 조직방식과 같이 두 세 단계에 걸쳐 연속적으로 제시하여 반복적으로 학습할 수 있도록 한다면 보다 효과적인 학습이 이루어질 것이다. 다섯째, 우리나라, 일본, 독일 바이어른 주 모두 대체적으로 도형 영역과 측정 영역의 학습 내용이 수학 내 다른 학습 내용과 통합적으로 잘 조직되어 있었다.

초기 대수적 관점에 따른 초등학교 4학년 함수적 사고 지도 방안

권보영 한국교원대학교 대학원 2012 국내석사

본 연구는 초등학교 4학년 학생들의 함수적 사고에 대한 질적 분석을 통해 학교 수학에서 함수적 사고 지도와 관련하여 그동안 간과되어 왔던 문제들을 제기하고, 학생들의 함수적 사고를 바탕으로 이에 대한 지도상의 개선 방안을 찾음으로써, 초기 대수 교육에 시사점을 주는 데 궁극적인 목적이 있다. 본 연구의 목적을 위하여 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 가. 초등학교 4학년 학생들의 함수적 사고는 어떠한가? 1) 함수 유형에 따른 함수적 관계 파악은 어떠한가? 2) 패턴 유형에 따른 함수적 관계 적용은 어떠한가? 3) 패턴 유형에 따른 함수적 관계 표현은 어떠한가? 나. 학생들의 함수적 사고를 발달을 지원하는 지도 방안은 무엇인가? 본 연구는 이러한 연구 문제를 해결하기 위하여 학생들의 함수적 사고 검사지 분석 및 심층 면담, 그리고 교수실험을 통한 질적 사례연구 방법을 적용하였다. 구체적으로 연구 문제 ‘가’를 해결하기 위하여, 4학년 1개 학급을 대상으로 1, 2차 함수적 사고 검사를 실시 한 후 검사지 자료를 분석하였으며, 검사지 분석에서 특징적인 반응을 보이는 학생들을 대상으로 심층 면담을 병행하여 추가적인 정보를 얻고, 그 결과를 상세하게 분석하였다. 연구 문제 ‘나’를 해결하기 위하여, 초기 대수 및 함수적 사고의 지도와 관련된 문헌을 검토하여 함수적 사고 발달을 지원하는 지도 방향을 설정하고, 본 검사 및 면담 결과와 함수적 사고 관련 교과서 분석 결과를 종합하여 3차시의 수업 지도 프로그램을 개발하였으며, 함수적 사고를 활용한 관계 파악․표현․적용에 어려움을 겪는 학생 5명을 대상으로 적용한 후 지도 과정에서 나타나는 학생들의 함수적 사고 과정의 특징 및 발달 과정을 분석하였다. 본 연구를 통하여 다음과 같은 연구 결과를 얻을 수 있었다. 첫째, 함수 유형에 따른 관계 파악을 분석한 결과, 현재 교육과정에서 두 수의 관계를 학습하기 위한 함수 유형인 y=x+a와 y=ax에서는 학생들의 80% 이상이 기호화 수준의 함수적 관계 파악이 가능한 것으로 나타났다. 반면, y=ax+b 유형의 함수에서는 50% 이상의 학생들이 순환적인 관계 파악에 그쳤으며, 이 유형에서 함수적 관계 파악이 가능한 학생들도 기호로 관계를 표현하는 과정에서 다양한 오류들이 나타났다. 따라서 표상적 사고로서의 함수적 사고가 의미 있게 다루어지기 위해서는 이미 기호화 수준에 이른 함수 유형 보다는 y=ax+b 유형의 함수적 상황처럼 관계에 대한 일반화로 나아가는 과정에 있는 함수 유형을 제시할 필요가 있다. 둘째, y=ax+b 함수 유형에서 패턴에 따른 관계 적용을 분석한 결과는 다음과 같다. 표의 경우, 비순차적 데이터 제시와 독립변수의 명시적인 제시로 두 수의 관계에 초점을 맞출 수는 있었으나 수의 합성과 분해 능력이 부족한 경우 수치적 구조를 파악하는데 어려움을 보였다. 수열의 경우는 순차적인 데이터 제시로 인해 순환적인 관계 적용이 많이 나타났다. 또한 기하적 패턴의 경우는 시각적인 데이터가 추가됨으로써 다양한 패턴의 해석으로 문제 해결에 적용한 경우가 많았으나, 동시에 잘못된 패턴의 해석도 나타났다. 상황적 패턴의 경우는 시각적 요소를 포함하지 않음으로써, 수치적 요소만 분리하여 관계를 파악하고 문제 해결에 적용했다는 점에서 수열과 비슷한 관계 적용을 보였다. 또한 표로 제시된 수치적 패턴을 제외하고는 독립 변수와 종속 변수가 명시적으로 제시되지 않아, 순환적 규칙에 머무르거나, 복잡한 관계 적용이 이루어졌다. 이는 각 패턴에서의 데이터 제시의 특징이 학생들의 관계 적용 전략에 영향을 줄 수 있음을 의미하는 것으로, 패턴을 통해 함수적 사고 발달을 지원하기 위해서는 이러한 패턴과 함수적 사고와의 관련성에 바탕을 둔 계획이 선행되어야 함을 보여준다고 할 수 있다. 셋째, 패턴 유형에 따른 관계 표현을 분석한 결과는 다음과 같다. 표로 제시된 수치적 패턴의 경우, 독립 변수는 ‘입력’, 종속 변수는 ‘출력’으로, 두 대상이 명확히 결정됨으로써 관계 표현에 있어서도 수치적 구조를 파악하기만 하면 오류가 발견되지 않는 명확한 기호화 표현이 가능하다는 것을 확인할 수 있었다. 또한 화살표 도식은 물론 언어적 진술에 있어서도 준-변수적인 형태로 일반화된 식과 다름없는 관계 표현을 보였다. 수열로 제시된 수치적 패턴과 상황적 패턴의 경우 유사한 관계 표현을 볼 수 있었는데, 이 두 패턴에서 학생들이 표현한 일반화된 식을 살펴보면, 독립 변수를 기준으로 하여 종속 변수를 조절한 경우와 종속 변수를 기준으로 하여 독립변수를 조절한 두 가지 관계 표현을 나타내었다. 이는 패턴에서 독립 변수가 명확히 주어지지 않음에 기인한 것으로, 표와 같이 명확한 입출력의 관계를 나타내는 일반화된 식을 구성하기 위해서는 두 변수에 대한 명확한 인식을 바탕으로 일반화된 관계 표현으로 나아갈 수 있도록 해야 함을 시사한다. 기하적 패턴의 경우는 패턴에대한 다양한 해석으로 인하여 시각적인 설명과 함께 다양한 관계 표현으로 이어졌으며, 그로 인해 학생들의 다양한 아이디어를 확인할 수 있었다. 따라서 기하적 패턴의 시각적인 요소는 학생들이 기호화된 식의 의미를 되짚어보고 설명하는데 유용한 도구임을 확인할 수 있다. 하지만 이러한 관계 표현들은 패턴을 분해하여 자신이 인식한 증가 상황에 맞게 일반화한 경우로, 두 변수에 대한 명확한 함수적 관계 표현과는 거리가 있었다. 따라서 기하적 패턴에서도 두 변수에 대한 함수적 관계 표현을 위해서는 두 변수에 대한 명확한 인식을 바탕이 되어야 함을 알 수 있다. 끝으로, 본 연구에서는 초등학교 학생들의 함수적 사고 발달을 지원하고자, 패턴을 통한 함수적 사고의 도입, 다양한 표상과 연계한 지도, 함수적 표현 방법 강조 및 표현 간의 연결성 탐구, 자신의 생각을 정당화할 기회 제공의 4가지 지도 방향을 바탕으로 수업 프로그램을 개발하고 적용해 보았다. 그 과정에서 함수기계와 입출력 표, 위치 카드를 활용하여 함수적 관계 파악으로 나아갈 수 있도록 하였고, 화살표 도식과 pair-수직선을 활용하여 함수적 관계 표현 및 표현간의 연결성을 탐구할 수 있는 기회를 제공하였으며, 또한 패턴에서의 함수적 관계 파악 및 표현을 바탕으로 문제 해결 과정에 적용할 수 있는 기회를 제공함으로써 함수적 사고의 발달을 지원할 수 있었다. 이러한 결과는 수업 적용 대상의 대표성이나 표본의 크기의 문제로 인해 일반화하여 받아들이기는 힘든 점이 있으나, 이는 학생들의 실제로 지도하는 과정을 통한 경험적인 사실로서, 학생들의 함수적 사고 발달을 지원할 수 있는 지도 방법을 모색하는 데 기초적인 역할을 할 수 있으리라 기대한다.

