조건 과잉 또는 조건 부족의 수학 문제 해결 과정에 나타나는 영재학급 학생의 수학적 사고의 특성

국문 초록 (Abstract)

본 연구에서는 영재학급 학생들이 조건 과잉 또는 조건 부족의 수학 문제를 해결하는 과정을 관찰하였다. 조건 과잉 또는 조건 부족의 수학 문제를 해결하는 과정이 영재학급 학생들의 수학적 사고에 긍정적인 영향을 미칠 것이라는 생각에서 효과성을 보고자 하였다. 조건 과잉의 문제는 총 3가지 유형인 문제 해결과 관련이 없는 조건이 포함된 수학 문제, 특정 조건을 중복해서 서술한 자료가 포함된 수학 문제, 특정 조건을 통해서 추론해낼 수 있는 조건이 포함된 수학 문제로 개발하였다. 조건 부족의 문제는 단편적 조건을 추가해야 하는 수학 문제, 관계적 조건을 추가해야 하는 수학 문제로 개발하였다. 본 연구는 영재학급 학생들이 경험할 기회가 많지 않은, 조건이 지나치거나 부족한 수학 문제를 제시하여 그 문제들을 해결하는 과정에서 나타나는 영재학급 학생의 수학적 사고의 특성을 분석하는 것을 목적으로 하였다.

위의 목적에 따라서 연구 문제를 다음과 같이 설정하였다.
첫째, 조건 과잉의 수학 문제 해결 과정에 나타나는 영재학급 학생의 수학적 사고의 특성은 어떠한가?
둘째, 조건 부족의 수학 문제 해결 과정에 나타나는 영재학급 학생의 수학적 사고의 특성은 어떠한가?
연구 문제에 따라 본 연구는 조건 과잉 또는 조건 부족의 수학 문제를 개발하고 적용하여 영재학급 학생의 수학적 사고의 특성을 분석하였다. 이 연구 결과는 조건 과잉 또는 조건 부족의 수학 문제 해결 과정에 나타나는 영재학급 학생의 여러 가지 수학적 사고 중 직관적⋅구조적 통찰을 계발시키기 위해서 조건 과잉 또는 조건 부족의 수학 문제들이 영재수업에서 기초적인 자료가 될 수 있음을 입증하고자 하였다.

연구의 결과는 다음과 같다.
첫째, 영재학급 학생들이 조건 과잉의 수학 문제를 해결하는 과정에서 조건 과잉의 수학 문제 3가지 유형과 상관없이 다음과 같은 직관적, 구조적 통찰과 관련된 행동 요소를 빈번하게 보였다. 우선, 누락되거나 불필요한 조건을 인지하기 위하여 문제의 본질을 이루는 관계를 파악하는 과정이라 할 수 있는 ‘문제 해결 중에 문제에 드러나 있는 조건이 필요한 또는 불필요한 조건인지 중간 점검을 하는 것’이 해당된다. 또한 연구 참여자가 문제의 구조 속에 불필요한 요소를 인지하고 난 후의 행동이라 할 수 있는 ‘문제에서 관련된 정보와 관련되지 않은 정보를 분리해내는 것’, ‘전체와 핵심을 파악하고 관계를 지각하는 것’, ‘식보다도 관계를 이용해서 푸는 것’, ‘최적의 문제 해결 전략을 찾아내서 해결 계획을 수립하는 것’이 이에 해당된다.
또한 영재학급 학생들은 조건 과잉의 수학 문제 유형 3가지 중 다른 유형의 문제에 비해 상대적으로, 특정 조건을 중복해서 서술한 자료가 포함된 수학 문제 유형에서 문제와 관련된 정보와 그렇지 않은 정보를 월등하게 분리하였으며 따라서 문제의 전체적인 구조와 핵심을 더 수월하게 파악하였다.
둘째, 영재학급 학생들이 조건 부족의 수학 문제를 해결하는 과정에서 조건 부족의 수학 문제 유형과 상관없이 다음과 같은 직관적, 구조적 통찰과 관련된 행동 요소를 빈번하게 보였다. 문제의 본질을 이루는 관계를 파악하여 누락되거나 불필요한 조건을 인지하기 위한 과정이라 할 수 있는 ‘문제 해결 중에 문제에 드러나 있는 조건이 필요한 또는 불필요한 조건인지 중간 점검을 하는 것’과 연구 참여자가 문제의 구조 속에 부족한 요소를 인지하고 난 후의 행동이라 할 수 있는 ‘문제에서 필요한 정보가 무엇인지 아는 것’, ‘전체와 핵심을 파악하고 관계를 지각하는 것’, ‘최적의 문제 해결 전략을 찾아내서 해결 계획을 수립하는 것’이 이와 같다.

