측정 활동을 통한 분수 계산 알고리즘의 이해에 관한 연구 = (A) Study on the understanding of fraction calculating algorithm based in measurement activities

국문 초록 (Abstract)

본 연구의 목적은 학생들에게 측정 활동을 통하여 분수 계산 알고리즘을 이해시키는데 있다. 이러한 목적을 달성하기 위하여 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다.
1. 학생들에게 분수 계산 알고리즘을 이해시키기 위한 측정 활동을 어떤 것이 있는가?
2. 학생들은 측정 활동을 통하여 분수 계산 알고리즘을 어떻게 이해하는가?
연구 문제 1을 해결하기 위해 측정 활동 프로그램을 개발하였고, 연구 문제 2를 해결하기 위해 개발한 활동 프로그램으로 실험 수업을 실시한 후, 학생들의 사고와 행동을 보다 깊이 관찰하기 위해 질적 사례연구를 수행하였다.
분구와 관련된 각종 선행 연구 및 관련 정보를 수집하고, 현행 교과서의 분석을 통하여 활동 프로그램 초안을 만들었다. 실업 수업을 위한 연구 대상은 현행 교과서에 제시된 방벙을 통하여 분수의 전 과정을 수업 받은 6학년 학생들 중에서, 분수 계산 능력이 낮은 학생들을 대상으로 선정하였다. 먼저, 대구광역시에 소재하고 있는 N초등학교 6학년 학생 4명을 대상으로 예비 관찰을 실시하였고, 그것을 통하여 활동 프로그램을 수정·보완하였으며, 본 관찰에 대한 분석의 틀을 마련하였다. 본 관찰은 대구광역시에 소재하고 있는 G초등학교 6학년 학생 3명을 대상으로 실험 수업을 실시하였다.
실험 수업에 대한 자료 수집을 바탕으로 측정 활동을 통한 분수 덧셈과 뺄셈 알고리즘 이해, 측정 활동을 통한 분수 곱셈 알고리즘의 이해, 측정 활동을 통한 분수 나눗셈 알고리즘의 이해의 3가지 영역으로 구별한 후, 구체적인 과정을 측정 활동을 통한 계산 과정, 알고리즘의 이해 수준, 학생들이 겪는 어려움, 이 3가지 측면으로 나누어 분석하였다.
수집된 자료를 분석하여 다음과 같은 결과를 얻을 수 있었다.
분수의 덧셈과 뺄셈에서 학생들은 측정 활동을 통하여 분모가 같은 분수의 덧셈과 뺄셈에서는 단위분수가 몇 개 있는 것으로 쉽게 이해하였다. 분모가 다른 분수의 덧셈과 뺄셈에서는 (2)/(1)+(4)/(3)과 같이 둘 중 하나의 단위분수로 측정 가능한 것은 쉽게 이해하였지만, (2)/(1)+(3)/(2)과 같이 둘 중 하나의 단위분수로 측정할 수 없는 것은 분모가 같아야 할 필요성을 인식하는 단계까지 이해하였다.
분수의 곱셈에서 학생들은 측정 활동을 통하여 분자는 분자끼리, 분모는 분모끼리 곱한다는 것을 이해하였다. 네 가지 계산 중에서 가장 쉽게 알고리즘을 이해하였다.
분수의 나눗셈에서 학생들은 측정 활동을 통하여 제수의 역수를 곱한다는 것을 이해하였다. 포함제, 등분제, 곱셈의 역연산 개념 중에서 곱셈의 역연산 개념으로 접근하는 것이 학생들이 알고리즘을 가장 쉽게 이해하였다.
본 연구의 결과로부터 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다.
첫째, 분수 계산 수업은 기하와 대수의 통합적 접근으로 지도하여야 할 것 이다. 알고리즘의 핵심이 되는 사람들은 측정 활동을 통하여 이해시킨 다음, 그 이후의 부분들은 계산의 효율성을 위해 대수적으로 접근하여 지도하는 것이 바람직하다.
둘째, 현행 교과서의 문제 배열을 규칙적으로 변화시킬 필요가 있다. 본 연구를 통하여 알고리즘의 이해의 바탕은 구체적인 측정 활동과 함께 절차를 발견할 수 있는 체계적인 문제 배열이 중요함을 알게 되었다. 같은 문제들이라도 그 배열을 규칙적으로 하면 귀납적인 추론에 의해서 절차를 발견 할 수 있을 것이다.
셋째, 분수의 나눗셈 수업에서 곱셈의 역연산 개념으로의 접근이 필요하다. 현행 교육과정에서는 피제수가 자연수일 때는 등분제의 개념으로, 피제수가 분수일 때는 포함제의 개념으로 접근하여 분수의 나눗셈을 지도하거나 대수적인 방법으로 지도하고 있다. 하지만, 이와 같은 현행 체계는 근본적으로 제구의 역수를 곱하는 분수의 나눗셈 알고리즘을 이해하지가 쉽지 않다. 따라서, 곱셈의 역연산 개념을 통하여 제수의 역수를 곱하는 것을 이해시킨 후에 대수적으로 접근하는 방향으로 나아가야 하겠다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