초등학교 6학년 학생들의 그래프 해석 및 지도 방안

조아영 한국교원대학교 대학원 2012 국내석사

본 연구의 목적은 초등학교 6학년 학생들의 그래프 해석이 어떠한지를 살펴보고, 이를 토대로 그래프 해석 능력을 향상시킬 수 있는 지도 방안을 모색하는 데 있다. 이러한 목적을 달성하기 위해 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 1. 초등학교 6학년 학생들의 그래프 해석은 어떠한가? 2. 그래프 해석 능력을 향상시킬 수 있는 지도 방안은 무엇인가? 먼저, 연구 문제 1을 해결하기 위하여 부산시 소재 D 초등학교 6학년 2개 학급을 대상으로 그래프 해석에 관한 검사를 실시하고 그 결과를 분석하여, 그래프 해석에 특징을 보이는 학생 6명을 선정하여 심층면담을 실시한 후 결과를 상세히 분석하였다. 연구 문제 2을 해결하기 위하여 통계 및 그래프 지도와 관련된 문헌과 현행 교과서 및 지도서를 검토하고, 연구 문제 1의 결과를 종합하여 5차시 분량의 그래프 해석 지도 방안을 마련하였다. 이렇게 개발된 지도 방안을 심층면담 대상과 동일한 6명의 학생을 대상으로 적용한 후 그 과정에서 나타나는 학생들의 그래프 능력 향상 과정을 분석하였다. 본 연구의 결과 및 그것을 바탕으로 한 결론은 다음과 같다. 첫째, 변수에 대응하는 값 찾기에 대한 검사지 분석 결과, 학생들은 변수에 대응하는 값을 찾는 데에 큰 어려움을 보이지 않았다. 이는 학생들이 그래프가 나타내는 단순한 정보 이해에는 별다른 문제가 없는 것으로 볼 수 있다. 둘째, 조건을 만족시키는 곳 결정하기에 대한 검사지 분석 결과 학생들은 그래프의 내용과 제시된 문제를 명확하게 이해하지 않은 채 문제를 해결하는 경향을 보였다. 우선, 그래프의 의미가 아닌 문제에 제시된 말에서 힌트를 얻어 답만 맞히는 경우이다. 또 문제에 제시된 조건을 충분히 이해하지 않고 직관적으로 답을 하는 모습도 확인할 수 있었다. 면담과정에서도 학생들은 왜 그런 답을 했냐는 질문에 ‘딱 눈에 보이니까’라는 대답을 하기도 했다. 이는 학생들이 그래프 관련 문제를 해결할 때에는 직관적인 판단에 의존하는 경향이 있다는 것을 보여준다고 할 수 있다. 따라서 그래프가 나타내는 다양한 정보와 문제에서 제시하는 조건들을 명확히 파악할 수 있도록 지도하려는 노력이 필요하다. 셋째, 변인 간 관계 진술하기에 대한 검사지 분석 결과, 학생들에게서 몇 가지 오류가 드러났다. 그 중 하나는 기울기의 의미에 대한 이해 부족이다. 학생들은 가로축과 세로축이 나타내는 것이 무엇인지 생각하지 않은 채 그래프를 해석하여 결국 기울기를 잘못된 의미로 해석하는 모습을 보였다. 다음은 그래프를 그림으로 해석하는 오류이다. 그로 인해 수평선의 의미를 그래프의 기울기로 생각하는 것이 아니라 길을 그려놓은 모양이라고 생각하는 것이다. 따라서 이것 역시 엄밀히 말하면 기울기의 의미를 제대로 이해하지 못했기 때문이라고 볼 수도 있다. 또 그래프에서 변화의 흐름을 읽지 못하는 오류가 나타났다. 그래프를 종합적으로 해석하려면 그래프에서 나타내고자 하는 각각의 값들도 볼 수 있어야 하지만, 그래프의 특성상 전체적 또는 부분적인 변화의 흐름을 읽을 수 있어야 한다. 하지만 각각의 값들만을 생각하여 변화를 보는 것을 놓치는 오류를 보였다. 마지막은 배경지식을 지나치게 활용하여 그래프 해석을 하는 경우이다. 배경지식의 활용은 그래프 해석을 좀 더 풍성하게 해주는 역할을 한다. 하지만 주객이 전도되어 그래프 자체의 내용보다 자신의 배경지식을 중심으로 그래프를 해석하는 학생들도 있었다. 넷째, 종속변수 간 관련짓기에 대한 검사지 분석 결과, 많은 학생들이 종속변수를 비교하는 것에 어려움을 겪고 있었다. 변인 간 관계 파악을 명확하게 하지 못하는 학생들은 그래프에 대한 이해력이 떨어져 문제에 따라 그래프 항목을 다르게 해석하는 오류를 보이기도 했고, 문제에서 요구하는 조건을 파악할 수 있는 학생들도 이것을 서로 관련짓는 활동에서는 헤매는 모습을 보였으며, 그래프 해석에 자신의 생각을 개입시켜 사실이 아닌 자신의 생각을 토대로 답을 하는 학생도 볼 수 있었다. 다섯째, 그래프 내삽법․외삽법에 대한 검사지 분석 결과, 그래프에 주어진 정보에서 규칙을 찾아 답을 추측하는 활동에는 학생들이 큰 어려움을 겪지 않지만, 타당한 이유를 통해 추측하는 데에는 약간의 어려움을 보이는 것으로 나타났다. 특히, 그래프 내용보다 자신의 배경지식 또는 경험에 중점을 두고 그래프를 해석하는 학생도 있었다. 또 자신에게 더 편리한 방법으로 문제에 제시된 정보들 속에서 규칙을 찾는 모습을 보이기도 했다. 여섯째, 그래프와 상황 연결하기에 대한 검사지 분석 결과, 학생들은 서술된 정보에서 그래프가 갖추어야 하는 조건을 모두 찾아내는 데에 어려움을 보였다. 서술된 정보를 만족시키는 그래프를 선택하려면 그 정보 속에 주어진 모든 조건을 파악해야 하지만 학생들은 하나의 조건만 만족시키면 답이라고 간주하는 경향을 보였다. 또 정보에서 찾아낸 그래프가 갖추어야 하는 조건을 제시된 두 그래프를 비교하는 기준으로 생각하는 학생도 있었다. 그리고 그래프와 실제 상황을 연결하는 활동이 자연스럽지 못했다. 이야기가 아닌 그래프의 값들을 나열하여 설명하는 경우, 이야기를 만들었다 하더라도 현실 세계와는 괴리가 있는 표현을 한 경우 등이다. 마지막으로 그래프에 담겨 있는 다양한 정보를 찾지 못하고, 문제에 제시된 단어나 그래프의 눈에 띄는 부분들에 치우친 해석을 하는 모습을 보였다. 이러한 경직된 사고를 하는 학생들은 그래프가 담고 있는 다양한 정보를 종합적으로 해석하는 데 어려움을 보였다. 끝으로 본 연구에서는 초등학교 학생들의 그래프 해석 능력을 향상시키기 위하여, 실생활과 관련된 문제 상황에서의 변수에 대응하는 값 찾기, 특정한 조건을 만족시키는 곳 결정하기, 변인 간 관계 진술하기, 종속변수 간 관련짓기, 그래프 내삽법․외삽법, 그래프와 상황 연결하기라는 그래프 해석 항목을 중심으로 지도 방안을 마련하여 적용해보았다. 그 결과 학생들은 그래프를 해석할 때 양적인 면과 질적인 면을 종합적으로 볼 수 있게 되었으며, 그래프와 실생활을 관련지어 생각하면서 그래프의 실용성을 체득하게 되었다. 그리고 무엇보다 그래프 해석에 흥미를 가지게 되었다. 이는 표본의 크기나 수업 적용 대상의 대표성 문제로 인해 그 결과를 일반화하기는 힘들지만, 실제 초등학교 학생들을 대상으로 지도한 결과로 학생들의 그래프 해석 능력을 향상시킬 수 있도록 지도 방안을 개선하는 데 도움이 될 수 있을 것이다.

