고등학생의 수학적 신념체계에 대한 연구 = (A) study for high school student's mathematical belief system

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

Mathematical beliefs influence on students' behaviors in a mathematical learning situation, and acts as a filter that regulates thoughts and acts that are related with mathematics; it makes them form the framework for their own knowledge structure and think their behaviors in the framework. These mathematical beliefs do not exist independently but exist such that different mathematical beliefs construct belief system. They have individual mathematical beliefs for each of mathematics subject, mathematical problem solving, mathematical teaching and learning and self-concept, and these beliefs of students construct mathematical belief system according to mutual relationships among the mathematical beliefs. The mathematical belief system becomes an auto regulation device for students' using mathematical knowledge in mathematical situations and provides them with the context to perceive and understand mathematics.
This study aims to explore high school students' mathematical belief system. For it the subjects for inquiry would be as followings; Firstly, the mathematical beliefs that act on high school students' mathematical learning to be investigated; Secondly, high school students' mathematical belief system to be structuralized and core belief factors to be found; Thirdly, the acting mechanism of mathematical belief system in problem solving activity that is an important form of mathematical learning to be studied through a case study.
The studying method was as follows; Firstly, high school students' mathematical belief characteristics were investigated by means of the instrument for mathematical belief instrument of Kim Bumi (2011, 2012). In the treatment of the test results of mathematical belief frequency analysis for each item was done, and one-way ANOVA was done to consider the mathematical belief characteristics by sex for the result; Secondly, to investigate how high school students' mathematical belief system is structuralized two analyses were done, one was correlation analysis for 14 factors to understand the relationship among mathematical belief factors and the other was multiple regression to understand the influences among mathematical belief factors. Using correlation analysis and multiple regression, mathematical belief system was structuralized and core belief factors were found; Thirdly, a case study was made such that four students were studied to understand how the core belief factors in high school students' mathematical belief system act on problem solving activity. With the students in-depth interviews were made and their problem solving performances were observed. Using the result, students' mathematical problem solving process and behaviors were reviewed and the action of core belief factors in mathematical belief system were analysed.
The result for this subject of inquiry is as followings;
1. The characteristics of high school students' mathematical beliefs in mathematical learning are as followings; Though high school students have the belief that mathematics is an important subject learned in school, their belief lacks in the usefulness of mathematics in everyday life. Even though high school students have the mathematical belief that process is important in mathematical problem solving and understanding is important in mathematical learning, they have the mathematical belief that memorized formula and rules are important too. Though high school students have the mathematical belief that they must solve many mathematical problems to be good at mathematics, they are reluctant to solve unfamiliar and new problems. High school students have the mathematical belief that they have negative feeling against mathematics, and there are differences in their belief among students. High school students have the mathematical belief that they can do mathematics well if they study hard.
2. With the relationship and influences among mathematical beliefs mathematical belief system can be structuralized and core belief factors are found. Mathematical belief system is structuralized and, as a result the core belief factors that are psychological centrality of high school students' mathematical belief system are found to be persistence, challenge, confidence and enjoyment. These core belief factors are formed on the basis of personal experiences and they are personal primitive beliefs that cannot be changed with ease and cannot be shared with other people but they are related with many other beliefs influencing them.
3. The core belief factors in mathematical belief system act on mathematical problem solving activities with importance. In successful problem solving activities students try to solve problems with challenge in approaching the problems. In the process of problem solving they have confidence as well as persistence to solve the problems. In problem solving the belief in which the basic principles underlying the process are thought highly of is reflected and the belief that they can do it for themselves rather than they depend on their memory is reflected. After successfully solving the problems they expressed their delight as well as positive feeling for mathematics. In successful problem solving activities challenge, persistence, confidence and enjoyment that are core belief factors are all reflected to lead students' problem solving activities and the process factor acts as well. In failed problem solving activities the challenge belief that the students cannot solve new problems due to the difficulty is reflected. So, the students had difficulty in solving the problems, as the belief that lacks confidence was reflected, and additionally they stopped solving the problems when their strategy was not useful for the solution. In the unsolved problems the beliefs for persistence and confidence were reflected. Such problem solving activities confirmed once again that the students cannot solve difficult problems, and they expressed negative feeling against mathematics. In failed problem solving activities challenge, persistence, confidence and enjoyment that are core belief factors are all reflected and led the students' problem solving activities.
On the basis of above investigation result followings can be concluded;
Firstly, reviewing high school students' mathematical belief, it projects high school students' mathematical learning and shows improvement direction of mathematical learning as well.
