통합 학습 자료를 적용한 미분 개념 학습과 지도의 사례 분석

최중민 한국교원대학교 대학원 2014 국내석사

본 연구의 목적은 미분 개념을 학습하는데 있어 학생들이 쉽게 접근할 수 있고, 활동을 통하여 스스로 개념을 구성할 수 있는 통합 교육을 활용한 학습 자료를 개발하고 개발된 자료를 적용하였을 때, 미분 개념을 구성하는 과정을 분석하여 학교수학수업에서 미분 개념을 지도하는데 긍정적인 효과를 주는 교수-학습의 한 예를 마련하고자 함이었다. 이를 위해 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 1. 미분 개념 학습을 위한 체육, 물리, 수학의 통합 학습 자료를 개발한다. 2. 개발된 통합 학습 자료를 적용하여 지도하였을 때, 학생들이 미분 개념을 구성하는 과정은 어떠한가? 3. 개발된 통합 학습 자료를 적용하여 지도하였을 때, 체육, 물리, 수학의 개념 변화는 어떠한가? 이와 같은 연구문제를 해결하기 위해 고등학교 자연계 과정 2학년 학생 4명을 대상으로 실험을 실시하였고, 6차시 본 실험 동안 학생들의 활동 영상, 활동지, 사전 설문지, 사전-사후 검사지, 면담 자료를 수집하여 분석하였다. 연구문제 1을 해결하기위해 통합 교육 과정에서 분류한 통합 유형 중 간학문적 통합원리를 적용하여 체육, 물리, 수학 과목을 연계한 통합 학습 자료를 개발하였다. 교육과정의 연속성을 위해 동학년 통합 학습 자료를 개발하였고, 수학과학 연속체 모형을 바탕으로 이미 학습한 체육과 물리 개념을 바탕으로 수학의 개념을 추출하여 점진적으로 수학화를 이루는 수업 모형을 개발하였다. 연구문제 2를 분석한 결과, 현상의 직관적 탐구 단계에서 체육 시간에 배운 배드민턴의 하이클리어의 스윙 자세와 스윙 규칙으로부터 물리 법칙을 찾아내었고, 수학적 개념 추출 단계에서 물리 법칙으로 구한 셔틀콕의 속도에 관한 식에서 순간 속도의 개념을 추출하고 순간 속도를 구하는 방법을 추론해 나갔다. 수학적 개념 학습 단계에서는 공학을 활용하여 운동 선수의 스윙 폼에 관한 시간-거리 그래프에서 두 점을 지나는 직선의 기울기를 구해보고 두 점을 가까이 가져가는 활동을 통해 순간 속도가 접선의 기울기가 됨을 추론하였다. 마지막 형식화와 추상화 단계에서는 접선의 기울기를 재정의하고 순간 속도를 수학적으로 표현하여 미분 계수를 구성하고 임의의 점에 대한 미분 계수를 대응시키면서 도함수의 개념을 구성하였다. 연구문제 3을 분석한 결과, 체육에서는 단순히 기능 습득을 하기 위한 과목으로만 여겼던 인식이 그와 같은 자세와 규칙은 수학과 물리를 이용한 최적화된 폼이라는 것을 알게 되면서 체육에 대한 인식과 스윙 자세에 대한 이해를 변화시켰다. 물리에서는 속도와 시간 그래프를 거리와 시간 그래프로 바꾸는 문제를 실험활동 후에 더 많이 해결하는 모습을 보였다. 수학에서는 접선의 개념을 할선의 극한으로 변화시켰으며, 할선의 극한 개념을 이용하여 순간 속도를 구하고 미분 계수의 개념을 습득하고 평균 변화율의 비 값의 극한으로 순간변화율이 된다는 것을 이해하였다. 그리고 공학을 이용하여 도함수의 개념까지 확장하였다. 본 연구를 통해서 학생들이 활동을 통해서 미분 개념을 구성해 나갈 수 있었고, 통합 학습 자료는 각 과목의 주요 개념의 통합적 이해가 가능하도록 하였다. 그리고 공학은 따로 분리 되어 있던 과목을 통합하도록 하는 매개체의 역할을 한다는 것이 드러났고, 학생들은 통합 학습 자료를 통해 각 교과목에 대한 인식 및 이해의 변화를 가져왔다. 이러한 결과로부터 통합 교육을 활용한 학습 자료는 미분 개념을 지도하는데 있어 긍정적인 영향을 주는 교수-학습 방법의 한 예임을 시사한다.