분수의 나눗셈과 관련된 초등학교 6학년 학생들의 인지구조 분석 : 단어연상검사(WAT) 적용

이효진 한국교원대학교 대학원 2013 국내석사

본 연구의 목적은 분수의 나눗셈과 관련된 핵심개념을 추출하고 단어연상검사를 실시하여 분수의 나눗셈과 관련된 개념들이 어떻게, 얼마나 강하게 연결되어 있는지 조사하고 분석함으로써 분수의 나눗셈 문제해결 능력의 수준에 따라 학생들의 인지구조에 어떠한 차이가 있는지 이해하고 분수의 나눗셈에 관한 학생들의 이해를 향상시키기 위한 방법을 제안하는 것이다. 본 연구의 목적을 위하여 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 가. 분수의 나눗셈과 관련된 개념에 대한 이해는 어떠한가? 나. 분수의 나눗셈과 관련된 개념 사이의 자동성 획득은 어떠한가? 다. 분수의 나눗셈과 관련된 개념들의 연결강도는 어떠한가? 본 연구는 이러한 연구 문제를 해결하기 위하여 6학년 학생들의 분수의 나눗셈 문제해결 능력을 우수, 보통, 기초학생별로 구분해줄 분수의 나눗셈 문제해결 검사지와 인지구조를 분석할 단어연상검사지를 개발하였다. 각각의 검사지는 이론적 배경을 근거로 개발되었으며 전문가 검토와 더불어 본 검사 대상과 비슷한 수준의 6학년 1개 반을 선정하여 예비검사를 실시함으로써 두 종류 검사지의 적절성 및 타당성을 살펴보았다. 본 검사는 강원도 6학년 학생 480명을 대상으로 두 종류의 검사를 실시하였다. 수집된 분수의 나눗셈 문제해결 검사지를 채점하여 기초 미만 학생을 제외하고 우수, 보통, 기초학생집단으로 구분하였으며 단어연상검사지는 우수, 보통, 기초 학생집단 별로 채점하여 불성의한 답변으로 채점이 불가능한 검사지를 제외하였다. 최종 선정된 334명의 단어연상검사 자료를 통해 6학년 학생들의 분수의 나눗셈 문제해결 능력 수준에 따라 인지구조를 분석하였다. 본 연구를 통하여 다음과 같은 결과를 얻을 수 있었다. 첫째, 분수의 나눗셈과 관련된 대부분의 개념에서 우수, 보통, 기초학생 집단으로 갈수록 관련된 한 개의 특정 개념으로만 치우쳐서 이해하고 있어서 연상기울기가 가팔라지는 것을 확인할 수 있었다. 둘째, 본 연구에서 핵심개념으로 제시되지 않았으며 교과서에 제시되지 않는 개념인 역수가 분수의 나눗셈과 관련된 다른 개념들과 관련지어 연상되었음을 확인할 수 있었다. 셋째, 우수, 보통, 기초학생 집단으로 갈수록 개념 주위의 집단적인 정보인 청크가 나타나는 단계가 낮아짐에 따라 청크의 자동성이 약함을 확인할 수 있었다. 넷째, 기초학생들의 개념 사이의 연상 빈도수는 우수나 보통학생들보다 적었지만 관련성 계수 측면에서는 큰 차이가 나지 않은 것을 통해 기초학생들이 문제해결에 어려움을 겪는 이유가 개념 간의 자동성 획득임을 알 수 있었다. 다섯째, 최종인지구조에서 우수와 보통학생들에 비하여 기초학생들의 연결수가 현저히 적은 것을 통해 보통학생들이 우수학생이 될 가능성보다 기초학생이 보통이나 우수학생이 될 가능성이 더 낮음을 알 수 있었다. 여섯째, 연구에서 기대했던 개념 간의 연결 중 자연수와 단위분수, 분수의 나눗셈과 분수의 뺄셈, 분수의 나눗셈과 통분, 분수의 나눗셈과 공배수의 연결은 모든 집단에서 관찰할 수 없었으며 보통학생 집단에서는 공약수와 약분의 연결을 관찰할 수 없었다. 결론적으로 학생들의 인지구조를 바탕으로 분수의 나눗셈에 관한 학생들의 이해를 향상시키기 위한 방법으로 본 연구에서 총 8가지 방법을 제안하였다. 가. 다양한 개념의 동시 활성화 지도 우수, 보통, 기초학생 집단으로 갈수록 관련된 한 개의 특정 개념으로만 치우쳐서 이해하고 있어서 연상기울기가 가팔라졌다. 따라서 다양한 개념이 동시 활성화 될 수 있도록 지도함으로써 연상기울기를 평평하게 나타나도록 해야 한다. 나. 기초학생은 분수의 뺄셈으로부터 분수의 나눗셈 학습 기초학생은 분수의 뺄셈의 해법이 분수의 나눗셈 해법과 관련된다고 생각하고 있었다. 따라서 기초학생들의 부진아 지도 시, 분수의 나눗셈을 단순 알고리즘 연습이 아닌 분수의 뺄셈으로부터 학습할 수 있도록 해야 한다. 다. 기초학생에게 공약수, 공배수, 단위분수 개념을 선험지식과 연결하여 지도 우수 및 보통학생들은 분수의 나눗셈과 관련된 핵심개념 12가지가 모두 인지구조에 제시되었지만 기초학생들은 공약수, 공배수, 단위분수가 제시되지 않았다. 따라서 기초학생들의 인지지구조 속 개념과 관련지어 공약수, 공배수, 단위분수 개념을 지도해야 한다. 라. 보통과 기초학생에게 분수의 연산에서 약분과 통분을 넘어 공약수와 공배수까지 연결하여 지도 기초학생은 공약수, 공배수 개념이 인지구조에 제시되지 않았고, 보통학생은 제시되었더라도 엉뚱한 개념과 연결되어 있었다. 따라서 보통과 기초학생들이 분수의 연산에서 약분과 통분을 할 때 공약수, 공배수 개념과 관련지어 함께 학습하게 함으로써 관련 개념이 바르게 청크화 될 수 있도록 해야 한다. 마. 개념간의 연결뿐만 아니라 연결강도 살피기 개념의 연결빈도수가 높다고 연결강도가 높게 나타나지는 않았다. 따라서 개념 간의 연결이 이루어졌는지 뿐만 아니라 어떤 개념이 어떤 순서로 연결되어 있는지 살핌으로써 연결강도를 높여야 한다. 바. 기초학생들의 인지구조 상에서 연결강도가 높은 연결에 대한 자동화 유도 기초학생들의 개념 사이의 연상 빈도수는 우수나 보통학생들보다 적었지만 관련성 계수 측면에서는 큰 차이가 나지 않았다. 따라서 연결강도가 높은 연결들이 자동성이 획득되도록 지도해야 한다. 사. 분수의 나눗셈과 분수의 뺄셈을 유기적으로 연결하여 지도 기초학생은 물론이고 보통과 우수학생들도 분수의 나눗셈과 관련된 청크와 분수의 뺄셈과 관련된 청크가 연결되지 못하였다. 따라서 분수의 뺄셈과 분수의 나눗셈을 유기적으로 연결하여 두 청크가 연결될 수 있도록 지도해야 한다. 아. 청크 내에서 개념 간의 연결강도가 균형을 이루도록 지도 우수와 보통 학생들은 분수의 뺄셈, 통분, 공배수가 바르게 청크화되어 있었지만 우수학생들은 분수의 뺄셈과 통분, 통분과 공배수의 관련성 계수 차이가 0.216인데 비하여 보통학생들은 0.441로 차이가 더 많이 나타났다. 따라서 청크 내에서 개념간의 연결강도가 균형을 이룰 수 있도록 지도해야 한다. 학습자가 느끼는 어려움의 정도에 대한 이해는 인지구조에 대한 이해로부터 시작될 수 있다(정현주, 2000). 다양한 수학 개념에 대한 학생들의 어려움을 구조적으로 분석하는 인지구조 연구에 본 연구가 밑거름이 되길 기대한다.

