수학 문제유추에 의한 관계적 구조의 지도

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

The teaching structure of mathematics has been one of the central goals in mathematics education for many years. Even though there were a few attempts, such as the New Math movement, to teach the structure of mathematics to students, those attempts were not successful. One of the reasons for their failure was that the educators attempted to teach mathematical structure, which is the research object of mathematicians, to students. This is the starting point for the following study, which defines relational structure in school mathematics as a concept which can be operated by students and then suggests mathematical problem analogy as a tool of teaching relational structure. In addition, this study investigates learning of relational structure via mathematical problem analogy. It also examines the characteristics of mathematical problem analogy in teaching relational structure.
In this study, relational structure was defined as “the sets of objects in school mathematics and relations between the objects.” In addition, the learning of relational structure was regarded as the construction of operations of relational structure. Mathematical problem analogy, a tool used to learn relational structure, was defined as “an activity of recognizing the relational structure, which is inherent in a given mathematical problem (named original problem) and constructing and solving new problems (named generated problems) on the basis of the relational structure of the original problem.” Two perspectives on the learning of relational structure through the utilization of mathematical problem analogy were presented as AOT (Actor-Oriented-Transfer) perspective and RFT (Relational Frame Theory) perspective.
The role of mathematical problem analogy in teaching relational structure was suggested to provide opportunities to experience advanced mathematical thinking, such as abstracting, generalizing, and conjecturing. To reveal the method of mathematical problem analogy in teaching relational structure, the goals and characteristics of mathematical problem analogy were presented. In addition, the characteristics of mathematical problems in respect to the condition of original problems and the types of generated problems were also presented. Strategies for implementing mathematical problem analogy were presented, including the addition of conditions to original problem, as well as both the elimination and the reservation of conditions of original problem.
To reveal the practice of teaching relational structure via mathematical problem analogy, two types of lessons were designed in this study. One employs public criticism, while the other applies teacher feedback. These lessons were based on the AOT perspective and the RFT perspective, respectively. The results of the experiment utilizing these two types of lessons for mathematically gifted students show the difference of students’ levels of exploration in relational structure as well as the emergence of advanced mathematical thinking in both lessons.
In the lesson for mathematical problem analogy based on public criticism, the identified features included a change in the level of exploration of relational structure and the emergence of orientation for the construction and resolution of challenging mathematical problems. Meanwhile, in the lesson for mathematical problem analogy based on teacher feedback, conjecturing, mathematical problem solving, and the generalization of relational structure were found. Based on the results of the two lessons, the strengths and weaknesses of each lesson were discussed. Finally, the pedagogical implications of this study, along with future research themes, were presented.

국문 초록 (Abstract)

