고등학생의 접선과 미분계수에 대한 이해 사례 분석

국문 초록 (Abstract)

학교 수학의 개념들 중에는 학년이 높아지면서 정의가 확장되는 개념들이 있는데 그것의 대표적인 예가 접선의 개념이다. 중학교 과정에서 원에 대한 접선으로 시작하여 포물선에 대한 접선, 원과 포물선에서 판별식을 이용한 접선의 정의를 배우고 고등학교 미적분Ⅰ의 미분계수를 배우면서 미분계수의 기하학적 의미를 이해하는 과정에서 접선의 개념을 완성시킬 수 있다. 그리고 역사적으로도 접선의 문제를 해결하는 과정에서 나온 개념이 미분계수이기 때문에 미분계수를 배우면서 미분계수와 접선의 개념이 동시에 정확하게 확립되어야 한다. 따라서 본 연구자는 미분계수를 배운 고등학생들을 대상으로 미분계수와 접선의 이해도를 조사, 분석한 후 그 문제점을 교과서 내용 분석을 통해 찾고자 하였다.
조사를 위해서 수학 성적이 상위권인 광주광역시 소재 인문계 고등학교 2학년학생 3명과 3학년 학생 4명을 대상으로 연구를 실시하였다. 접선에 관한 이해도 조사, 미분계수에 관한 이해도 조사, 접선의 존재성과 미분가능성의 관계에 관한 이해도 조사, 이 세 가지 부분에 대한 검사지를 풀게 하고 개별 면담하여 그 결과를 분석하였다.
그 결과 모든 학생이 미분계수에 대한 이해도는 좋은 편이었다. 미분계수의 해석적 의미나 기하학적 의미 모두 잘 이해하고 있었다. 하지만 접선의 개념은 고등학교 2학년, 3학년 학생 모두 정확하게 알고 있는 학생이 없었다. 고등학교 2학년 학생들은 문제를 해결하는 과정에서 접선의 개념 정의를 사용하기 보다는 접선은 스쳐 지나가는 직선이라는 개념 이미지만을 가지고 문제를 해결하는 모습을 많이 보였다. 반면에 고등학교 3학년 학생들 중 수학 성적이 상위권인 학생들은 접선을 그리거나 판단할 때 거의 미분계수를 이용해 문제를 해결하는 모습을 보였다. 즉, 그 점에서의 접선을 그릴 때, 좌미분계수와 우미분계수를 계산하여 그 값이 서로 같으면 그 값을 기울기로 가지는 직선을 그 점에서의 접선으로 그리거나 식이 주어지지 않은 그래프에서는 좌미분계수와 우미분계수의 기하하적 의미를 떠올려서 접선인지를 판단하였다. 마지막으로 미분가능성이 접선의 존재성의 충분조건이라는 것을 알고 있는지를 알아보았는데 대부분의 학생들이 미분가능성과 접선의 존재성을 필요충분조건으로 인식하고 있었다. 이것은 고등학교 수학에서 접선 관련문제를 풀 때 학생들이 기계적으로 미분을 하고 문제를 푸는 것이 습관화 되어버려서 접선과 미분을 동일한 개념으로 인지하고 있는 것으로 보인다.
연구자는 이와 같은 학생들의 미분계수와 접선 개념 이해에 관한 문제점이 교과서에 제시된 구체적이지 못한 설명에 원인이 있다고 생각하였다. 그래서 현행 미적분Ⅰ 교과서들의 미분계수와 접선에 대한 설명에서 문제점과 보완점을 찾아보았다.
그 결과 미분계수의 기하학적 의미를 설명하는 부분에서 접선이 할선의 극한이라는 것을 간접적으로 설명해 주고 있지만 그것을 보고 학생들 스스로 그 결론을 유도해 내기가 힘들고 교과서에 주어진 그림에서 또한 접선이 스쳐 지나가는 직선으로 표현되어 있어서 기존의 접선에 대한 개념 이미지를 바꾸기가 쉽지 않다. 9종의 교과서 중 한 교과서만이 접선과 미분계수 개념을 정확하게 알 수 있도록 추가내용을 넣었고 나머지는 접선 개념보다는 미분계수에 초점을 맞추어서 교과서 내용을 구성해 놓았다. 그렇기 때문에 대부분의 고등학생들이 미분계수와 관련된 것은 잘 이해하고 있지만 접선의 개념 정의는 정확하게 이해되지 않은 것으로 보인다. 따라서 접선 개념과 관련된 내용을 추가할 필요가 있다.

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ. 서론 1
• 1. 연구의 필요성 및 목적 1
• 2. 연구문제 2
• 3. 연구의 제한점 3
• Ⅱ. 이론적 배경 4
• 1. 개념 이미지와 개념 정의 4
• 가. 개념 정의와 개념 이미지의 정의 4
• 나. 개념 정의와 개념 이미지의 관계 5
• 2. 접선과 미분계수의 역사적 발달 과정 8
• 가. 고대 그리스 8
• 나. 17세기 초,중반 9
• 다. 17세기 후반 11
• 라. 18세기 후반 11
• 마. 19세기 12
• 3. 접선 개념과 미분계수에 대한 선행 연구 분석 13
• Ⅲ. 연구방법 및 절차 18
• 1. 연구대상 및 기간 18
• 2. 연구방법 19
• 3. 검사지 구성 19
• Ⅳ. 연구결과 및 분석 22
• 1. 교과서에 제시된 접선 개념과 미분계수에 대한 내용 분석 22
• 가. 2009 개정 교육과정에 따른 학년별 접선 개념의 확장 22
• 나. 미적분Ⅰ 교과서별로 제시된 접선과 미분계수의 개념 29
• 2. 학생의 이해도 분석 36
• 가. 접선에 관한 이해도 분석 36
• 나. 미분계수에 관한 이해도 분석 51
• 다. 접선의 존재성과 미분가능성의 관계에 관한 이해도 분석 54
• 3. 미적분Ⅰ 교과서에 제시된 접선과 미분계수 개념 설명에 대한 문제점 및 보완점 57
• Ⅴ. 결론 및 제언 60
• 1. 결론 60
• 2. 제언 63
• 참 고 문 헌 64
• Abstract 66
• 부 록 69
• <부록 1> ‘접선에 관한 이해도 조사’ 검사지 69
• <부록 2> ‘미분계수에 관한 이해도 조사’ 검사지 72
• <부록 3> ‘접선의 존재성과 미분가능성의 관계에 관한 이해도 조사’ 검사지 74