초등학교 4학년 학생들의 수학 문제해결과정에서의 시각적 표현

김소희 한국교원대학교 대학원 2012 국내석사

본 연구는 초등학교 4학년 학생들의 수학 문제해결 과정에서 나타나는 시각적 표현이 어떠한지를 알아보고, 이를 바탕으로 수학 문제해결에 유용한 시각적 표현을 효과적으로 지도하기 위한 방안을 모색해 보는데 그 목적이 있다. 이를 통해 학생들의 문제해결과정에서의 시각적 표현에 대한 심도 깊은 이해를 도모하여 문제해결에 관한 교수․학습 방법에 시사점을 얻고자 한다. 이와 같은 연구의 목적을 달성하기 위하여 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 1. 초등학교 4학년 학생들의 문제해결 과정에서 나타나는 시각적 표현은 어떠한가? 2. 초등학교 4학년 학생들의 문제해결과정에서의 시각적 표현 지도방안은 무엇이고, 결과는 어떠한가? 본 연구에서는 이러한 연구 문제를 해결하기 위하여 심층면담과 교수실험을 통한 질적 사례연구 방법을 적용하였다. 구체적으로 연구 문제 1을 해결하기 위하여, 서울D초등학교 4학년 1개 학급을 대상으로 학생들의 문제해결과정에서의 시각적 표현이 어떠한지에 관한 검사를 실시하고 그 결과를 분석하였으며, 검사지 분석 결과 문제해결과정에서의 시각적 표현에 특징을 보이는 학생 4명을 선정하여 심층면담을 실시한 후 그 결과를 분석하였다. 연구 문제 2를 해결하기 위하여, 본 검사 및 심층면담 결과, 교과서 분석 결과, 관련 문헌 및 선행 연구 분석을 바탕으로 문제해결과정에서의 시각적 표현 지도의 방향을 마련하였다. 이러한 지도의 방향을 토대로 문제해결과정에서의 시각적 표현 지도를 위한 7차시 수업 프로그램을 개발하였고, 이를 심층면담 대상자를 포함하여 모두 6명의 학생들에게 적용하였다. 그리고 수업 프로그램의 적용 과정에서 나타나는 학생들의 특징적인 반응과 오류 개선 과정 등을 분석하였다. 본 연구를 통해 얻은 결과는 다음과 같다. 첫째, 본 검사의 결과를 통해 성취도와 시각적 표현 사이의 관계를 살펴보면, 본 검사에서 맞은 개수가 많은 학생일수록 시각적 표현 점수가 높게 나타났다. 둘째, 학생들은 문제해결과정에서 기호적 표현인 ‘식 세우기’를 가장 우선시 하는 경향이 있다. 본 검사지가 문제해결에 시각적 표현이 결정적인 역할을 하는 문제들로만 구성되었음에도 불구하고 성취도가 낮은 학생들의 경우 주로 식을 세워서 문제를 해결하려고 시도하거나 무응답 반응을 보였다. 셋째, 학생들이 문제해결을 위해 시각적 표현을 시도했다고 하더라도 ‘무엇을’, ‘어떻게’ 표현해야 하는지를 모르는 경우가 종종 있었다. 문제 상황에 등장하는 대상의 외적인 모습을 그대로 드러내는 그림 표현을 하거나, 주어진 문제 상황을 전혀 반영하지 못하는 엉뚱한 표현을 하는 경우도 발견되었다. 넷째, 학생들의 시각적 표현이 문제 상황을 도식적으로 표현하고 있다고 하더라도, 주어진 조건들을 서로 관련시켜 세심하게 표현하지 못하여 오답에 이르는 경우가 많았다. 즉 문제 해결을 위한 결정적인 단서가 되는 조건들을 모두 포함시키지 못하고 있는 것이다. 다섯째, 학생들의 시각적 표현이 성공적인 문제해결로 이어지지 못하는 또 다른 이유는 학생들이 시각적 표현을 했다고 하더라도 기호적 표현을 하는 과정에서 오류가 발생하는 경우가 있다. 이는 학생들의 기호적 표현이 시각적 표현에서 끌어내어지는 것이 아니라 시각적 표현과는 관계없이 이미 머릿속에 전제하고 있던 대로 이루어지거나, 시각적 표현을 기호적 표현으로 옮기는 과정이 성급하게 이루어져 세심한 주의가 부족했기 때문이다. 여섯째, 학생들은 특정 대상에 대한 그림 표현과 도식 표현을 비교해 보는 활동과, 문제 상황에 대한 그림 표현과 도식 표현의 예를 제시하고 이를 바탕으로 문제를 해결해 보는 활동을 통해 도식 표현의 의미와 방법 및 문제해결에 있어서의 유용성에 대해 인식하게 되었다. 일곱째, 학생들은 동일 대상이 포함된 여러 문제를 해결함으로써, 동일한 대상이 문제 상황에 따라 다르게 표현되어야 함을 인식하게 되었다. 또한 도식 표현의 결과가 문제에 주어진 대상의 외적 특성을 나타낼 필요가 없음을 깨닫게 됨으로써 도식 표현의 추상적 특성을 인식하게 되었다. 여덟째, 학생들은 4가지 도식표현유형을 적용한 문제해결 경험을 통해 각각의 도식표현유형을 적용하여 해결할 수 있는 문제의 특징을 이해하였으며, 문제해결과정에서 시각적 표현을 구성하는 방법을 알게 되었다. 아홉째, 각각의 문제를 해결하는 과정에서 ‘문제해결과정 5단계’ 중 특히 ‘문제 읽기’의 단계와 ‘시각화하기’의 단계를 강조하였으며, 특히 ‘시각화하기’ 단계를 ‘그리기’의 단계와 ‘관계 나타내기’의 단계로 세분화하여 학생들이 자신의 시각적 표현을 수정․보완해갈 수 있도록 함으로써 학생들은 문제 상황에 대한 올바른 시각적 표현을 구성하게 되었다. 마지막으로, 도식표현의 의미 및 도식표현유형에 대한 학습 결과 학생들은 특정 도식표현유형을 적용하기에 적합한 문제를 찾아 이를 적용하여 문제를 해결하는 모습을 보였으며, 한 발 더 나아가 특정 도식표현유형을 적용할 수 있는 문제에 대해서도 자신만의 독특한 도식 표현을 구성하는 모습을 보였다. 또한 학습한 4가지 도식표현유형을 적용할 수 없는 문제에 대해서도 학생 스스로 자신만의 독자적인 도식 표현을 구성해 내고 이를 통해 문제를 해결할 수 있게 되었다. 본 연구 결과로부터 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다. 먼저 연구 문제 1로부터 도출된 결론은 다음과 같다. 첫째, 연구 대상 학급을 대상으로 문제해결과정에서 나타나는 시각적 표현 검사지를 분석한 결과, 학생들의 문제해결에 있어서의 성취도와 문제해결과정에서의 시각적 표현의 활용 사이에는 깊은 관계가 있는 것으로 나타났다. 이는 선행연구의 결과와도 일치하는 것으로, 이처럼 성공적인 수학 문제의 해결과 시각적 표현의 활용 사이의 상관관계가 명백한 만큼, 학생들에게 문제해결을 위한 방법으로 문제해결과정에서 시각적 표현을 지도하는 것은 의미 있는 일이다. 둘째, 학생들은 문제해결에서 식 세우기에 치중하는 경향이 있는 것으로 드러났는데, 이는 학생들이 다루어왔던 문제들의 패턴이 대부분 ‘문장제’-‘식’-‘답’의 형태로 주어져 문제의 해결과정보다는 결과만을 요구해 왔기 때문이다. 이러한 현상은 성취도가 낮은 학생에게서 더 두드러지게 나타났는데 성취도가 낮은 학생일수록 시각적 표현 없이 기호적 표현만을 이용함으로써 오답에 이르는 경우가 많았다. 또한 시각적 표현을 했다고 하더라도 기호적 표현을 통해 답에 대한 전제를 미리 가지고 시각적 표현을 함으로써 시각적 표현을 통해 기호적 표현이 끌어내지지 못해 오답에 이르는 경우도 있었다. 학생들에게 문제해결과정에서 시각적 표현을 이용함으로써 성공적인 문제해결에 이를 수 있음을 지도함으로써 문제해결의 첫 단계가 식 세우기라는 학생들의 잘못된 인식을 수정해 할 수 있겠다. 셋째, 성취도가 높은 학생들이 수학 문제해결과정에서 시각적 표현의 유용성을 알고 스스로 문제해결에 시각적 표현을 활용할 수 있음에 반해, 성취도가 낮은 학생들은 시각적 표현이 문제해결에 이용될 수 있음을 인식하지 못하고 있다. 