수학적 의사소통으로서 쓰기 지도를 통한 고등학생의 수학적 태도 변화

배민정 한국교원대학교 교육대학원 2012 국내석사

본 연구의 목적은 고등학생에게 수학적 의사소통 능력 중 쓰기 활동을 지도한 후 수학적 태도의 변화를 분석해 보고자 한다. 쓰기지도 유형으로는 분할 노트와 일지쓰기 지도를 통해 긍정적인 수학적 태도의 변화를 알아보고, 수학 교실에서 쓰기 지도의 활성화를 시사하고자 한다. 이를 위하여 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. (1) 분할노트를 통한 쓰기학습지도가 수학적 태도(수학에 대한 학습태도, 흥미도, 자신감, 수학교과에 대한 인식, 문제해결 방법)에 어떻게 변화를 주는가? (2) 일지쓰기를 통한 쓰기학습지도가 수학적 태도(수학에 대한 학습태도, 흥미도, 자신감, 수학교과에 대한 인식, 문제해결 방법)에 어떻게 변화를 주는가? 연구 대상에 대한 폭넓은 이해와 적합한 해결방안을 모색하기 위하여 사례연구를 수행하였다. 전라남도 해남읍에 소재하고 있는 고등학교 1, 2 학년 학생 6명(남: 2명, 여: 4명)을 연구 대상으로 분할노트와 일지쓰기 지도를 일주일에 2~3회를 실시하여 총 50차시(1차시에 1시간~1시간 30분 소요) 동안 연구가 이루어 졌다. 쓰기 활동을 통하여 학생들의 수학적 태도의 변화를 구체적으로 알아보기 위해 수학에 대한 학습태도, 수학에 대한 흥미도, 수학에 대한 자신감, 수학 교과에 대한 인식, 수학 문제 해결 방법을 분석틀로 설정하였다. 분할 노트와 일지쓰기 양식을 나누어 주었으며 문서 자료, 설문지 및 면담 자료, 관찰일지를 바탕으로 쓰기 지도 활동을 통해 나타난 수학적 태도를 분석하였다. 본 연구를 통하여 얻은 연구결과는 다음과 같다. 첫째, 분할 노트 쓰기를 통하여 학생들은 학습태도의 변화, 자신감 향상, 수학교과에 대한 긍정적인 인식의 변화가 생겼다. 노트의 왼쪽에 자신의 생각과 전략, 문제에 대한 느낌을 쓰므로 인하여 사고력, 표현력, 논리력이 향상되었다. 노트 쓰기를 통해 수업에 집중하게 되고 적극적인 참여를 하고, 다양한 문제 해결 방법으로의 접근을 유도하며, 오답률을 줄여서 자신감 및 수학교과에 대한 긍정적인 인식의 변화를 주었다. 여기에 교사의 적절한 발문 및 피드백이 주어진다면 학습능력이 향상됨과 동시에 학생 자신과 교사와 학생간의 수학적 의사소통이 원활히 이루어지는 매개체가 된다. 둘째, 일지 쓰기를 통하여 자기반성의 기회, 복습의 효과, 치료의 효과가 있었다. 학생들은 일지 쓰기를 하면서 수학적 정의와 개념을 정리하고, 배운 내용을 재확인하는 복습의 효과를 봤으며, 수업 중 선생님의 말을 기억했다가 자신만의 글로서 다시 표현하여 “자신만의 노트”를 만들어 수학을 가깝게 느낄 수 있다고 하였다. 또한 자신에게 응원의 메시지를 남기거나 반성의 기회를 가짐으로서 치료의 효과를 보았다. 즉, 일지쓰기를 통하여 학생들은 수학에 대한 학습태도의 변화와 흥미와 자신감이 향상되었음을 알 수 있었다. 일지쓰기도 학생 자신과 학생과 교사간의 의사소통의 수단이 되었으며, 자기 성장 기록으로 학부모님들이 자녀교육에 긍정적인 반응을 보였다. 셋째, 쓰기 지도를 통하여 학생들의 성향에 따라 차이가 있지만 긍정적인 수학적 태도의 변화를 가져다준다. 수학시간에 멍하게 앉아 있거나 수학이 너무 어려워 쉽게 포기하고 수업시간에 잠을 자는 학생들이 학년이 올라 갈수록 많아지고 있다. 하지만 쓰기를 통하여 학생들이 수업에 적극적으로 참여하며, 수학 교실에서 교사가 안내하고 쓰기 지도를 활용하면 학습태도가 개선되고 문제해결력이 향상되어 학업성취도에도 효과를 볼 수 있다. 결론적으로, 분할노트와 일지쓰기를 통하여 쓰기학습을 한다면 일방적인 교사중심의 의사소통방식이 학생자신과 학생과 교사간의 쌍방향 의사소통의 매개체가 되어 수학학습에서 나타나는 시행착오과정 및 수학의 성장과정을 학생 스스로 경험하게 되므로 수학적으로 의미가 있음을 알 수 있다. 이러한 과정을 통하여 수학적 의사소통능력이 신장되고 긍정적인 수학적 태도를 가져 NCTM 및 현 교육과정에서 강조하는 정의적 영역이 강화될 것이다.