수학의 구조를 지도하는 것은 오랫동안 수학교육의 목표였다. 이전에도 새 수학 운동과 같이 수학의 구조를 지도하고자 한 사례들이 있었으나 이러한 시도들은 그다지 성공적이지 않았다. 본 연구는 이러한 시도들이 성공하지 못한 이유 중 하나가 수학자들의 연구 대상이면서, 학생들이 다루기는 어려운 ‘수학적 구조’를 가르치고자 했기 때문이라는 문제의식에서 출발하였다. 따라서 본 연구에서는 수학 교수학습 상황에서 학생들이 다룰 수 있는 학교수학에서의 ‘관계적 구조’를 정의하고, 관계적 구조를 지도하는 도구로 ‘수학 문제유추’를 제시하였다. 그리고 이를 바탕으로 수학 문제유추에 의한 관계적 구조의 학습 및 관계적 구조의 지도에서의 수학 문제유추의 특징을 밝히고자 하였다.
본 연구에서는 관계적 구조를 ‘학교수학에서의 대상들과 대상들 사이에 성립하는 관계들의 집합’으로 정의하였으며, 관계적 구조를 학습한다는 것을 관계적 구조에 대한 조작을 구성하는 것으로 간주하였다. 그리고 관계적 구조의 학습 도구로 제시한 수학 문제유추를 ‘주어진 수학 문제(원문제)에 내재된 관계적 구조를 파악하고 이를 바탕으로 새로운 문제(생성문제)를 만들고 해결하는 활동’으로 정의하였다. 수학 문제유추에 의한 관계적 구조의 학습 관점으로는 AOT(Actor-Oriented-Transfer) 관점과 RFT(Relational Frame Theory) 관점을 제시하였다.
관계적 구조를 지도함에 있어 수학 문제유추의 역할은 추상화와 일반화 그리고 추측하기 등의 고등 수학적 사고를 경험하는 기회를 제공한다는 점을 주장하였다. 그리고 관계적 구조를 지도할 때 고려해야 하는 수학 문제유추의 방법적 측면을 밝히기 위해 수학 문제유추의 목표와 성격을 제시하였으며, 수학 문제유추에서 주목하는 수학 문제들의 특성을 원문제가 갖추어야 하는 조건과 생성문제의 유형의 측면에서 다루었다. 이 외에도 수학 문제유추 수행에 도움이 될 수 있는 실용적인 전략을 원문제에 조건 추가하기, 원문제의 조건 제거하기, 원문제의 조건 유지하기로 제시하였다.
수학 문제유추에 의한 관계적 구조의 지도의 실제를 밝히기 위해, 수학 문제유추에 의한 관계적 구조의 학습 관점인 AOT 관점과 RFT 관점을 바탕으로 각각 ‘공적 비평’과 ‘교사 피드백’을 특징으로 하는 수학 문제유추 수업을 설계하였다. 각 수업에서 수학 영재 학생들을 대상으로 수학 문제유추에 의해 관계적 구조를 지도한 결과, 두 수업 모두에서 학생에 따라 관계적 구조의 탐구 수준에서 차이가 나타났으며 고등 수학적 사고를 확인할 수 있었다.
공적 비평에 기반한 수학 문제유추 수업에서는 학생들의 관계적 구조의 탐구 수준에서의 변화, 도전적인 수학 문제생성과 문제해결에 대한 지향 등을 확인하였다. 그리고 교사 피드백에 의한 수학 문제유추 수업에서는 추측하기와 수학적 문제해결 및 관계적 구조의 일반화 경험 등을 확인하였다. 각 수업에서의 결과를 바탕으로 관계적 구조의 지도를 위한 수학 문제유추 수업에서 공적 비평과 교사 피드백이라는 교사 중재 방법을 활용하는 것의 장단점에 대해 논의하였다. 마지막으로 본 연구에서 도출한 교수학적 시사점과 후속 연구 주제를 제시하였다

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ. 서론 1
• Ⅱ. 수학 문제유추에 의한 관계적 구조의 학습 6
• 1. 관계적 구조 6
• 1.1. 수학적 구조 7
• 1.2. 지식의 구조와 학습 12
• 1.3. 관계적 구조와 학습 16
• 2. 수학 문제유추에 의한 관계적 구조의 학습 21
• 2.1. 수학 문제유추 21
• 2.2. 수학 문제유추에 의한 관계적 구조의 학습 관점 31
• Ⅲ. 관계적 구조의 지도에서 수학 문제유추의 역할과 방법 44
• 1. 수학 문제유추의 역할 44
• 1.1. 추상화와 일반화 45
• 1.2. 추측하기 48
• 2. 수학 문제유추의 방법 52
• 2.1. 수학 문제유추의 목표와 성격 52
• 2.2. 수학 문제유추에서 원문제의 조건과 생성문제의 유형 55
• 2.3. 수학 문제유추의 전략 63
• Ⅳ. 수학 문제유추에 의한 관계적 구조의 지도의 실제 69
• 1. 교수실험 1 71
• 1.1. 교수실험 방법 71
• 1.2. 교수실험 결과 79
• 1.3. 요약 및 논의 101
• 2. 교수실험 2 103
• 2.1. 교수실험 방법 103
• 2.2. 교수실험 결과 108
• 2.3. 요약 및 논의 128
• 3. 요약 및 논의 130
• Ⅴ. 요약 및 결론 133
• 1. 요약 133
• 2. 논의 및 결론 135
• 참고문헌 141

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31. 예비교사와 현직교사를 위한 수학교육과정과 교재연구(개정판), 나귀수, 김남희, 박경미, 이경화, 정영옥, 홍진곤, 서울: 경문사, , 2011

32. 다이어그램적 추론으로서의 분석법에 기반한 기하 증명교육 연구, 김재홍, 서울대학교 대학원, 서울대학교 대학원 박사학위논문, , 2010

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36. 연구설계: 정성연구, 정량연구 및 혼합연구에 대한실제적인 접근 (강윤수 고상숙 권오남 류희찬 박만구 방정숙 이중권 정인철 황우형 역.). 서울: 교우사, Creswell, J. W., (영어 원저 2003출판), , 2005