성취도가 낮은 학생들, 특히 문제해결을 시도조차 하지 못하여 무응답 반응을 보인 학생들에게 시각적 표현이 문제해결을 위한 방법이 될 수 있음을 지도함으로써 이들이 최소한 문제해결을 위한 어떤 시도를 할 수 있게 해 줄 수 있다. 넷째, 선행연구에서는 시각적 표현을 도식 표현과 그림 표현으로 나누어 그림 표현을 도식 표현과 같은 비중을 두고 다루었던 것에 반해, 본 검사에서는 그림 표현이 차지하는 비중이 그리 크지 않았다. 그러므로 학생들이 문제 상황을 그림 표현으로 나타내는 문제에 대해서는 도식 표현의 의미를 지도함으로써 해결할 수 있겠고, 시각적 표현 지도는 도식 표현의 방법에 초점을 맞추어 이루어져야 하겠다. 다섯째, 학생들이 문제해결을 위해 시각적 표현을 한다고 하더라도 성공적인 문제해결에 이르지 못하는 경우가 많았는데, 이는 학생들이 문제에 주어진 조건 중 ‘무엇을’ 표현해야 할지, 또 주어진 조건들을 ‘어떻게’ 서로 관련지어 세부적으로 표현할지 판단을 내리지 못하기 때문이다. 따라서 문제해결과정에서의 시각적 표현은 단계적인 과정을 통해 이루어지도록 지도하는 것이 바람직하다. 연구문제 2로부터 도출된 결론은 다음과 같다. 첫째, 학생들이 문제해결과정에서 시각적 표현을 이용해 성공적으로 문제를 해결하는 경험을 갖도록 함으로써 문제해결과정에서의 시각적 표현의 유용성을 인식할 수 있게 되었다. 학생들은 해결이 어려운 문제에 대하여 주어진 문제 상황을 시각적으로 표현해 보는 과정에서 올바른 해결 방법을 찾아내는 과정을 통해 문제해결과정에서의 시각적 표현의 유용성을 체득하게 되었는데, 이는 특히 문제해결과정에서 성급한 식세우기를 시도했거나 무응답 반응을 보인 학생들이 문제해결을 위한 하나의 새로운 방법을 알게 되었다는 측면에서 매우 긍정적인 의미를 갖는다고 하겠다. 둘째, 도식 표현 유형을 도입할 때 학생들에게 친숙한 시나리오를 제시하였는데 이는 학생들의 도식 표현에 대한 수용을 용이하게 하였다. 이는 학생들에게 친숙한 문제 상황을 제공하는 것은 학생들이 시각적 표현을 위한 새로운 도식 유형을 학습하는데 초점을 맞출 수 있게 해 줄 뿐만 아니라(Diezmann, 2002), 문제 상황이 학생들에게 친밀한 것일수록 문제에 대한 내적 표상이 쉽게 형성될 수 있기 때문이다. 따라서 문제해결과정에서의 시각적 표현에 대한 지도는 학생들에게 친숙한 것으로 시작할 필요가 있겠다. 셋째, 학생들에게 4가지 도식표현유형을 제시하여 문제해결과정에서 시각적 표현을 활용하는 방법을 지도한 결과, 학생들이 다양한 문제의 해결에서 시각적 표현을 활용할 수 있게 되었다. 학생들은 문제를 해결함에 있어 학습한 도식표현유형을 적용하여 이와 유사한 도식 표현을 하기도 하고, 전혀 새로운 도식 표현을 구성해 내기도 하였다. 이는 도식 표현 유형에 대한 학습을 하면 문제에 주어진 정보 사이의 관계를 파악할 수 있는 능력을 기르게 되어, 특정 도식으로 해결할 수 없는 새로운 문제에서도 시각적인 표현을 할 수 있게 된다는 선행연구의 결과와 일치하는 것이다(Diezmann, 2002). 따라서 도식표현유형을 통해 학생들이 문제해결과정에서 시각적 표현을 이용해 문제를 해결하는 경험을 갖도록 하는 것은 학생들의 앞으로의 문제해결에 긍정적인 영향을 미칠 수 있다. 넷째, 학생들이 보이는 문제해결과정에서의 시각적 표현에 있어서의 문제점 중의 하나인 그림 표현의 문제는, 문제해결과정에서의 시각적 표현 지도의 시작 단계에서 특정 대상에 대한 그림 표현과 도식 표현을 비교하여 도식 표현의 의미를 지도함으로써 쉽게 해결할 수 있었다. 즉 학생들은 도식 표현의 의미를 명확히 인식하게 됨으로써 문제 상황을 그림 표현으로 표현하는 것이 문제를 해결하는데 전혀 도움이 되지 않음을 쉽게 수용하게 되었다. 문제해결과정에서의 시각적 표현을 지도함에 있어서 가장 핵심적인 부분은 ‘무엇을’ ‘어떻게’ 도식 표현을 할 것인지를 지도하는 것이었는데, 이를 위해 4가지 도식표현유형을 경험하도록 하였다. 같은 유형으로 분류될 수 있는 문제들을 하나의 도식표현유형으로 묶어 문제 상황을 시각적으로 표현해 보는 경험을 함으로써 학생들은 ‘어떻게’ 도식 표현을 할 수 있는지를 익힐 수 있었다. 또한 각각의 문제 해결에서 ‘문제해결과정 5단계’를 거치도록 했는데, 특히 ‘문제 읽기’ 단계에서 주어진 문제 상황을 머릿속에 표현해 보도록 하고, ‘그리기’ 단계에서 문제해결을 위해 시각적으로 표현해야 할 ‘중요한 것’이 무엇인지를 찾아보도록 하는 과정을 거침으로써 학생들이 주어진 문제에서 ‘무엇을’ 표현해야 하는지를 인식하도록 할 수 있었다. 또한 ‘관계 나타내기’ 단계에서 ‘Re-arrange' 과정을 반복적으로 거치도록 함으로써 문제에 주어진 조건들을 세부적으로 관련시켜 나타내는 경험을 하도록 함으로써 ‘어떻게’ 도식 표현을 해야 하는지를 익힐 수 있었다. 이렇게 문제해결과정에서의 시각적 표현을 지도한 결과, 지도 방법이라는 측면에서 내릴 수 있는 결론은 문제해결과정에서의 시각적 표현의 유용성에 대한 인식과 시각적 표현을 이용한 성공적인 문제해결의 경험이 모두 중요하다는 것이다. 이는 학생들이 문제해결과정에서의 시각적 표현의 유용성을 알고 이를 다양한 문제를 해결할 때 활용할 수 있도록 하는 것과, 시각적 표현을 통해 성공적으로 문제를 해결하는 경험을 통해 시각적 표현의 유용성을 체득해 가는 것이 서로 상보적인 역할을 하기 때문이다. 이렇게 함으로써 학생들이 앞으로 문제를 해결할 때 시각적 표현을 문제해결을 위한 하나의 방법으로 자발적으로 활용할 수 있게 될 것이다. 다섯째, 문제해결과정에서의 시각적 표현을 지도함에 있어서 학생 개개인의 독자적인 표현을 강조하였다. 비록 4가지의 도식표현유형을 제시하여 지도하기는 했지만, 이것은 학생들에게 도식 표현의 경험을 제공하기 위한 하나의 예시적인 의미를 지니는 것으로, 문제 상황에 대한 시각적 표현이 크게 오류를 보이는 경우가 아니라면 학생들의 독자적인 표현을 존중해 주었다. 이는 학생들에게 문제해결과정에서의 시각적 표현을 지도하는 궁극적인 목표가 학생들이 앞으로 마주하게 될 많은 다양한 문제들에 대해 학생 스스로 시각적 표현을 구성해가면서 문제해결에 이르도록 하는 것이기 때문이다. 또한 동일한 문제에 대해서 학생들 저마다 서로 다른 내적 표상을 형성할 수 있고, 또 문제해결과정에서도 저마다의 방식으로 이러한 내적 표상을 변형시켜 가기 때문이다. 이렇듯 문제에 대한 학생들의 내적 표상이 다를 수 있는 만큼, 학생 개개인에게 동일한 표현 방법을 강요하기 보다는 학생 개개인의 시각적 표현을 존중해 주는 것이 바람직하다. 여섯째, 문제해결과정에서 시각적 표현을 이용하여 문제를 해결하도록 지도한 결과, 본 검사와 심층면담에서 학생들의 문제해결 과정에서 나타나는 문제점의 하나인 ‘성급한 식 세우기’의 문제를 개선할 수 있었다. 이는 ‘문제 읽기’와 ‘식 세우기’ 사이에 ‘시각적 표현하기’ 활동을 추가시켜 문제에 대한 내적 표상이 외적인 표현으로 구체적으로 드러나도록 함으로써 문제에 대한 명확한 이해 및 해결 방법의 발견을 가능하게 했기 때문인데, 이를 통해 학생들은 문제해결방법으로 시각적 표현을 활용하면서 식 세우기에 대한 지나친 의존에서 벗어날 수 있게 되었다. 이처럼 학생들이 문제해결과정에서 기호적 표현에 치중하는 것은 다양한 문제해결방법을 경험하지 못했기 때문으로, 문제해결과정에서 시각적 표현과 같은 다양한 문제해결 방법을 학습할 기회가 제공되어야 하겠다.