The purpose of this study is to help students understand the calculating algorithms of fractions by measurement activities.
For this purpose, the research questions were established as follows:
1. What kinds of measurement activities are there which can help students understand the calculating algorithms of fractions?
2. How does the measurement activities help students understand the calculating algorithms of fractions?
An measurement activity program has been developed to solve the first research question, and then a case study was held after an experimental instruction using this activity program to solve the second research question.
By analyzing the collected data, following results were obtained.
Students easily understood how to add and subtract fractions with the same denominator, and also got the idea that the denominator should become the same to add and subtract fractions with different denominators. Through measurement activities of the multiplication of fractions, students understood to multiply numerators just with numerators, and denominators with denominator each other. Through the measurement activities, students understood that the reciprocal of the divisor should by multiplied in dividing fractions.
By obtained results of this research, following conclusions were obtained.
First, the core components of the algorithm should be taught through the measurement activities in lessons for calculating fractions. Then it should be taught in an integrated way by using algebraic approach for the convenience of efficient calculation. Second, problems shall be systematically arranged in order to teach fractional algorithm. Third, in lessons for dividing fractions, an approach to the idea of inverse operation should be made.
※A thesis submitted to the Committee of the Graduate School of Korea National University of Education in Partial Fulfillment of the requirement for the degree of Master of Education in February, 2004

목차 (Table of Contents)

• 차례 = i
• 논문요약 = ⅴ
• Ⅰ. 서론 = 1
• A. 연구의 필요성 및 목적 = 1
• B. 연구 문제 = 4
• C. 용어의 정의 = 4
• D. 연구의 제한점 = 5
• E. 기대되는 효과 = 6
• Ⅱ. 문헌 검토 = 7
• A. 이해의 개발에 관한 연구 = 7
• 1. 수학의 지식과 이해 = 7
• 2. 수학적 연결 = 10
• B. 분수의 이해 = 11
• 1. 분수의 발생 과정 = 11
• 2. 분수의 여러 가지 의미 = 13
• C. 분수의 연산 = 20
• 1. 분수의 연산 감각 = 21
• 2. 분수의 덧셈과 뺄셈 = 23
• 3. 분수의 곱셈 = 23
• 4. 분수의 나눗셈 = 24
• D. 측정 활동을 통한 분수 연산 지도 = 28
• 1. 측정 활동을 통한 수의 구성 = 28
• 2. 양적인 분수의 이해 = 29
• 3. 측정의 기본 단위로서의 단위분수 = 30
• Ⅲ. 연구 방법 및 절차 = 32
• A. 연구 대상 = 32
• 1. 예비 관찰 = 32
• 2. 본 관찰 = 33
• B. 연구 설계 = 34
• 1. 활동 프로그램의 개발 = 36
• 2. 실험 수업 = 45
• C. 자료 수집 = 47
• 1. 문서 자료 = 47
• 2. 관찰 자료 = 47
• 3. 면담 자료 = 47
• D. 자료 분석 = 48
• Ⅳ. 결과 분석 및 논의 = 49
• A. 결과 분석 = 49
• 1. 측정 활동을 통한 분수 덧셈과 뺄셈 알고리즘의 이해 = 49
• 2. 측정 활동을 통한 분수 곱셈 알고리즘의 이해 = 63
• 3. 측정 활동을 통한 분수 나눗셈 알고리즘의 이해 = 71
• B. 논의 = 84
• Ⅴ. 요약 및 결론 = 89
• A. 요약 = 89
• B. 결론 및 제언 = 91
• 참고문헌 = 93
• ABSTRACT = 97
• 부록 = 99
• 부록 1. 예비 검사지 = 100
• 부록 2. 활동 프로그램 = 101
• 부록 3. 기록지 = 119