Secondly, reviewing the relationship among mathematical belief factors, confidence, enjoyment, persistence and challenge factors are related each other closely. It must be considered that students' mathematical beliefs do not exist separately but they constitute a mathematical belief system with psychological centrality having cluster structure. Therefore, at the time of mathematical learning and mathematical teaching global mathematical belief system must be considered rather than formation of one mathematical belief or improvement.
Thirdly, it is possible to find core belief factors after structuralizing high school students' mathematical belief system, and it is thought that such mathematical beliefs have been developed by students' experiences in mathematical learning and consolidated by evaluations. And instructions must be done so that students can form positive belief for challenge by experiencing to challenge unfamiliar mathematical problems and solve them through interesting teaching-learning environment design that is made on the basis of success story of mathematics in everyday life.
Fourthly, reviewing problem solving activities in the case study of the students, there is an action of core belief factors. Students have numerous mathematical beliefs, but it can be thought that the core belief factors out of them are most useful in problem solving or mathematical learning and acting strongly on them.
Key word: Mathematical Belief, Mathematical Belief System, Core Belief, Mathematical Problem Solving Activity

국문 초록 (Abstract)

수학적 신념은 학생들이 수학적 학습 상황에서 어떻게 행동할지에 영향을 주며, 수학과 관련한 사고와 행동을 조절하는 여과기 역할을 한다. 학생 개인만의 지식 구조를 위한 틀을 형성하여, 이 틀 안에서 활동을 생각할 수 있게 한다. 이러한 수학적 신념은 개별적으로 존재하는 것이 아니라 다양한 수학적 신념들이 신념체계를 이루면서 존재한다. 수학교과, 수학 문제해결, 수학 교수ㆍ학습, 자아개념에 대하여 각각 수학적 신념을 갖게 되며, 이런 학생들의 수학적 신념사이의 상호관련성에 따라 수학적 신념체계를 구성한다. 수학적 신념체계는 학생들의 수학적 상황에서 수학적 지식을 이용하는 방법에 대한 자기 조절 장치가 되며, 학생이 수학을 지각하고 이해하는 맥락을 제공한다.
본 연구는 고등학생의 수학적 신념체계에 대한 탐구를 목적으로 한다. 이를 위해 첫째, 고등학생의 수학학습에 작용하는 수학적 신념을 규명한다. 둘째, 고등학생의 수학적 신념체계를 구조화하고 중심신념요인을 찾는다. 셋째, 수학학습의 중요한 형태인 문제해결 활동에서 수학적 신념체계가 어떻게 작용하는지를 사례 연구를 통해 알아본다.
위의 연구문제 해결을 위한 연구방법은 첫째, 고등학생의 수학적 신념 특성을 조사하기 위해서, 김부미(2011, 2012)의 수학적 신념 검사 도구를 이용하여 고등학생 526명(여학생:422명, 남학생:104명)을 조사한다. 수학적 신념 검사결과는 문항별 빈도 분석을 하였고, 성별에 따른 수학적 신념 특성을 고려하기 위한 문항, 요인간 일원분산분석을 실시하여 그 결과를 분석한다. 둘째, 고등학생의 수학적 신념체계가 어떻게 구조화되는지 조사하기 위해서, 수학적 신념요인간의 관련성을 알아본다. 14개 수학적 신념 요인간 상관분석을 실시하고, Pearson 상관계수를 제시하여 요인간의 관계를 표현한다. 더불어 수학적 신념요인간의 영향력을 알아보고자 중다회귀분석을 실시한다. 그 결과를 이용하여 수학적 신념체계를 구조화하고 중심신념요인을 찾는다. 셋째, 고등학생의 수학적 신념체계내의 중심신념요인이 문제해결 활동에 어떻게 작용하는지를 나타내기 위해서 학생 4명을 선발하여 사례연구를 실시한다. 학생 4명은 중심신념요인의 특성이 다른 학생을 의도적 표집으로 선발하였다. 선발된 학생과는 심층 면담을 실시하고 문제해결 수행과정을 관찰하였다. 수학적 신념 검사 결과와 면담 분석 결과를 이용하여 학생의 수학적 신념체계의 특징을 고려하였다. 그리고 학생의 문제해결 프로토콜 분석과 문제지 검토를 통해 학생의 수학 문제 해결 과정 및 행동을 살펴보고 수학적 신념체계내의 중심신념 요인의 작용에 대하여 분석하였다.