중학교 과학과 연계한 고등학교 1학년 함수 지도

이설 한국교원대학교 대학원 2013 국내석사

본 연구의 목적은 중학교 과학과 연계한 고등학교 1학년 함수단원의 교수·학습을 구성하여 학생들에게 적용하였을 때 나타나는 학습의 과정을 살펴보고 그 과정에서 학생들의 수학에 대한 흥미와 가치인식이 어떻게 나타나는지 알아보는 데 있다. 이러한 목적을 달성하기 위하여 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. 1. 중학교 과학과 연계하여 구성한 고등학교 1학년 함수 단원의 교수·학습 과정은 어떠한가? 2. 중학교 과학과 연계한 고등학교 1학년 함수 단원 교수·학습에서 학생들의 수학에 대한 흥미와 가치인식은 어떻게 나타나는가? 연구문제 1과 2의 답을 얻기 위해 먼저 문헌검토를 통하여 중학교 과학과 연계한 고등학교 1학년 함수 단원의 5차시 교수·학습을 계획하고 전문가의 검토를 받았다. 그 후 질적 사례연구를 수행하기 위해 연구대상으로 전주시에 소재한 G여자고등학교 중·상위권의 학생들 중에서 지원을 받아 연구에 끝까지 참여할 수 있다고 동의한 3명의 학생을 선발하였다. 연구를 위한 수업은 2012년 7월과 8월에 걸쳐 2주 동안 5차시의 수업을 실시하면서 학생들의 학습과정을 한 대의 캠코더로 녹화하였으며 학생들의 활동지와 과제, 면담자료 등을 수집·분석하였다. 자료를 분석하여 얻어진 결과를 토대로 다음과 같은 결론을 내렸다. 첫째, 중학교 과학만으로도 고등학교 1학년 함수(함수의 뜻, 함수의 그래프, 항등함수, 상수함수, 일대일대응, 합성함수, 역함수)의 교수·학습이 효과적으로 이루어질 수 있다. 본 연구에서는 중학교 과학교과서를 분석하여 함수와 과학의 관련성을 밝힌 선행연구들을 토대로 수업을 구성하여 실제 학생들에게 적용하였다. 학생들은 처음에는 연구자가 제공하는 과학의 소재에서조차 함수를 찾기 어려워하였다. 그러나 차시가 진행되어감에 따라 연구자가 개념을 소개하기 전에 주어진 예를 통해 스스로 개념과 조건을 찾아내는 모습까지 보였다. 또한 과학에서 함수의 예를 찾아오는 과제를 수행하는 과정에서 단순히 예를 찾는 것이 아니라 자신이 찾은 예가 왜 함수의 예가 되는지 설명해보고 서로 피드백하는 과정을 통해 개념이 더욱 정교해졌다. 둘째, 학생들도 과학과 함수의 관련성에 대해 인식하게 되었다. 수업 전 개별 면담에서 가영이는 수학과 과학은 전혀 관련이 되어있지 않다고 하였는데, 수업을 모두 마친 후 개별 면담에서는 과학을 학습하는데 함수적 사고능력이 필요하다고 생각하느냐는 질문에 배워보니 관련된 것이 많다고 대답하는 것을 볼 수 있었다. 또한 나머지 학생들도 과학과 함수가 관련성이 있다고 답하였다. 이는 수업에서 소재로서 과학을 활용하여서라기보다는 학생들이 직접 과학에서 함수를 찾아보는 활동을 수행했기 때문인 것으로 볼 수 있다. 셋째, 본 연구에서 구성하여 적용한 학생활동중심의 타교과와의 연계 수업은 학생들의 수학에 대한 흥미와 가치인식에 긍정적인 영향을 미친다. 학생들은 수학이 다른 교과의 학습에도 도움이 되며 수학 이외의 것에서 수학을 찾을 수 있다는 점에서 수학이 가치 있는 학문이라는 인식을 하게 되었다. 또한 본 연구에서의 과제는 열린 발문으로 볼 수 있는데, 학생들은 자유롭게 자신이 배운 기본적인 수학 개념의 예를 과학이라는 수학적으로 가공되지 않은 현상에서 찾아보는 활동을 함으로서 수학 학습에 흥미를 보였다.

실생활 연계 수학 수업이 중학교 수학 학습 부진아에게 미치는 영향 : 방정식과 함수영역을 중심으로

최민아 한국교원대학교 대학원 2013 국내석사

본 연구는 실생활 연계 수학 수업이 중학교 수학 학습 부진아에게 미치는 영향에 대한 연구로 실생활 연계 수학 수업에서 나타난 수학 부진아의 인지적 및 정의적 영역에 대한 분석을 통하여 수학 부진아의 지도방안을 모색하는데 그 목적이 있다. 이에 따라 다음과 같이 연구 문제를 설정하였다. 가. 실생활 연계 수학 수업이 중학교 수학 부진아의 인지적 영역에 어떠한 영향을 주는가? 나. 실생활 연계 수학 수업이 중학교 수학 부진아의 정의적 영역에 어떠한 영향을 주는가? 위의 연구문제를 해결하기 위하여 중학교 2학년 수학 학습 부진아 학생 3명을 대상으로 사례연구를 실시하였다. 총 6차시에 걸쳐 중학교 1-2학년 수준의 방정식과 함수영역의 실생활 연계 수업을 진행하였고, 면담 및 관찰을 통하여 얻은 자료를 분석하였다. 본 연구의 결과는 다음과 같다. 첫째, 실생활 연계 수학수업은 수학 부진학생들의 수학적 지식을 형성하는데 도움을 줄 수 있다. 학생들의 잘못된 지식이나 불확실한 지식에 대해 실생활 소재를 활용한 수업을 통하여 이를 수정할 수 있었다. 둘째, 식 세우기 등의 수학적 표현에 도움을 줄 수 있다. 학생들은 미지수가 두 개인 식을 세우는 데에는 어려움을 겪었으나 과일을 이용한 실생활의 소재를 통해 식을 세울 수 있게 되었다. 셋째, 수학적 사고에 따라 문제해결을 하는데 도움을 줄 수 있다. 대응표를 작성하거나 함수식을 세우는 등에 대하여 능숙하지 못하였으나 실생활 사례들을 통하여 함수의 개념을 확실히 알고 스스로 대응표를 작성한 후, 함수의 식을 나타내고 함수의 그래프를 그리는 등의 능숙하게 수학적 사고를 통한 문제해결 및 표현이 가능해졌다. 넷째, 실생활 연계 수학 수업은 수학 학습 부진아들의 수학수업에 대한 흥미유발에 긍정적인 영향을 줄 수 있을 것이다. 수업에 참여한 학생들은 수학 학습 부진아로 학교수업에 부적응을 보였으나 실생활 연계 수업에서는 주변 상황을 통해 학생들의 수업 참여를 이끌 수 있었다. 그러나 단기간의 수업을 통하여 수학 자체에 대한 흥미를 높이기에는 부족함이 나타났다. 다섯째, 부정적인 자아 개념을 변화하는데 도움을 줄 수 있을 것으로 나타났다. 수학을 어렵다고 느끼고 스스로 문제를 해결하는 경험이 적어 수학에 대한 자신감이 적었으나 학생들이 스스로 문제를 해결하는 경험을 하게하여 자신감을 높여주었다. 여섯째, 수학 학습에의 동기를 심어줄 수 있을 것으로 나타났다. 학생들은 수학을 왜 배워야하는지에 대한 동기가 부족한 상태였다. 그러나 실생활과 연계된 수학 수업을 통하여 수학학습의 필요성을 인식하게 되었다.

