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선형 탄성 문제의 경계적분식 해와 변분해의 동등성 증명
유영면,박찬우,권길헌 대한기계학회 1987 대한기계학회논문집 Vol.11 No.6
본 연구에서는 우선 선형 탄성문제의 변분해(variational solution)가 Sobol- ev 공간[ $H^{1}$(.OMEGA.)]= $H^{1}$(.OMEGA.)* $H^{1}$(.OMEGA.)* $H^{1}$(.OMEGA.)에서 유일하게 존재함을 재 검토하고 다음으로 경계적분식의 해도 변분해와 같음을 보인다. 이것은 선형 탄 성문제의 경우 고전해(classical solution)가 존재하지 않을 경우에도 BEM을 사용하여 변분해의 수치적 근사치를 구할 수 있다는 수학적 근거가 된다. 이를 위해서 Sobol- ev 공간 내에서의 Green's formula를 적용하는데 점하중해의 특이점(singularity)때문 에 Green's formula를 적용하기가 곤란해진다. 이 문제는 적분영역 .OMEGA.를 .OMEGA.-B$_{\rho }$로 치환하고 .rho.를 0으로 접근시키는 방법으로 해결한다. 이 때 B$_{\rho}$는 특이 점에 중심을 두고 매우 작은 변경 .rho.를 갖는 구이다.ho.를 갖는 구이다. In this study mathematical properties of variational solution and solution of the boundary integral equation of the linear elasticity problem are studied. It is first reviewed that a variational solution for the three-dimensional linear elasticity problem exists in the Sobolev space [ $H^{1}$(.OMEGA.)]$^{3}$ and, then, it is shown that a unique solution of the boundary integral equation is identical to the variational solution in [ $H^{1}$(.OMEGA.)]$^{3}$. To represent the boundary integral equation, the Green's formula in the Sobolev space is utilized on the solution domain excluding a ball, with small radius .rho., centered at the point where the point load is applied. By letting .rho. tend to zero, it is shown that, for the linear elasticity problem, boundary integral equation is valid for the variational solution. From this fact, one can obtain a numerical approximatiion of the variational solution by the boundary element method even when the classical solution does not exist.exist.
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유영면,이항섭,Yoo, Yung Myun,Lee, Hang Sup 대한토목학회 1986 대한토목학회논문집 Vol.6 No.4
본 논문에는 최적설계 시 설계변수를 미리 정해진 유한 개의 숫자로 구성된 집합에서 선택함으로써 규격부재를 사용하여 구조물을 최적설계하는 방법에 대한 연구 결과가 수록되었다. 본 연구에서는 일차로 설계변수가 연속적으로 변할 수 있는 경우의 연속최적해를 구한 후 이로부터 가까이 있으며 제한조건을 위배하지 않는 가최적해(Pseudo-optimum)을 주어진 설계변수의 집합으로부터 선택하고, 이를 개선하여 목적함수를 최소화하는 최종 불연속최적해를 찾는 방법을 사용하였으며, 이를 최척화 기법의 하나인 미분벡터 투영법 (Gradient Projection Method)과 결합하여 문제 해결을 시도하였다. 개발된 방법을 이용하여 응력, 변위 몇 생계변수 제약조건들이 포함된 각종 트러스 구조물을 설계한 결과 이 방법이 설계변수가 규격을 만족시켜야 하는 최적설계 문제에 광범위하게 적용될 수 있음이 밝혀졌다. In this paper research results of developing a method of selecting design variables of an optimization problem from a finite set of pre-specified numbers, which can be utilized for the structural optimization with standardized structural members, is presented. The method first finds a continuous optimum under the assumption that design variables can be varied continuously. Then a pseudo-optimum is determined by selecting numbers from the set that are near to the continuous optimum and do not violate constraints. The pseudo-optimum is further improved to obtain the final discrete optimum from the set which minimizes cost function of the problem. In this research, the method is combined with the gradient projection optimization algorithm. The method is applied to several minimum weight truss optimization problems with constraints on the stresses, displacements, and design variables. As the results, it is found that the method can be efficiently applied to various optimization problems of which design variables must be chosen from a standard.