본 연구문제에 따른 결과는 다음과 같다.
첫째, 고등학생의 수학적 신념의 특성을 규명할 수 있었다. 우선 고등학생들은 수학이 학교에서 배우는 중요한 과목이라는 수학적 신념을 지녔지만, 일상생활에서도 수학이 필요하다는 신념은 부족했다. 그리고 고등학생들은 수학 문제해결에서 과정을 중시하고, 수학학습에서 이해를 중시해야 한다는 수학적 신념을 지녔지만, 암기된 공식이나 규칙을 아는 것이 중요하다는 수학적 신념도 지녔다. 고등학생들은 수학을 잘하기 위해서 수학 문제를 많이 풀어야 한다는 수학적 신념을 지녔지만, 낯설고 새로운 문제를 해결하는 것을 어려워했으며, 수학에 대해 부정적 인 감정을 가진 수학적 신념을 보였고, 이러한 신념은 학생에 따라 개인차가 있었다. 마지막으로 고등학생들은 자신의 노력에 따라 수학을 잘 할 수 있다는 수학적 신념을 지녔다.
둘째, 수학적 신념체계를 구조화할 수 있었고, 중심신념 요인을 확인하였다. 수학적 신념 요인 14개를 상관분석 한 결과 거의 모두 유의미한 관계가 있었다. 수학적 신념간의 상관분석 결과와 중다회귀분석 결과를 살펴 본 결과, 끈기, 도전성, 자신감, 감정요인이 서로 영향을 주는 밀접한 관계가 있었고, 논리성, 유용성, 과정이 서로 영향을 주는 관련성이 있었다. 따라서 고등학생들의 수학적 신념체계를 구조화할 수 있었다. 또한, 고등학생들의 수학적 신념체계의 심리적 중심이 되는 중심신념 요인은 끈기, 도전성, 감정, 자신감 요인을 확인할 수 있었다. 이러한 중심신념 요인은 개인의 경험에 근거하여 형성되고 타인과 공유되지 않는 개인만의 근원적 신념으로, 변화하기 힘들고 다른 신념과 많은 관련성을 갖고 영향을 끼친다.
셋째, 수학적 신념체계내의 중심신념 요인은 수학 문제 해결 활동에 중요하게 작용하고 있음을 확인하였다. 성공적인 문제해결 활동에서는 문제에 접근하는데 있어서 학생은 도전성을 갖고 문제를 해결하고자 하였다. 문제를 해결해 나가는 과정에서 자신감과 함께 문제를 해결할 수 있는 끈기도 가지고 있었다. 즉 익숙하지 않고 해결되지 않는 문제라도 문제를 오랜 시간동안 해결하려고 노력하였다. 다양한 전략을 사용하였고 이용한 전략을 확인하고 검증하였다. 문제해결에서 왜 그러한지 과정을 중요시하는 신념도 반영되었고 기억에 의존하기 보다는 스스로 해결할 수 있다는 신념이 반영되고 있음을 확인할 수 있었다. 문제를 성공적으로 마무리한 후에는 기쁨을 표현하고 수학에 대한 긍정적인 감정을 나타냈다. 성공적인 문제해결 활동에서는 중심신념요인인 도전성, 끈기, 자신감, 감정요인이 모두 반영되어 학생의 문제해결 활동을 이끌었고, 더불어 과정요인도 작용하고 있었다. 실패하는 문제해결활동에서는 우선 문제에 접근하는데 있어서 학생은 문제가 어렵다고 판단하고 새로운 문제는 해결할 수 없다는 도전성신념이 작용하였다. 그래서 자신감이 결여된 신념이 함께 반영되어 학생이 문제를 이끌어 나가는 것을 힘들게 하였고, 더욱이 적용한 전략이 막혀서 해결이 되지 않자 문제 해결을 중단하는 행동을 나타냈다. 이때 해결할 수 없는 문제는 넘어간다는 끈기에 대한 신념이 작용되었다. 이러한 문제해결 활동은 학생에게 어려운 문제는 해결할 수 없음을 다시 한번 확인하는 경험이 되었고 학생은 수학에 대해 부정적인 감정을 나타냈다. 실패하는 문제해결 활동에서도 중심신념요인인 도전성, 끈기, 자신감, 감정요인이 모두 학생의 문제해결 활동에 반영되었다.
이상의 연구결과를 바탕으로 다음과 같은 결론을 내릴 수 있다.