이러한 연구 결과를 통해, 영재학급 학생들이 조건 과잉 또는 조건 부족의 수학 문제를 해결하는 과정에서 전체와 부분을 유기적으로 연결하여 사고하는 능력을 기르며 사물과 현상을 바라보는 비판적인 시각을 가질 수 있다고 설명할 수 있다. 또한 조건 과잉 또는 조건 부족의 문제를 통해서 자신의 문제 해결 과정과 결과에 대해 생각하는 반성적 사고까지 습득할 수 있다. 조건 과잉의 수학 문제 유형 중에서는 문제 해결과 전혀 관련이 없는 자료가 포함된 수학 문제 유형과 특정 조건을 통해서 추론해낼 수 있는 자료가 포함된 수학 문제 유형을 특정 조건을 중복해서 서술한 자료가 포함된 수학 문제 유형보다 많이 제시하여 직관적, 구조적 통찰의 수학적 사고를 기르는 것이 필요하다. 조건 부족의 수학 문제에서는 단편적 또는 관계적 조건을 추가해야 하는 문제 유형을 골고루 섞어서 영재학급 학생들을 지도하여 직관적, 구조적 통찰의 수학적 사고를 이끌어 낼 필요가 있다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

In this study, we observed the process in which gifted students solve math problems with surplus or incomplete information. It was intended to be effective in the belief that the process of solving math problems with surplus or incomplete information would have a positive effect on the mathematical thinking of gifted students. The problems with surplus information was developed into three types of mathematical problems, one that included information not related to problem solving, one that contained information that duplicated a particular information, and one that contained information that could be deduced through a particular information. The problems with incomplete information was developed into a problem of mathematics that requires adding fragmentary information, and a problem of mathematics that requires adding relational information. The purpose of this study was to analyze the characteristics of mathematical thinking of gifted students in the process of solving the problems by suggesting math problems with surplus or incomplete information that do not have many opportunities to experience.

In accordance with the above objectives, the research questions were set up as follows.
First, what are the characteristics of mathematical thinking among gifted students in the process of solving mathematical problems with surplus information?
Second, what are the characteristics of mathematical thinking among gifted students in the process of solving mathematical problems with incomplete information?
Depending on the research problem, this study developed and applied math problems with surplus or incomplete information to analyze the characteristics of mathematical thinking of gifted students. The results of this study were intended to demonstrate that math problems with surplus or incomplete information could be fundamental data in gifted classes in order to develop intuitive and structural insights among the many mathematical thinking of gifted students in the process of solving math problems with surplus or incomplete information.

The results of the study are as follows:
First, the following intuitive and structural insight-related behavioral factors were frequently seen by gifted students in solving the problems with surplus information, regardless of the three types of math problems with surplus information. First, the process of identifying the relationship that constitutes the nature of the problem in order to recognize missing or unnecessary information is to 'make an intermediate check during troubleshooting whether the information indicated in the problem are necessary or unnecessary'. They also include 'separating information that is not relevant to the problem', 'identifying the whole body and the core and perceiving the relationship', 'using the relationship rather than formula' 'knowing the best problem-solving strategies and establishing a resolution plan' that can be described as actions after a study participant is aware of the unnecessary elements in the structure of the problem.
In addition, gifted students were relatively better at separating problem-related and non-related information from math problem types with data that duplicated specific information compared to other types of problems of the three types of math problems with surplus information, thus making it easier to grasp the overall structure and core of the problem.
Second, the following intuitive and structural insights were frequently seen by gifted students in solving math problems with incomplete information, regardless of the types of math problems with incomplete information. The process of identifying the relationships that make up the essence of a problem and identifying the missing or unnecessary information is to make an intermediate check on whether the information revealed in the problem are necessary or unnecessary during the resolution of the problem. 'To know what the necessary information is', 'identifying the whole body and the core and perceiving the relationship', and 'knowing the best problem-solving strategies and establishing a resolution plan' are the behaviors which are done after they recognize the deficiencies in the structure of the problem.

These findings can explain that gifted students can have a critical view of things and phenomena while developing their ability to think in an organic connection between whole and part in solving problems with surplus or incomplete information. In addition, through problems with surplus or incomplete information, one can learn to reflect on one's own problem-solving processes and consequences. Among the types of mathematical problems with surplus information, it is necessary to develop mathematical thinking of intuitive and structural insight by presenting more types of math problems that contain information that is not relevant to troubleshooting at all and information that can be deduced through specific information than those that contain information that duplicate specific information. Math problems with incomplete information of a mix of problem types that require adding fragmentary or relational information can guide gifted students to elicit the mathematical thinking of intuitive and structural insight.

목차 (Table of Contents)

• 논문요약 ⅵ
• Ⅰ. 서론 1
• 1. 연구의 배경 1
• 2. 연구의 필요성 1
• 3. 연구 목표 4
• 4. 연구 문제 5
• 5. 용어의 정의 5
• Ⅱ. 이론적 배경 7
• 1. 조건 과잉의 수학 문제 7
• 2. 조건 부족의 수학 문제 11
• 3. 수학 문제 해결 17
• Ⅲ. 연구 방법 27
• 1. 연구 대상 27
• 2. 연구 절차 27
• 3. 자료 수집 28
• 4. 자료 분석 39
• Ⅳ. 연구 결과 47
• 1. 각 문항별 분석 47
• 2. 조건 과잉의 문제 유형별 분석 96
• 3. 조건 부족의 문제 유형별 분석 99
• Ⅴ. 결론 및 제언 103
• 참고문헌 107
• 영문초록 111
• 부록 116