초등학생들의 수학 문제 만들기에 대한 분석적 연구 = (An) Analytical Study on Math-Problem Posing by Elementary School Children

국문 초록 (Abstract)

이 연구의 목적은 아동들이 문제 만들기 활동에서 만든 문제의 특성과 문제 만들기에서 사용하는 전략의 특성이, 수학 학습 능력 수준에 따라 차이가 있는지 분석하고, 그 분석 결과로부터 문제 만들기 교수·학습을 위한 수학 교육적 시사점을 찾는 것이다. 이를 위해 상·중위 수준 아동 각각 6명을 연구 대상으로 선정하여 문제를 만들게 하였다. 이때 문제 만들기에 대한 구체적인 지도는 하지 않았다. 또 아동들이 만든 문제에 대한 논의와 풀이도 하지 않았다.
문제 만들기 과정에서 상·중위 수준의 아동들이 사용하는 전략의 특성을 조사하기 위해, 상위 수준 2명, 중위 수준 2명의 아동들을 선정하여 관찰과 구조화된 질문을 통한 1:1 면담을 실시하였다.
아동들이 만든 문제를 문제의 완성도, 문제 유형, 문제의 복잡성, 주어진 문제와의 관련성의 네 측면에서 분석하였다. 문제 만들기 전략의 특성을 일반적인 문제 만들기 전략과 what-if-not 전략의 두 관점에서 분석하였다. 이러한 분석을 통해 얻은 결론을 제시하면 다음과 같다.
수학 학습 수준에 따라, 아동들이 만든 문제의 특성에 전면적인 차이가 아닌 국소적인 차이가 있다. 첫째, 문제의 완성도 측면에서 볼 때, 상위 수준의 아동들이 중위 수준의 아동들보다 문제를 많이 접해 보아 문제의 구성 요소를 비교적 잘 알고 있어, 상위 수준 아동들이 만든 문제의 완성도가 높았다. 상위 수준 아동들이 문제를 만든 후, 그 문제의 완성도를 확인한 것도 문제 완성도를 높이는데 일조한 것으로 보인다. 둘째, 문제 유형 [Ⅰ] 측면에서, 상위 수준 아동들과 중위 수준 아동들 사이에 큰 차이는 나타나지 않았으나, 상위 수준 아동들이 중위 수준 아동들보다 비정형 문제를 많이 만들었다. 이것은 중위 수준의 아동들이 비정형 문제에 익숙하지 않고, 주어진 제재에 대한 수학적 지식도 상대적으로 부족하게 소유하고 있기 때문인 것으로 보인다. 셋째, 문제 유형 [Ⅱ]의 측면에서 볼 때, 상위 수준 아동들과 중위 수준 아동들 사이에 차이가 없었다. 넷째, 제재 [1], [2]에서는 상위 수준의 아동들이 중위 수준의 아동들보다 문제 진술에 많은 단어를 사용하였다. 이것은 자신의 자원을 적절하게 활용하여 문제 장면을 구체적이고 풍부하게 제시하는 측면과, 생활 속에 숨어있는 수학적 요소를 찾아 문제를 만드는 측면에서, 상위 수준 아동들이 중위 수준 아동들보다 다소 우수하기 때문인 것으로 보인다. 다섯째, 상위 수준 아동들이 중위 수준 아동들보다 복합 연산 문제를 다소 많이 만들었지만 큰 차이는 나지 않았다. 그러나 각 집단 내에서는 상당한 차이가 있었다. 여섯째, 문제 만들기 제재 [1]과 같이 복합 연산 문제를 아동들에게 제시하였는데도 아동들이 만든 복합 연산 문제는 단지 46% 뿐이었다. 상위 수준 아동과 중위 수준 아동들 사이에 두드러진 차이는 없었다. 이것은 아동들이 대체적으로 연산에 주목하여 발전적인 생각을 하기보다는, 문제 상황에만 주목하고 있기 때문이다. 일곱째, 상위 수준 아동들이 중위 수준 아동들보다 주어진 문제의 구조와 관련된 문제를 많이 만들었다. 이것은 상위 수준 아동들이 중위 수준 아동들에 비해 문제의 구조를 더 잘 이해하기 때문인 것으로 보인다. 중위 수준 아동들 중 일부만 주어진 문제와 관련된 복합 연산 문제를 만들었다. 중위 수준 아동들이 상위 수준 아동들보다 주어진 문제의 조건과 유사한 문제를 많이 만들었다. 이것은 중위 수준 아동들이 상위 수준 아동들에 비해, what if not 전략을 충분히 구사하지 못하기 때문인 것으로 보인다. 여덟째, 주어진 문제 상황과의 관계에서 상·중위 수준 아동들 사이에 차이가 없었다. 이것은 주어진 문제 만들기 제재가 '과일 가게, 단위, 현장 학습'등과 같이 아동들에게 친숙하거나, 제재와 관련된 문제 만들기를 하도록 했기 때문이다.
다음으로 수학 학습 수준에 따라, 아동들이 사용한 문제 만들기 전략의 특성에 전면적인 차이가 있다고 할 수 없다. 그러나 그 전략 사용의 완전성에서는 차이가 있다. 첫째, 문제 만들기 제재 [1]에서 상·중위 수준의 아동들에 따라 큰 차이 없이 전략 1, 2, 5를 사용하였다. 상위 수준 아동들은 전략 1, 2를 완전하게 사용하였지만, 중위 수준 아동들은 불완전하게 사용하였다. 아동들이 같은 전략을 사용하거나 사용하지 않는다는 점에서는 차이가 없었지만, 전략의 완전한 사용과 기타 전략의 사용에 있어서는 차이가 있었다. 둘째, 문제 만들기 제재 [2]에서 사용한 전략의 특성을 분석한 결과, 상·중위 수준 아동 모두 전략 1, 5를 사용하였다. 그러나 여기서도 상위 수준 아동 A만 완전하게 사용하고 나머지 아동들은 불완전하게 사용하였다. 아동에 따라 전략을 완전하게 사용하기도 하고, 그렇지 못하기도 한 것은 수학 학습 능력의 차이에 기인한다. 셋째, 문제 만들기 제재 [3]에서 사용한 전략의 특성을 분석한 결과, 전체적으로 '실세계적인 상황으로부터 문제 만들기'에서 아동들이 사용한 전략의 특성은 상·중위 수준 아동들에 따라 큰 차이가 없었다. 전략 선택에서는 수학 학습 능력 수준보다는 아동 개인의 특성이 많은 영향을 미친다고 할 수 있다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