초등수학 서술형 수행평가의 평가기준 개발 및 적용 : 초등학교 3학년을 중심으로

강혜영 한국교원대학교 대학원 2013 국내석사

급변하는 다변화 사회의 요구에 맞춰 본 연구는 서술형 수행평가에 활용할 수 있는 평가기준을 개발하고, 이를 초등학교 3-1 수학과 내용에 적용하여 수행평가 문항과 평가기준을 개발하여 학교 현장에 적용한 결과를 제시함으로서 활용이 용이한 서술형 수행평가의 평가기준을 제시하고자 한다. 이를 통해, 학교 현장에서 수행평가를 효과적으로 실시하는데 도움을 주고, 학생들에 대한 보다 정확한 정보를 얻어 교수․학습 개선에 기여하는 데 그 목적이 있다. 이와 같은 목적을 달성하기 위하여 본 연구는 다음과 같은 연구내용을 설정하였다. 1. 초등 수학과 서술형 수행평가의 평가기준을 개발한다. 2. 초등 수학과 서술형 수행평가의 평가기준에 따른 초등학교 3-1 서술형 수행평가 문항 및 평가기준을 개발하여 적용한다. 2-1. 초등학교 3-1 서술형 수행평가 문항 개발 2-2. 초등학교 3-1 서술형 수행평가 평가기준 개발 2-3. 초등학교 3-1 서술형 수행평가 문항 및 평가기준 적용 이상의 연구문제에 따른 연구결과는 다음과 같다. 첫째, 초등학교 수학과 서술형 수행평가 평가기준을 개발하였다. 국내․외의 수행평가에 대한 평가준거를 분석하여 우리나라의 교육실정에 적합하다고 판단되는 과제이해, 해결전략, 의사소통, 정확성의 네 가지 평가준거를 선정하였다. 각각의 평가준거는 4단계의 성취수준으로 나누어 각각에 대한 평가기준을 개발하였다. 둘째, 개발된 평가기준을 적용하여 초등학교 3학년 수학과 수행평가 문항 및 평가기준을 개발하였다. 이를 학교 현장에 적용한 결과 네 가지 평가준거의 채점자간 상관계수가 모두 .670 이상으로 모두 높게 나타났다. 또한, 학생들의 응답을 분석하여 교사들이 개발된 문항 및 평가기준을 쉽게 적용하고 활용할 수 있도록 제시하였다. 연구를 통해 얻은 결론은 다음과 같다. 첫째, 초등학교에서 수학과 서술형 수행평가를 진행 할 때, 본 연구에서 개발된 서술형 수행평가 문항 및 평가기준 개발 절차를 활용하여 수행평가 문항 및 평가기준을 개발할 수 있다. 둘째, 수학과 서술형 수행평가를 계획할 때, 개발된 수행평가 평가기준을 적용할 수 있다. 특히, 초등학교 3-1 수행평가는 본 연구에서 개발된 내용을 바로 적용할 수 있다. 셋째, 서술형 수행평가는 평가로서 충분한 가치를 가지고 있으며, 다양한 각도에서 학생들을 평가할 수 있고 학생들에 대한 구체적인 정보를 얻을 수 있다. 넷째, 채점자들은 의사소통 영역의 채점에 가장 곤란을 느끼고 있으므로, 이와 관련된 평가기준을 제시하거나 연수를 실시할 필요가 있다. 다섯째, 수행평가의 분석적 평가기준을 활용하여 채점하는 것에 익숙해질수록 채점하는 시간은 단축된다. 이와 같은 분석적 평가에 익숙해진 교사들은 학생들의 다양한 측면을 분석하여 평가하는 것의 유용함을 느끼고 잘 활용할 수 있다. 이와 같은 결론을 토대로 다음과 같은 제언을 하고자 한다. 첫째, 초등학교 3-1 이외의 다른 학년에서도 수학과 서술형 수행평가 기준을 적용하여 수행평가 문항과 평가기준을 개발하여야 한다. 둘째, 다양한 형태의 수행평가 방안이 마련되어야 한다. 셋째, 효과적인 수행평가 시행을 위해 교사들의 수행평가에 대한 이해가 필요하다.

