Stochastic thermodynamics for nonequilibrium Langevin systems

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

Stochastic thermodynamics has been one of the most widely used approaches to study the nonequilibrium systems surrounded by thermal environments. In the framework of stochastic thermodynamics, we study several issues in the nonequilibrium thermodynamics by considering exactly solvable linear Langevin systems.
First, we investigate the role of slow and fast variables in entropy production by coupled Brownian particles. In our system, the center-of-mass coordinate is a slow variable and the relative coordinate is a fast variable. The Brownian particles interact through a harmonic potential and are in thermal contact with two heat baths at different temperatures. We find that the system in the infinite coupling limit produces more entropy than a rigid rod system. By obtaining expressions of the entropy productions by the slow and fast variables, we show that the hidden entropy production by the fast variable is responsible for the extra entropy production.
Second, we study the efficiency at maximum power of a Brownian heat engine which is described by linear Langevin equations. The system consists of two Brownian particles which are trapped by a harmonic potential and driven by a linear external force. Each particle is in contact with a heat bath at different temperatures. The system can act as an autonomous heat engine performing work against the external driving force. We find that the efficiency of the engine at maximum power is equal to a universal form called the Curzon-Ahlborn efficiency. The universal form has been known as a characteristic of endoreversible heat engines. Our result indicates that endoreversibility is not a necessary condition of the Curzon-Ahlborn efficiency.
Finally, we show the the consistency of the entropy production of stochastic thermodynamics with that of classical thermodynamics. To to this, we take account to microscopic dynamics of the whole system consisting of a physical system and a surrounding thermal environment. The derivation assumes the Markov approximation that the environmental degrees of freedom equilibrate instantaneously. In that setup, we derived the relation between the irreversibility and the entropy production. Our microscopic approach provides a guideline for the choice of the proper reverse process to a given forward process. We demonstrate our idea with an example of a charged particle in the presence of a time-varying magnetic field.

국문 초록 (Abstract)

확률론적 열역학은 열적 환경으로 둘러싸인 비평형계를 연구하는 방법론 중 하나로서 널리 쓰여진다. 우리는 확률론적 열역학의 틀 안에서 선형 랑쥬뱅(Langevin)방정식으로 기술되는 계를 고려하여 비평형 열역학의 몇 가지 문제들을 연구한다.
먼저, 결합된 브라운 입자들에 의해 생산된 엔트로피에서의 느린 변수와 빠른 변수의 역할을 연구한다. 고려하는 계에서 느린 변수는 질량 중심의 위치이고 빠른 변수는 입자 간 거리이다. 브라운 입자들은 조화퍼텐셜을 통해 상호작용하고 서로 다른 온도의 두 열원에 접촉해있다. 우리는 강체 막대가 생산하는 엔트로피보다 결합력이 무한히 강한 브라운 입자계가 생산하는 엔트로피가 더 많음을 보인다. 느린 변수와 빠른 변수에 의한 엔트로피 생산량들의 표현식을 각각 얻음으로써, 추가적인 엔트로피 생산이 빠른 변수에 의한 숨은 엔트로피 생산량으로부터 온다는 것을 보인다.
두 번째로, 선형 랑쥬뱅 방정식으로 묘사되는 브라운 열기관의 최대 일률에서의 효율을 연구한다. 계는 두 브라운 입자로 이루어져 있다. 계는 조화퍼텐셜에 의해 구속되어 있고 선형 외부구동력을 받는다. 각 입자는 서로 다른 온도의 열원과 접촉해 있다. 계는 외부구동력에 대해 일을 함으로써 자율(autonoumous) 열기관으로서 행동한다. 우리는 이 엔진의 최대 일률에서의 효율이 커즌-알본(Curzon-Ahlborn) 효율이라고 불리는 보편적인 형태와 같음을 보인다. 이 보편적인 효울은 내적 가역성(endoreversible) 열기관의 특징으로 알려져왔다. 우리의 결과는 내적 가역성이 커즌-알본 효율의 필요조건이 아니라는 것을 나타낸다.
마지막으로, 확률론적 열역학의 엔트로피 생산과 고전적 열역학의 엔트로피 생산량이 일관됨을 보인다. 이를 위해 물리 계과 열적 주변환경으로 구성된 전체 계의 미시적 동역학을 고려한다. 유도과정에서 환경의 자유도가 즉각적으로 평형을 이룬다는 마르코프(Markov) 근사를 가정한다. 이러한 설정에서 우리는 비가역성과 엔트로피 생산량 사이의 관계를 유도한다. 미시적 접근법은 주어진 물리적 과정에 대한 적절한 역과정을 선택하는 지침을 제공한다. 우리는 시간에 따라 변화하는 자기장 내의 하전된 입자의 예를 통해 이 견해를 입증한다.

목차 (Table of Contents)

• 1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
• 1.1 Langevin systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
• 1.2 Heat and entropy production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
• 1.3 Linear Langevin system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
• 2. Hidden entropy production by fast variables . . . . . . . . . . . . 19
• 2.1 Two-particle system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
• 2.2 Hidden entropy production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
• 2.3 Summary and remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
• 3. Efficiency at maximum power in a linear Brownian heat engine
• model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
• 3.1 Model system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
• 3.2 Linear Brownian heat engine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
• 3.3 Efficiency at maximum power . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
• 3.4 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
• 4. Microscopic point of view on entropy production . . . . . . . . . 54
• 4.1 Setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
• 4.2 Irreversibility of dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
• 4.3 Phenomenological Langevin equation approach . . . . . . . . . . . . 68
• 4.4 A charged particle under the Lorentz force . . . . . . . . . . . . . . 71
• 4.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
• 5. Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
• Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
• Abstract in Korean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
• Acknowledgement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92