동료멘토링을 활용한 수학수업이 오류교정에 미치는 영향 : 중학교 2학년 확률 단원을 중심으로

윤성보 한국교원대학교 교육대학원 2013 국내석사

본 연구는 확률단원의 문제 풀이 과정에서 자주 범하는 오류가 무엇인지 살펴보고 오류유형별, 소단원별, 난이도별로 동료멘토링을 활용한 학습을 통해 교정할 때와 교사가 강의식 수업으로 교정할 때를 조사하여 확률 문제 풀이 과정에서의 효과적인 교수전략과 학생들의 자기주도적 학습 능력 향상 및 수학에 대한 자신감을 회복하는데 목적을 두고 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. 연구문제1. 중학교 2학년 확률 영역에서 문제해결에 관한 오류교정 과정에서학생들이 범하는 오류유형별로 동료멘토링을 활용한 학습과 교사 강의식 수업의 오류교정 효과에는 어떤 차이가 있는가? 연구문제2. 중학교 2학년 확률 영역에서 문제해결에 관한 오류교정 과정에서 소단원별(경우의 수, 확률의 뜻, 확률의 성질, 확률의 계산), 난이도별(상, 중, 하) 동료멘토링을 활용한 학습과 교사 강의식 수업의 오류교정 효과에는 어떤 차이가 있는가? 본 연구를 통하여 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다. 오류유형별 오류교정의 효과 분석 결과 논리적으로 부적절한 추론, 풀이과정의 생략 및 중단은 동료멘토링을 활용한 학습이 오류교정에 더 효과가 있었고 언어적 어려움 때문에 일어나는 오류, 선행 지식의 부족, 문제풀이 시도를 하지 못한 경우는 교사 강의식 수업이 오류교정에 효과가 있었다. 기술적 오류는 동료멘토링을 활용한 학습과 교사 강의식 수업의 오류교정 효과가 비슷한 것으로 나타났다. 소단원별 오류교정의 효과 분석 결과 경우의 수 단원에서는 동료멘토링을 활용한 학습이 오류교정에 더 효과적이므로 멘토-멘티 간의 학생들이 스스로 문제의 의미를 이해하고 여러 가지 방법으로 식을 세워 계산을 해보고 계산한 결과를 확인하고 수정하는 과정을 거쳐 오류를 교정하도록 지도하는 것이 좋고, 다른 소단원에서는 동료멘토링을 활용한 학습과 교사가 강의식 수업할 때의 오류교정의 차이가 없으므로 난이도별, 오류유형별, 수업분위기, 주어진 교정시간에 따라 적절하게 지도하는 것이 효과적이다. 난이도별 오류교정의 효과 분석 결과 난이도 상 문제에서는 교사가 강의식 수업할 때 오류교정의 효과가 더 있으므로 교사가 주도적으로 문제의 의미와 실수하기 쉬운 부분에 대해 설명을 해주어 오류를 정확히 교정할 수 있도록 해야 하며 학생들이 혼동하기 쉬운 개념의 정확한 설명이 필요하다. 그리고 난이도 중 문제에서는 동료멘토링을 활용한 학습과 교사가 강의식 수업할 때의 오류교정의 차이가 없으므로 소단원별, 오류유형별, 수업분위기, 주어진 교정시간에 따라 적절하게 지도하는 것이 좋다. 또한 난이도 하 문제에서는 동료멘토링을 활용한 학습이 오류교정에 더 효과적이므로 멘토-멘티 간의 학생들이 스스로 문제의 의미를 이해하고 여러 가지 방법으로 식을 세워 계산을 해보고 계산한 결과를 확인하고 수정하는 과정을 거쳐 오류를 교정하도록 지도하는 것이 효과적이다.