The purpose of this study is to analyze the differences of characteristics of problems children made and characteristics of strategies children used in problem posing according to math learning capabilities of elementary school children, and to find out some suggestions for better math education. The subjects in this study were 12 selected elementary schoolers. Out of them, six children were good at math, and the math grades of the other six students were at an intermediate level. They were asked to pose math problems without any prior guidance, and the problems they made weren't discussed or solved, either. To track the characteristics of strategies both groups utilized, two students each were selected from the groups, and one-on-one interview was conducted using structured questionnaires. And the features of their problems were analyzed in consideration of the perfectness, type and complexity of the problems they made and of connections between the strategies and the problems. The features of their strategies were analyzed in consideration of general problem-posing strategy and what-if-not strategy.
According to math learning capabilities of elementary school children, there were local differences not global differences in characteristics of problems children made. First, in consideration of the perfectness, high level children's problems were more perfect than those of middle level children's problems, for high level children knew the elements of problems better than middle level children. High level children's looking back to check the perfectness of their problems was also one of reasons for high perfectness. Second, in consideration of the type, there were no significant differences between high and middle level children's problems. But high level children posed more nonroutine problems than middle level children. Because middle level children were not familar to nonroutine problems and had lower knowledge on given material than high level children. Third, in consideration of the reality, there were no significant differences between high and middle level children's problems. Fourth, in consideration of the number of words, high level children used more numbers than middle level children in stating problems. Because middle level children were not better in offering problem situation concretely and richly using their resources, and finding out mathematical factors in real life and making them as mathematical problems than high level children. Fifth, high level children posed more complex operation problems than middle level children, but there were no significant differences. Sixth, complex operation problems both high and middle level children posed were 46%. But there were no significant differences. Because children focused on problem situations rather than focusing operations and doing developmental thinking. Seventh, high level children posed more problems related on given material than middle level children. Because high level children understood the structures of problems better than middle level children. Eighth, in relation to given problem situations, there were no significant differences between high middle level children. Because given material were familar to children, they posed related problems to given material. According to math learning capabilities of elementary school children, there were not global differences in characteristics of strategies high and middle level children used. But there were local differences in perfect use of strategies. First, in material [1], high level children used strategies 1, 2 perfectly, but middle level children did not. In that both high and middle level children used same strategies or did not used same strategies, there were not global differences. But there were local differences in perfect use of strategies and using other alternative strategies. Second, in material [2], high level children used strategies 1, 5. But only one high level children used them perfectly, other children did not. It relied on children's level of capabilities in mathematics. Third, in material [3], there were no significant differences between both high and middle level children.