6학년 학생들의 수학적 모델링 과정 : 규칙성 영역을 중심으로

이근철 한국교원대학교 대학원 2014 국내석사

본 연구의 목적은 초등학교 6학년 학생들의 수학적 모델링 과정에 대한 질적 연구를 통해, 일상적인 문제 상황에서 학생들의 수학적 개념 활용이 적절하게 이루어지는지 분석하고 학생들이 표현하는 비례 추론 전략은 어떠하며, 수학적 모델이 구성되는 일련의 과정을 살펴보고자 한다. 따라서 6학년 학생들의 수학적 모델링 과정 분석을 통해 수학적 모델링을 활용한 수업에 시사점을 주는데 목적이 있다. 본 논문의 연구 문제를 간단히 정리하면 다음과 같다. 6학년 학생들의 수학적 모델링 과정에서 가. 학생들의 수학적 개념의 활용은 어떠한가? 1) 학습한 개념의 활용은 어떠한가? 2) 새로운 개념의 구성은 어떠한가? 나. 문제 상황에서 학생들의 비례추론전략은 어떠한가? 다. 수학적 모델의 구성과정은 어떠한가? 본 연구에서는 수학적 모델링 학습 과정을 적용한 8차시의 수업에서 나타나는 수학적 개념과 비례 추론 전략, 수학적 모델 구성과정을 종합적으로 분석하였으며, 각 차시별 수업 유형에 따라 두드러지는 내용을 바탕으로 다음과 같이 요약하고자 한다. 첫째, 수학적 모델링 학습 과정에서 나타나는 학생들의 수학적 개념을 분석한 결과, 규칙성 영역의 문제 상황에서부터 수학적 모델을 적용하는 과정에 이르기까지, 학습한 수학적 개념과 새로운 수학적 개념을 적절하게 활용하고 있었다. 기본적으로 5학년때 학습한 규칙성 영역의 비와비율 개념은 문제 상황 전반에서 활용하고 있었으며, 문제 요소들을 비의 값으로 대응하거나 비율로 형식화하였다. 수업 가에서는 학습한 수학적 개념인 비와 비율과 최소공배수를 주로 활용하였으며, 각 과일의 무게를 비의 값으로 대응하고 분수로 변환하여 상대적인 값을 비교하였다. 또한 각 과일의 대응한 비의 값은 최소공배수를 통해 하나의 공통된 기준 값을 만들었다. 새로운 수학적 개념인 등식과 연비를 활용하여, 각 과일을 상대적인 비교를 양변에 똑같이 소거하는 방법으로 기준 값을 나타내었으며, 세 가지 이상의 비의 값을 나타내는 연비를 구성하였다. 수업 나에서는 학습한 수학적 개념인 비와 비율을 시침의 이동거리에 따른 분침의 이동거리를 대응하여 활용하였다. 새로운 수학적 개념인 정비례와 등식을 활용하여, 시침의 이동거리와 분침의 이동거리를 규칙적인 비례관계로 표현하였다. 하지만 등식에 관련된 잘못된 오개념도 발견되었다. 수업 다에서는 학습한 개념인 비와 비율과 어림을 활용하여 A3와 A4 가로 세로 측정 값을 비의 값으로 대응하여 두 대상의 관계를 비율로 표현하였으며, 무리수를 어림하여 유리수로 제시하였다. 새로운 수학적 개념인 정비례를 활용하여 A3 가로와 A4의 세로와 같으며, 남은 두 대상의 관계가 2배(배)로 일정하게 비례한다는 사실을 발견하였다. 추가적으로 교육과정에서 제시되지 않은 무리수의 성질을 활용하였다. 수업 라에서는 학습한 개념인 정사각형, 마름모, 원의 넓이와 어림을 활용하여 정사각형의 넓이에 따른 길이의 변화를 추측하였다. 새로운 수학적 개념인 비례, 방정식, 미지수를 활용하여 정사각형의 길이와 넓이를 미지수로 대응하여 두 대상의 비례관계에 대해 모색하였으며, 무리수를 활용하여 정확한 값이 아닌 근삿값을 구성할 수 있었다. 둘째, 수학적 모델링 학습 과정에서 나타나는 학생들의 비례 추론 전략을 범주화하여 분석한 결과, 문제 유형에 따라 비례 추론 전략을 다르게 사용하는 사실을 발견하였다. 수업 가의 부분-전체 문제 유형의 경우, 단위 값 전략이 비교적 많이 나타난 반면에 수업 나의 양의 측정 문제 유형의 경우, 수업 가에 비해 구성 전략과 배수 전략이 상대적으로 많이 나타났다. 하지만 질적 추론 전략이나 비율 전략은 사용되지 않았다. 수업 다와 라의 확대와 축소 문제 유형의 경우, 분수 전략을 제외하고 다양한 비례 추론 전략들이 사용되었다. 전체 수업에서 가장 많이 쓰인 비례 추론 전략은 단위 값 전략으로, 학생들은 기준 값을 정하여 상대적인 값을 비교하거나 문제를 해결하는 과정에서 활용하는 경향이 강하였다. 반면에 수업과정에서 특별한 경우를 제외하고 분수 전략은 상대적으로 쓰이지 않았으며, 두 비례 추론 전략을 제외한 나머지 비례 추론 전략들은 골고루 사용하였다. 셋째, 수학적 모델링 학습 과정을 통해 6학년 학생들의 수학적 모델 구성 과정을 각 단계별로 분석하였다. 문제 상황의 이상화 단계에서는 일상생활에 접한 문제 상황을 공유하여 해결할 필요성을 인식하였으며, 모둠원과의 논의를 통해 전반적인 문제 상황을 이해하고 필요한 정보를 파악하였다. 처음 문제에 대해 접할 경우 당황해하였으나 시간이 지날수록 점차 적응하였다. 문제를 간단히 정리하여 필요한 정보를 논의하면서, 학생들의 초점이 문제상황의 피상적인 정보에서 보다 수학적으로 해결할 수 있는 정보로 옮겨가기도 하였다. 수학적 모델의 형식화 단계에서는 이상화된 문제 상황을 수학적 기호와 용어로 변환하여 다양한 수학적 표현이 이루어진다. 학생들은 대상과 이것들의 연결 또는 관계를 추출하여 방정식, 도표, 그림, 그래프 등으로 수학적 해석을 하였다. 특징적인 표현이나 해석에 대해서는 “왜”, “어떻게”와 같은 발문을 하여 이면의 사고에 대해 충분히 생각할 수 있는 시간을 제공하였으며, 수학적으로 다양한 접근을 시도하도록 격려하였다. 수학적 모델의 추론 단계에서는 앞서 구성된 수학적 모델을 수학적 기술과 방법을 통해 문제 상황에 대한 결론을 내렸다. 학생들은 자신이 구성한 수학적 모델을 발표하거나 모둠원과의 지속적인 논의 과정에서 반성할 수 있는 기회를 가지며, 수학적 모델은 형식화 추상화 되어 진다. 그 중 다각적인 논의와 수학적 추론과정을 거치면서 가장 적절한 수학적 모델을 구성할 수 있었다. 수학적 모델의 적용단계에서는 학생들이 구성한 수학적 모델을 처음의 현실상황에 적용하며, 수학적 구조가 유사한 다른 상황에 적용하였다. 학생들은 논의를 통해 자신이 구성한 수학적 모델이 실생활 속에 존재하며 보다 특수한 상황에서 일반적인 상황까지 광범위하게 적용될 수 있음을 제안하였다. 따라서 6학년 학생들은 수학적 모델링 과정의 문제 맥락 안에서 기존의 학습한 개념들과 그것과 연관된 새로운 개념들을 활용하였으며, 다양한 비례 추론 전략을 사용할 수 있었다. 또한 수학적 모델링 과정을 통해 초기 비형식적인 지식과 비구조적인 수학적 관계들을 점차 형식화하고 일반화할 수 있는 능력을 기를 수 있었다.