수학교과교실제 운영에 대한 학생의 반응과 교사의 인식에 관한 연구

박성희 한국교원대학교 교육대학원 2013 국내석사

본 연구의 목적은 2009 개정 교육과정(총론)이 적용된 학년을 중심으로 수학교과교실제 운영에 대한 학생의 반응과 교사의 인식을 조사․분석하여 수학교과교실제의 올바른 정착과 활성화방안을 모색하는데 도움이 되고자 하였다. 이러한 연구 목적을 달성하기 위하여 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 1. 2009 개정 교육과정(총론)을 적용한 수학교과교실제 운영 현황은 어떠한가? 2. 2009 개정 교육과정(총론)을 적용한 수학교과교실제 운영에 대한 학생의 반응과 교사의 인식은 어떠한가? 가. 학생의 반응은 어떠한가? 나. 교사의 인식은 어떠한가? 이러한 연구 문제를 해결하기 위하여 과목중점형과 선진형 교과교실제를 선도적으로 운영하고 있는 대전광역시 소재 A중학교와 B중학교를 선정하여 교육과정 및 수학교과교실제 운영에 대한 자료조사와 수학교사 8명, 학생 269명을 대상으로 설문조사를 실시하였고, 좀 더 심도 있는 의견을 얻기 위해 면담을 실시하였다. 연구결과 각 학교 실정에 맞게 교육과정을 편성․운영하고 있으며, 수학교과 특성에 맞게 여러 개의 수학교과교실을 갖추고 이를 활용한 수준별 이동수업을 운영하고 있다. 교사들은 교육과정의 이해도, 교육과정 운영에 대한 만족도, 수학교과교실의 만족도 및 학습기자재활용도에서 대체적으로 보통 이상의 만족도로 나타났다. 학생들은 교육과정 이해도는 대체로 낮고, 블록타임제 만족도, 수학교과교실제의 만족도 및 학습기자재활용도의 만족도가 보통보다 약간 높은 것으로 나타났다. 이 때, 교과교실제 만족도와 학습기자재활용도에서 B중학교(선진형)가 A중학교(과목중점형)보다 낮았고(신뢰수준 5%), 특히 B중학교의 경우 블록타임제 만족도, 수학교과교실제의 만족도, 학습기자재활용도에서 기본반이 심화반과 보충반에 비해 낮았다.(신뢰수준 5%) 수학교과교실제 운영 시 교사의 업무 경감과 수학교과교실제와 블록타임제에 맞는 교수․학습 모형의 개발 및 교사 연수 등의 지원으로 교사의 전문성 신장을 위한 여건이 조성되어야 할 것이다. 또한 선진형 교과교실제 도입 시 학생들의 이동의 불편함 최소화와 이동시 일탈행위에 대한 대책 마련 논의가 필요할 것이다.