목차 (Table of Contents)

• 국문초록 = ⅰ
• 목차 = ⅳ
• Ⅰ. 서론 = 1
• 1. 연구의 필요성 및 목적 = 1
• 2. 연구 문제 = 3
• 3. 용어의 정의 = 3
• 가. 문제 = 3
• 나. 문제 만들기 = 4
• 다. 문제 만들기 제재 = 5
• 라. 문제 만들기 전략 = 5
• 4. 연구의 제한점 = 6
• 5. 기대되는 효과 = 6
• Ⅱ. 이론적 배경 = 7
• 1. 문제 만들기의 의의 = 7
• 2. 문제 만들기 제재 및 유형 = 8
• 가. 실세계적 상황 = 8
• 나. 수학적 세계 = 9
• 3. 문제 만들기 단계 및 전략 = 11
• 가. 수학적 세계로부터 문제 만들기 단계 및 전략 = 11
• 나. 실세계적인 상황으로부터 문제 만들기 단계 및 전략 = 13
• 4. 문제의 유형 = 14
• 5. 선행 연구 고찰 = 15
• Ⅲ. 연구 방법 및 절차 = 16
• 1. 연구 절차 = 16
• 2. 예비 검사 = 18
• 가. 1차 예비 검사 = 18
• 나. 2차 예비 검사 = 28
• 다. 예비 검사 결과의 시사점 = 34
• 3. 본 검사 = 35
• 가. 본 검사를 위한 문제 만들기 제재 선정 = 35
• 나. 연구 대상 아동의 선정 = 36
• 다. 연구 대상 아동의 특성 = 37
• 라. 본 검사 방법 = 43
• 마. 문제와 문제 만들기 분석을 위한 틀 = 44
• Ⅳ. 문제 및 문제 만들기 전략의 특성 분석 = 47
• 1. 문제 만들기 제재 [1]의 분석 = 47
• 가. 아동들이 만든 문제의 특성 분석 = 47
• 나. 문제 만들기 전략의 특성 분석 = 53
• 다. 분석 결과 종합 = 68
• 2. 문제 만들기 제재 [2]의 분석 = 71
• 가. 아동들이 만든 문제의 특성 분석 = 71
• 나. 문제 만들기 전략의 특성 분석 = 76
• 다. 분석 결과 종합 = 89
• 3. 문제 만들기 제재 3의 분석 = 92
• 가. 아동들이 만든 문제의 특성 분석 = 92
• 나. 문제 만들기 전략의 특성 분석 = 97
• 다. 분석 결과 종합 = 114
• Ⅴ. 요약 및 결론 = 117
• 1. 요약 = 117
• 2. 결론 = 120
• 참고문헌 = 124
• 부록Ⅰ 진단 평가지 = 126
• 부록Ⅱ 성취도 평가지 =128
• 부록Ⅲ 조사대상 아동의 특성 = 130
• 부록Ⅳ 제재 1에서 만든 문제 = 131
• 부록Ⅴ 제재 2에서 만든 문제 = 134
• 부록Ⅵ 제재 3에서 만든 문제 = 137
• ABSTRACT = 140