초등학교 5학년 수학학습 부진아의 귀납추론과 유추 지도

최은아 한국교원대학교 대학원 2012 국내석사

본 연구는 수학학습 부진학생의 수학적 사고력 향상을 위해 귀납적 추론과 유추능력이 어떠한지 살펴보고, 이를 지도하기 위한 방안을 마련하는 데에 그 목적이 있다. 이를 위해 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. 연구 문제 1: 초등학교 수학학습 부진학생의 귀납추론과 유추 능력은 어떠한가? 연구 문제 2: 초등학교 수학학습 부진학생들의 귀납추론과 유추를 지도하기 위한 방안은 무엇인가? 연구문제 1을 해결하기 위해 5학년 수학학습 부진학생들을 대상으로 귀납 추론과 유추 검사지를 실시하고 면담하여 추론 과정에서 겪는 어려움이나 오류를 살펴보았다. 검사도구는 계열의 완성, 분류, 비율유추, 영역간유추 각 3문항씩 총 12문항으로 구성했다. 그리고 학생들의 어려움과 선행연구를 바탕으로 귀납적 추론과 유추 지도 방안을 마련하여 연구에 동의하는 수학학습 부진학생들에게 지도한 후, 학생들의 반응을 범주화하여 분석했다. 본 연구를 통해 얻은 결과는 다음과 같다. 첫째, 계열의 완성 문항에서 학생들은 도형이나 숫자가 제시된 간단한 문항은 수학적 지식이 부족하여 보인 오류를 제외하면 대부분 성공했다. 귀납과제에서는 규칙찾기, 자료수집, 반례찾기 등을 할 수 있었지만, 스스로 자료를 분석, 종합하여 일반화하지는 못했다. 둘째, 분류 유형에서 학생들은 공통점을 찾으려는 시도 없이 문제를 해결하려했다. 공통점을 살피며 종합적으로 문제를 해결하려 하지 않고, 하나의 특징만을 바탕으로 성급하게 문제를 해결하려는 모습을 보였다. 그러나, 지도를 통해 학생들이 모두 수학적 분류하기 과제에 성공할 수 있었다. 셋째, 비율유추 문항 검사시에 절반 정도만이 문제를 해결했으나, 면담과정에서 유사한 관계가 있음을 보여주자 모두 해결할 수 있었다. 지도 과정에서 역시 학생들이 어려움 없이 과제를 해결했는데, 이때 학생들은 가장 적절한 대응에 대해 논의하며 A:B::C:D과제에서 D를 찾을 수 있었다. 넷째, 영역유추 문항에서 학생들은 수학적 내용 지식의 부족으로 인해 문제 해결에 대부분 어려움을 겪었다. 이를 ‘수학 외적인 모델로부터의 유추’와 ‘개념 확장시의 유추’ 그리고 ‘기본 문제를 활용한 방법 유추’에 해당하는 각 과제로 제시하자 학생들은 이전에 학습한 문제를 해결한 후, 그 방법을 이용해 주어진 문제를 해결할 수 있었다. 본 연구의 결과로부터 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다. 첫째, 수학학습 부진학생들은 숫자와 도형으로 제시된 간단한 규칙은 쉽게 찾을 수 있었다. 특히, 규칙 만들기 과제는 유용했는데, 학생들은 규칙 만들기 과제에 흥미를 가지고 참여했다. 둘째, 수학학습 부진학생들은 인과적 귀납과제에서 자료 수집과 규칙 찾기, 반례 제시를 할 수 있었다. 이처럼 수학학습 부진학생들도 계산기와 같은 도움자료를 제공하면 수학적 과제에 집중하고 자신의 추론을 표현하며 정당화하는 과정을 경험하게 할 수 있다. 또한 이러한 귀납과제의 경험은 이후에 학생들이 스스로 할 수 없었던 분류나, 분석, 일반화를 스스로 할 수 있도록 도울 것이다. 셋째, 수학학습 부진학생들의 수학적 내용지식뿐 아니라 기초적 사고기능과 같은 방법적 지식도 간과해선 안 된다. 기초적 사고기능 중 하나인 ‘분류하기’에서의 어려움은 그 학생의 발달적 사고기능인 귀납적 추론이나 통합적 사고, 일반화에 영향을 주었을 것이다. 따라서 수학학습 부진학생 지도시 그들의 수학적 사고력을 향상시킬 수 있는 지도 프로그램도 필요하다. 넷째, 패턴의 일반화에서 수학학습 부진학생들은 100번째 항을 예측할 수 있었다. 그러나 패턴을 일반화한 식을 기호로 나타내는 데에는 어려움을 보였다. 이는 일반학생들도 겪는 어려움이다. 따라서 패턴의 일반화에 관한 내용이 일반 학급에서 지도된다면 수학학습 부진학생들도 누적된 부진으로 어려움이 있었던 내용 영역의 학습에 비해, 다른 학생들과 함께 수학적으로 사고하며 참여할 수 있을 것이다. 다섯째, 학생들에게 비율유추 과제를 통해 유추적 사고를 학습하도록 한 것은 유용했다. 이렇게 유사성을 가정해보며 가장 적절한 대응을 찾는 과정은 수학학습 부진학생들의 유추적 사고를 증진시킬 수 있을 것이다. 여섯째, 영역 간 유추 과제를 통해 수학학습 부진학생들은 주어진 문제를 해결할 수 있었다. 수학학습 부진학생들에게 개별적으로 학습되었던 개념들을 유추 과제를 통해 연결해 준다면 수학의 핵심 개념(Big Idea)을 중심으로 지식을 구성하여 따로 암기해야 하는 부담은 줄어들고 관계적 이해는 더욱 깊어질 것이다.