중학교 2학년의 사각형 지도에 대한 실행 연구

윤민지 한국교원대학교 교육대학원 2012 국내석사

본 연구는 중학교 2학년 사각형의 성질 단원에서 학생들이 증명 수업을 어려워하는 것으로 출발하였다. 증명수업의 어려움을 극복하고 여러 가지 사각형을 연결시킬 수 있는 하나의 관계망으로 삼각형에 선을 추가하여 사각형을 구성하는 수업을 계획하였다. 교사가 설계한 수업의 실행과정에서 여러 가지 사각형과 그 성질 그리고 여러 가지 사각형 사이의 관계를 이해하는 학생들의 사고과정을 분석하기 위하여 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 연구문제 1. 사각형을 구성하는 수업에서 학생들은 여러 가지 사각형과 그 성질을 어떻게 이해하는가? 연구문제 2. 사각형을 구성하는 수업을 통하여 학생들은 여러 가지 사각형 사이의 관계를 어떻게 이해하는가? 연구문제를 해결하기 위해 경기도 광주시 G중학교 2학년 학생들을 대상으로 7차시 수업을 진행하였고 현장을 촬영한 비디오를 분석하고 문서자료를 수집하였다. 또한 객관성을 유지하기 위하여 동료교사의 분석 결과를 추가하였다. 연구문제1에 대한 결과는 다음과 같다. 첫째, 학생들은 자신이 구성한 사각형의 종류에 답을 함으로써 사각형의 정의를 자연스럽게 확인할 수 있었다. 사각형의 성질을 파악하기 위해서 처음부터 평행사변형의 정의를 제시하고 그 도형에 대한 성질을 증명하는 방식이 아니라 여러 가지 사각형을 하나의 관계망으로 파악하기 위해서 삼각형에 선을 그어 사각형을 구성하였다. 삼각형에 추가하는 선의 종류와 주어진 삼각형의 종류에 따라 여러 가지 사각형의 종류가 결정되었고, 이에 학생들은 사각형의 정의를 이용하여 각 사각형의 종류에 답할 수 있었다. 둘째, 학생들은 사각형을 구성하였을 때 여러 가지 사각형의 성질을 보다 쉽게 찾았다. 구체적으로 중학교 1학년 때 학습한 평행선의 성질(동위각, 엇각), 맞꼭지각의 정의, 삼각형의 합동조건을 이용하여 여러 가지 사각형의 성질을 찾았다. 그리고 여러 가지 사각형의 대각선에 대한 성질은 초등학교 때 학습한 기억에 의존하여 찾는 경향이 높았다. 마름모와 직사각형, 정사각형은 주어진 삼각형의 종류만 다르고 평행선을 그리는 방법이 평행사변형을 구성할 때와 같았기 때문에 평행사변형의 성질을 마름모, 직사각형, 정사각형에서도 발견하였다. 셋째, 사다리꼴의 성질을 파악할 때에는 두 대각선으로 분할하여 만들어진 네 삼각형 중 두 삼각형의 넓이가 같음을 이해하는 데 많은 어려움을 보였다. 하지만 이 성질을 여러 가지 사각형의 성질 중 제일 먼저 학습한 학생들은 ‘평행선과 넓이’를 학습할 때 이 성질을 이해하여 평행선에서 넓이가 같은 도형을 쉽게 작도하였다. 넷째, 대부분의 학생들은 여러 가지 사각형의 성질이 성립하는 이유를 논리적으로 설명하는 데는 어려움을 보였다. 구체적으로 학생들은 평행사변형의 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하는 것과 마름모의 대각선이 서로 수직인 이유에 대해서 궁금해 하였지만 그 이유를 쉽게 설명하지 못했다. 연구문제 2에 대한 결과는 다음과 같다. 첫째, 학생들은 조건을 점점 추가하여 사각형을 구성하였을 때 여러 가지 사각형 사이의 관계에 대해 정확하게 알 수 있었다. 실제로 삼각형의 꼭짓점에 그은 선을 추가하는 방식과 주어진 삼각형의 모양을 고려하여 여러 가지 사각형의 이름을 붙였다. 그리고 학생들은 자신이 구성한 사각형의 답이 여러 개가 될 수 있었기 때문에 ‘정사각형은 직사각형이다.’, ‘마름모는 평행사변형이다.’ 등과 같은 여러 가지 사각형 사이의 관계를 정확하게 알 수 있었다. 둘째, 학생들은 여러 가지 사각형 사이의 관계를 파악하는 과정에서 포함관계에 대한 벤다이어그램을 서로 다른 두 가지 그림으로 이해하였다. 학생들은 구성한 사각형에 대한 답으로 여러 가지 사각형을 적었고 그 과정에서 교과서 상에 제시된 포함관계에 대한 벤다이어그램을 찾아보았다. 사각형의 정의에 대한 포함관계를 생각하는 학생들은 교과서의 그림을 이해하였지만 사각형의 성질에 대한 포함관계를 생각하는 학생들은 교과서의 그림에 대해 의문점을 가졌다. 연구 결과를 바탕으로 부족함과 제한점을 보완하여 후속 연구에 대해 제언하고자 한다. 첫째, 여러 가지 사각형의 대각선의 성질에 대해서는 초등학교 때 학습한 것에 비해 크게 달라진 점이 없었다. 이 부분에 대한 초등학교의 교육과정과 중학교 2학년의 교육과정에 차이가 거의 없다면 교육과정의 내용 적정성을 논의할 때 참고자료가 될 수 있을 것이다. 둘째, 사각형의 정의에 대한 포함관계와 사각형의 성질에 대한 포함관계의 상반된 인식에 대한 비교 연구가 필요하다. 초등학교 때에는 도형을 성질의 집합으로서 파악한다. 그래서 정의보다는 성질에 초점을 두어 도형의 개념이 형성되어 있는 학생들이 있다. 그렇기 때문에 교과서에 제시된 정의에 대한 포함관계의 그림이 학생들에게 혼란을 가져다 줄 수 있다. 따라서 정의와 성질에 대한 각각의 포함관계를 비교할 필요가 있다.

GeoGebra의 시각화 기능을 이용한 수열의 극한 학습 지도

김형준 한국교원대학교 대학원 2014 국내석사

본 연구의 목적은 GeoGebra의 시각적 기능을 이용하여 수열의 극한 학습 자료를 개발하고 이를 적용해 봄으로써 실험수업에서 나타나는 학생들의 특징을 분석하기 위한 것이다. 이러한 목적을 달성하기 위하여 다음과 같이 2개의 연구문제를 설정하였다. 1. GeoGebra를 활용한 수열의 극한 지도를 위한 학습자료를 개발한다. 2. GeoGebra를 활용한 수열의 극한 학습과정에서 나타나는 학생들의 특징은 어떠한가? 이러한 연구문제를 해결하기 위해 수열 극한 학습지도에 대한 선행연구를 검토하고 극한 단원에 대한 교육과정 및 교과서를 분석하여 수열 극한 단원에 대한 주요 학습 내용 및 개념을 파악하였다. 또한 학생들이 수열 극한 단원에서 겪는 오개념 및 귀납적으로 정의된 수열의 극한에서 발생하는 오류에 대해 조사하고 GeoGebra 활용에 관한 연구 및 시각화에 대한 연구, 그리고 수열 극한 단원과 관련한 교과서, 익힘책, 교사용 지도서에 내용들을 바탕으로 수열 극한 지도를 위한 학습 자료를 개발하였다. 개발한 수열 극한 학습 자료를 이용하여 고등학교 2학년 수학성적 중위권 학생 3명을 대상으로 총 6차시에 걸쳐 실제 실험수업을 진행하였고 이에 나타나는 학생들의 특징을 GeoGebra 활용의 효과를 중심으로 분석하였다. 본 연구의 결론은 다음과 같다. GeoGebra는 대수창, 기하창, 스프레드시트창이 동시에 나타나고 이들이 상호작용이 가능하다. 따라서 학생들은 기하창을 통해 수열 각 항들이 움직임 뿐만 아니라 스프레드시트창을 통해 각 항들의 구체적 값까지 확인할 수 있으므로 수열의 수렴과 발산을 직관적으로 판단할 수 있었다. GeoGebra 슬라이더 기능을 통해 학생들은 무한대분에 무한대꼴(분모, 분자가 n에 관한 다항식일때)의 극한을 직관적으로 유추하고 일반화 할 수 있었으며 공비 r을 슬라이더로 설정하여 무한등비수열의 수렴과 발산 조건을 시각적으로 확인할 수 있었다. 또한 GeoGebra의 그래프 기능을 이용하면 학생들은 점화식의 일반항을 구하지 않고도 각 항의 변화를 시각적으로 살펴봄으로써 수렴, 발산 여부를 쉽게 짐작할 수 있었고 이를 통해 귀납적으로 정의된 수열의 극한을 구할 수 있었다.