첫째, 고등학생들의 수학적 신념의 특성을 살펴본 결과, 고등학생의 현재 수학학습의 양상을 알 수 있었고 더불어 수학학습에서 개선해야 할 방향을 알 수 있었다. 둘째, 수학적 신념체계내의 중심신념요인인 끈기, 도전성, 감정, 자신감 요인은 서로 밀접하게 관련되고 이 요인들이 서로 간에 영향을 주었다. 그러므로 학생들의 수학적 신념은 개별적으로 존재하기 보다는 응집구조를 지니고 심리적 중심성을 가지는 수학적 신념체계를 구성한다는 것을 고려해야 한다. 따라서 수학학습 및 수학 교수가 이루어질 때, 하나의 수학적 신념을 형성시키거나 개선시키려 하기 보다 수학적 신념체계에 대한 포괄적인 접근이 함께 이루어져야 한다. 셋째, 학생들은 수많은 수학적 신념을 갖지만, 그 중 중심신념요인은 문제해결이나 수학학습에 가장 유용하고 강한 작용을 한다는 것을 고려할 수 있다. 넷째, 교사들이 학생들의 수학적 신념체계를 이해하면 학생의 수학에 대한 행동을 예상할 수 있고 판단할 수 있으며, 수학학습에서 학생이 개선해야 하는 수학적 신념을 고려하여 지도할 수 있다.
학생들의 수학적 신념은 개인의 수학적 경험의 산물이므로 주관적 지식에 속한다. 이러한 수학적 신념은 수학학습에서 직접 경험하거나 학교에서 교사의 인정을 받을 때, 더욱 심리적 중심이 되고 이런 심리적 중심에 의해 다른 수학적 신념들이 응집될 수 있게 한다. 학생들의 수학적 신념체계에 대한 연구는 학생들의 포괄적인 수학적 신념에 대한 탐구이자 학생의 수학적 관점에 대한 연구이다. 학생의 수학적 신념체계에 대한 연구결과는 개인차가 크게 존재하는 수학학습에서 개별적이고 직접적으로 수학 학습을 개선하는 데 도움을 줄 것이다.
핵심단어: 수학적 신념, 수학적 신념체계, 중심신념, 수학 문제 해결 활동

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ. 서론 1
• A. 연구의 필요성 및 목적 1
• B. 연구 문제 5
• C. 용어의 정의 6
• D. 연구의 제한점 7
• Ⅱ. 이론적 배경 8
• A. 신념과 신념체계 8
• 1. 신념 8
• 2. 신념체계 13
• B. 수학적 신념과 수학적 신념체계 20
• 1. 수학적 신념 20
• 2. 수학적 신념체계 28
• C. 수학 문제 해결 39
• 1. 수학 문제 해결 39
• 2. 수학 문제 해결 행동 41
• Ⅲ. 연구방법 및 절차 45
• A. 방법 1 47
• 1. 연구대상 및 절차 47
• 2. 자료분석 49
• B. 방법 2 49
• C. 방법 3 50
• 1. 연구대상 50
• 2. 연구절차 53
• 3. 연구방법 53
• 가. 면담 53
• 나. 문제 해결 수행 관찰 57
• IV. 수학적 신념 및 신념체계의 구조화 60
• A. 고등학생들의 수학적 신념 60
• 1. 수학적 신념 검사결과 빈도 분석 60
• 2. 고등학생의 수학적 신념 특성 68
• 3. 성별에 따른 수학적 신념 특성 72
• B. 수학적 신념체계의 구조화 77
• 1. 수학적 신념의 요인 상관분석 77
• 2. 수학적 신념의 요인 회귀분석 79
• 3. 수학적 신념체계 및 중심신념 요인 88
• V. 수학적 신념체계에 대한 사례연구 91
• A. 학생 A 91
• B. 학생 B 106
• C. 학생 C 120
• D. 학생 D 134
• E. 수학적 신념체계와 수학 문제 해결 활동 145
• Ⅵ. 결론 및 제언 146
• A. 요약 및 결론 146
• B. 제언 151
• 참고문헌 153
• 부록1. 수학적 신념 검사도구 165
• 부록2. 수학적 신념의 요인별 상관계수 169
• 부록3. 성별에 따른 문항 간 일원분산분석 결과 170
• 부록4. 선발된 학생들의 수학적 신념 검사 결과 172
• 부록5. 수학 문제 해결 프로토콜 180
• ABSTRACT 188

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