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유영면,Yoo, Yung Myun 대한토목학회 1985 대한토목학회논문집 Vol.5 No.4
본 연구에서는 평면 변형도상태 하에서 정수압을 받는 2차원 탄성 콘크리트 댐의 단면 모양을 최적화함으로써 댐의 질량을 최소화하였다. 최적화 문제의 목적함수로는 댐의 단면적이, 제약조건으로는 주응력 제약조건과 두께 제약조건들이, 설계변수로는 모델 경계의 모양이 채택되었다. 모델 영역의 변화에 따른 설계감도해석을 위해 최적화 문제를 범함수 형태로 변환한 후 연속체 역학의 물질미분 개념과 Adjoint Variable Technique 을 활용하였고, 최적화를 위해서는 Gradient Projection Method 를 사용하였다. 연구 결과 본 연구에 적용된 이론이 효율적이고 실제 탄성구조물 설계에 광범위하게 응용될 수 있음이 밝혀졌다. In this research mass of a plane strain two dimensional elastic concrete dam under gravitational and hydrostatic loads is minimized, through shape optimization of the dam cross section. Cross sectional area of the dam is taken as cost function of the optimization problem while constraints on the principal stress distribution and dam thickness are imposed. Shape of the boundary of the model is chosen as design variable. Variational formulation of the optimization problem, the material derivative idea of continuum mechanics, and an adjoint variable method are employed for the shape design sensitivity calculation. Then the gradient projection algorithm is utilized to obtain an optimum design iteratively. Research results fully demonstrate that the theory and procedure adopted are quite efficient and can be applicable to a wide class of practical elastic structural design problems.
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等係數 유한요소를 사용한 2차원 열전달시스템의 형상 최적설계
유영면,박찬우 대한기계학회 1987 대한기계학회논문집 Vol.11 No.1
본 논문에서는 열전달문제 역시 변분형으로 전환될 수 있음에 착안하여 전미 분 개념을 도입해서 전도와 대류가 있는 열전달모델에서 주어진 면적 제한조건을 만족 시키며 지정된 경계에서의 온도가 주어진 온도에 가장 근접할 수 있는 모델의 형상을 찾는 방법을 연구하였다. 어떤 물질의 열전달 상태를 바꾸어 경계에서의 온도를 원 하는 바대로 조정하는 문제는 실제 공정에서 중요한 경우가 많다.해석시 열전달 상 태 방정식과 adjoint식은 6절점 삼각형 등계수 요소의 유한 요소법을 이용하여 해석하 였다.설계민감도의 정확한 계산을 위해서는 임의의 형상변화에 따른 경계에서의 수 치적분이 정확해야 하므로 경계를 곡선으로 표시할 수 있는 등계수 요소가 필요하다. 설계 민감도 해석이 진행된 후에는 최적화 기법의 하나인 미분벡터 투영법(Gradient Projection Method)을 사용하여 최적화를 시도했다. 최적설계 과정중 매번 계산결과 에 의해 형상의 변화가 진행되므로 그때마다 유한 요소 모델을 적절히 변화시켜 주어 야 한다. 모델의 경계는 3차함수로 근사화하여 형상이 부드러운 곡선이 되도록 했 으며 설계변수는 근사화한 3차함수를 결정할 수 있도록 정하면 되나 본 연구에서는 모 델의 변화에 따른 y좌표의 변화는 없다고 가정하여 모델경계의 세점을 취해 그 점들의 x좌표를 설계변수로 했다. In this study a method of shape optimization is applied to two dimensional heat transfer system. For this the optimization problem is defined in a functional form including cost, constraints and the system governing equation. Then the material derivative concept in continuum mechanics and the adjoint variable method are employed for the shape design sensitivity analysis. With the sensitivity analysis results, an optimum is sought with the gradient projection optimization algorithm. The two dimensional isoparametric finite elements are used for accurate analysis and sensitivity calculations. The above method is employed to find the boundary shape to achieve a desired temperature distribution along a segment of the boundary subject to the maximum area constraint.
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