고등학교 3학년 학생들의 극한값과 미분계수에 대한 오류 실태분석

한상일 한국교원대학교 교육대학원 2013 국내석사

본 연구의 목적은 고등학교 3학년 학생들의 극한값과 미분계수의 오개념 및 오류들중 극한과 미분계수 개념을 완전히 이해하지 못한 학생들이 극한과 미분계수를 구하는 문제를 해결하기 위해 선택한 방법에서 나타나는 오개념 및 오류를 조사 분석하여 교재 및 평가문항의 제작과 수업지도에 시사점을 찾고자 하였다. 이를 위하여 다음과 같은 두 개의 연구 문제를 설정하였다 : 1. 극한값을 구하는 문제를 해결하기 위해 학생들이 선택한 방법에서 나타나는 오개념 및 오류는 무엇인가? (1) 수열의 극한을 구하는 문제를 해결하기 위해 학생들이 선택한 방법에서 어떠한 오개념 및 오류가 나타나는가? (2) 함수의 극한을 구하는 문제를 해결하기 위해 학생들이 선택한 방법에서 어떠한 오개념 및 오류가 나타나는가? 2. 미분계수를 구하는 문제를 해결하기 위해 학생들이 선택한 방법에서 어떠한 오개념 및 오류가 나타나는가? 위의 연구문제를 해결하기 위해 지필검사를 통한 조사연구방법을 선택하였으며 경기도 수원시의 남자 고등학교 중에서 연구자가 이용가능한 일 개교를 선정한 후 3학년 이과반 8학급 중에서 3개반 100명의 학생을 대상으로 하였다. 검사지는 연구자가 현장 교사들과 협의하고 검토한 후에 현행 고등학교 수학I, 수학II 교과서를 분석한 후에 전문가에게 타당성에 대한 검토를 받고 연구 대상 학생들에게 검사지를 통한 지필검사를 실시하였다. 본 연구결과로부터 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다 첫째, 수열의 극한 개념이 부족한 학생들의 비율에 비해 수열의 극한을 구하는 문제에서 학생들의 정답률은 상대적으로 높게 나타났다. 이것은 수열의 극한 개념이 부족한데 정답을 맞힌 학생들이 상당수 있기 때문으로 확인되었으며 이러한 학생들은 점화식이 주어진 극한 문제에서 수열의 극한값이 존재함을 전제로 정답을 맞힌 것으로 나타났으며 주어진 조건을 만족하는 수열의 일반항을 구하여 극한값을 계산하는 문제에서 수열의 일반항에 적당한 식이나 값을 대입하여 극한값을 계산하여 정답을 맞힌 것으로 나타났다. 이러한 결과를 볼 때 학생들이 경험한 극한값 문제들의 대부분이 극한값이 존재하고 그 극한값을 구하는 문제들로써 학생들이 문제에서 제시되는 수열의 극한에 대한 수렴과 발산에 대한 문제인식을 하지 않는 경향이 나타날 수 있음을 알 수 있다. 따라서 수렴하는 수열의 예들뿐만 아니라 발산하는 수열의 다양한 예들을 교육과정이나 교과서에서 제시하고 그러한 예들을 활용하여 보다 다양한 평가문항을 제작하는 것이 필요하다고 하겠다. 둘째, 함수의 극한 개념이 부족한 학생들의 비율에 비해 함수의 극한을 구하는 문제에 대해 학생들의 정답률은 상대적으로 높게 나타났다. 이것은 함수의 극한 개념이 부족한데 정답을 맞힌 학생들이 상당수 있기 때문으로 확인되었으며 함수의 극한 개념이 부족한데 정답을 맞힌 학생들은 불연속 함수의 극한문제에서 학생들은 함수가 연속이거나 극한값이 존재하는 문제에서는 우극한과 좌극한이 같으므로 함수의 극한값을 계산하는데 크게 어려움이 없는 것으로 나타났다. 그러나 함수의 극한 개념이 부족한 학생들 중 의미있는 수의 학생들이 치환이나 식을 변형하여 함수의 극한값을 계산할 때 함수의 우극한과 좌극한의 구별 없이 함수의 극한값을 계산하여 정답을 맞힌 것으로 나타났다. 이것은 치환하거나 식을 변형하여 계산하는 문제에서 함수의 극한 정의를 제대로 인식하지 못하고 있는 것으로 볼 수 있다. 따라서 치환을 하여 극한값을 계산하는데 이러한 오류가 있다는 것은 합성함수의 극한값 계산에 어려움이 있기 때문으로 교육과정과 교과서에서 합성함수의 극한값에 대한 내용을 조금 더 심도 있게 다룰 필요가 있다고 하겠다. 또한 상당수의 학생들이 공식처럼 유사한 함수의 극한값을 이용하여 계산하는 정답을 맞힌 것으로 나타났다. 따라서 보다 다양한 방법으로 극한값을 계산할 수 있는 평가문항의 제작이 필요하다고 하겠다. 셋째, 미분계수 개념이 부족한 학생들의 비율에 비해 미분계수를 구하는 문제에 대해 학생들의 정답률은 상대적으로 높게 나타났다. 이것은 미분계수 개념이 부족한데 정답을 맞힌 학생들이 상당수 있기 때문으로 확인되었으며 미분계수 개념이 부족한데 정답을 맞힌 학생들은 함수가 주어지고 그것의 미분계수를 계산하는 문제에서는 도함수를 구해서 미분계수를 해결하려 하였고 상당수가 정답을 맞힌 것으로 나타났다. 이러한 학생들은 미분계수의 존재가능성이 의심되는 점에서의 미분계수를 도함수의 극한값으로 계산하려고 한 것으로 나타났다. 도함수가 연속일 때, 미분계수를 도함수의 극한값으로 계산하는 것은 문제가 되지 않지만 도함수가 불연속이거나 도함수의 극한값이 존재하지 않을 때, 도함수의 극한값이 존재해도 도함수 함숫값 자체가 정의되지 않을 때는 미분계수 계산에서 오류가 나타남을 알 수 있었다. 이것은 학생들이 도함수의 연속성에 대해서 고민을 하지 않는 것으로 볼 수 있다. 교육과정이나 교과서에서 제시되는 대부분의 함수들이 그 도함수가 연속인 경우가 많으므로 학생들은 아무런 고민 없이 도함수의 함수값, 즉 미분계수를 도함수의 극한값으로 계산하고 있는 것이다. 현재 교육과정에 이계도함수를 다루고 있으므로 도함수의 연속이나 극한에 대한 내용을 보다 심도 있게 다루며 보다 다양한 함수들의 제시가 필요하다고 하겠다.

수학 익힘책에 대한 중학교 3학년 학생들의 문항 통과율 분석 : 2007 개정 수학과 교육과정을 중심으로

김성우 한국교원대학교 대학원 2012 국내석사

본 연구의 목적은 중학교 3학년 학생들이 2007 개정 교육과정에서 새로 도입된 수학 익힘책에 제시되어 있는 문제를 얼마나 잘 이해하고 있는가를 알아보기 위함이다. 이를 위하여 중학교 3학년 학생들의 문항 통과율을 분석하여 학습 내용의 이해도를 알아보기 위하여 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. 1. 2007년 개정 교육과정 중학교 3학년 수학 익힘책의 지역별(도시, 읍·면지역) 문항 통과율은 어떠한가? 2. 2007년 개정 교육과정 중학교 3학년 수학 익힘책의 남녀별 문항 통과율은 어떠한가? 3. 2007년 개정 교육과정 중학교 3학년 수학 익힘책의 단원별 문항 통과율과 문항별 학생들의 응답 반응은 어떠한가? 연구 문제를 해결하기 위하여 도시지역(서울, 부천, 청주, 광주, 목포) 8개 의 중학교, 읍·면 지역(보은, 완도, 신안)의 3개의 중학교 3학년 2개반 씩 임의로 선정하였다. 검사지는 20문항으로 선정 되었으며, 단원별로 수와 연산(5문항), 식의 계산(5문항), 이차 방정식(5문항), 이차 함수(5문항)로 구성 하였다. 검사문항은 수학 익힘책에 제시 되어 있는 문제를 가지고 문항을 구성하여 검사를 실시하였다. 검사를 실시한 후 학생 답안지만을 회수하여 정답자 수를 백분율로 나타내어 분석을 하였다. 본 연구를 통하여 다음과 같은 결론을 얻었다. 첫째, 중학교 3학년 학생들의 문항 통과율을 분석한 결과 모든 단원에서 도시지역 학생들의 문항 통과율이 읍·면지역 학생들의 문항 통과율에 비하여 높게 나왔으며, 이 차이는 유의미한 수준의 차이라는 것을 알 수 있었다. 이러한 차이를 해결하기 위하여 교사는 읍·면 지역 학생들을 위해 쉬운 문항에서부터 어려운 문항으로 단계적으로 학생을 지도하며 자기 주도적 학습을 하도록 도와주는 조력자의 역할을 해야 한다는 결론을 얻었다. 둘째, 남녀별 문항 통과율을 분석하여 본 결과 단원별로 남녀의 문항 통과율의 차이는 있었지만 t-검정 결과 이차 함수단원에서만 유의미한 차이가 있다는 것을 알 수가 있었다. 이는 여학생들의 학업 성취도가 남학생들의 학업 성취도에 비해 높지만, 그 차이는 점점 줄어들고 있음을 알 수가 있다. 셋째, 단원별로 문항 통과율을 분석하여 본 결과 이차함수 단원의 문항 통과율이 가장 낮음을 알 수 있다. 학생들이 이차 함수 단원을 다른 단원에 비해 상대적으로 잘 이해하지 못하고 있다는 결론을 얻었다. 함수 개념은 복잡하고 추상적인 수학적 사고력을 요하는 영역이며, 수학적으로 사고하고 의사소통하는 능력을 길러 다양한 문제를 합리적으로 해결하는 능력을 기르도록 해야 한다는 결론을 얻었다.