수학교수학의 인류학적 이론에 입각한 수학 교수 방법 : '수열의 극한'을 중심으로 = Toward Mathematics Teaching Method Based on the Anthropological Theory of the Didactic- Focused on 'limits of sequences'

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

The essential responsibility of mathematics teachers is to lead students to follow natural thinking way of doing mathematics as the past mathematicians did establish current mathematics.
The way of doing mathematics is to check interesting examples(of course, example should be suggestive, too) and proposing possible conjectures via some meaningful formation. Then apply obtained results to other similar situations and unify all these circumstances into one format, and so on.
This natural procedure is called mathematization by Freudenthal, while it is called ATD(the Anthropological Theory of the Didactic) by Chevallard.
This study was conducted in order to take the new trend matched with various new theories of mathematics education, to understand the changed conception of the didactics of mathematics and to improve the mathematical knowledge which is handled in the current curriculum of mathematics and the textbooks.
Based on ATD of Chevallard(which can be smoothly matched with natural way of human being thinking) in this dissertation, we introduce ATD explicitly emphasizing the theoretical development of the concept 󰡐limits of sequences'. Indeed, we observe the necessity, realization, and impact of
'limits of sequences'.
Then we investigate the reason and background of anthropological approach, and introduce the mathematical organizing of knowledges and phenomena, and didactical organizing which are basic ingredients of ATD. Further, we investigate praxeological ingredients(the type of problems, technique, technology, theory).
Also, to help understand ATD and to show the usefulness of ATD, various different models in algebra, analysis and other educational materials in mathematics are suggested.
Then, to apply ATD recognizing the importance of the limit in every field of analysis among mathematical knowledge and the difficulty of teaching and learning the concept of limit, the specific analysis on the 'limits of sequences'was done.
When considering 'limits of sequences' teaching, assuming that teaching and learning happen in the complicated process of didactic transition, the investigation on 󰡐the reference mathematical knowledge󰡑and on 󰡐the mathematical knowledge to be taught󰡑 is very important.
To do this, this study analyzed four ingredients of praxeology, the type of problems, technique, technology, theory which are mentioned in the curriculum and in the textbooks.
According to the results of this analysis, methods for teaching'limits of sequences'are suggested by following steps:

step 1. The necessity of convergence
step 2. The practices of 'limits of sequences'
(Examples of convergent sequences and the limits
step 3. The necessity and motivation of series
step 4. The background knowledge of teachers
step 5. application of convergence

Expecially for step 1 mentioned above, we raise the next five suggestive problems, which are:

Problem 1. Representation of points on the real line via rational numbers
Problem 2. The countability of the set of rational numbers
Problem 3. The countability of the set of real numbers
Problem 4. Recovering the uncountable set of real number via the countable set of rational numbers
Problem 5. Recovering uncountable sets via their countable subsets

As the mathematics logicalized the human culture, the discussion about how to specificate'limits of sequences'is established the methods as follow:

(1) Find sequences and their limits;
(2) Induce naturally to figure out all but finitely many real numbers locate outside a given neighborhood of a; and
(3) Check whether understand in point of view of ATD

The importance of the sum of infinite series is explained by that only the sum of finite can exist in algebra, but this was magnified to infinite. Then the background knowledge that teachers should have contains the method of determining convergence or divergence of sequences and the various theorems, contents related to series.
Finally, for the application of convergence, infinite decimal and differential and integral calculus are the most simple and common examples. And in hydromechanics, the flow of fluid causes Cauchy-Reimann integral theorem.
Furthermore, for given smooth surfaces A and B and points P on A and Q on B, respectively, a smooth function from a neighborhood of P of A to a neighborhood of Q of B, can be interpreted as a linear transformation from the tangential plane determined by P of A to that determined by Q of B.
By this point of view, a real continuous function on the compact interval can be represented as a Fourier series.

The direction of research based on this study is to suggest the methods teaching and to improve the way of doing mathematics focused on mathematical knowledge which is mentioned in the current curriculum of mathematics and the textbooks.

국문 초록 (Abstract)

수학 교사가 가져야 하는 가장 중요한 책임은 과거의 수학자들이 현재의 수학을 만들었던 것처럼, 수학을 하는 자연스러운 사고방식을 따라 학생들을 이끌어 가는 것이다.
수학을 하는 방식은 관련 있는 예를 찾아서(물론 예는 함축성이 있어야 한다) 의미 있는 형성화를 거쳐 가능한 추측을 만드는 것이다. 그런 후에 얻어진 결과를 다른 비슷한 상황들에 적용하고, 한 형식에 이 모든 환경들을 통합하는 것이다. 이 자연스러운 절차는 Freudenthal의 수학화나 Chevallard의 수학교수학의 인류학적 이론과 맥락을 같이 한다.
본 연구가 이루어져야 하는 이유는 수학교육 이론들의 다양성과 변화에 맞추어 수학을 하는 새로운 동향을 받아들이고, 변화된 수학교수학의 개념을 인식해야 할 필요성이 제기되었고, 현행 수학과 교육과정과 교과서에서 다루는 수학 지식에 대한 올바른 전개와 교수 방법에 대한 개선이 필요하기 때문이다.
이 논문에서는 Chevallard의 ATD(그것은 인간 사고의 가장 자연스러운 방식에 적합하다고 할 수 있다)에 근거하여 ‘수열의 극한’ 개념의 이론적 전개 강조하면서 ATD를 소개한다. 결국 우리는 수열의 극한에 대한 필요성, 실재화 그리고 영향력을 깨닫게 된다.
그런 다음, 수학교수학에 인류학적 접근법이 도입된 이유와 배경, ATD의 기본 요소인 지식과 현상의 수학적 조직화와 교수학적 조직화를 소개하고, 인간행동학의 요소들인 문제의 유형, 기술, 기술의 종합화, 이론에 대해 고찰하였다.
또한 ATD에 대한 이해를 높이고 ATD의 유용성을 보여주기 위해, 대수학, 해석학 그리고 수학의 다른 교육적 소재에서 다양한 모델들이 제안되었다.
그리고 ATD의 적용을 위해서는 수학 지식 중 해석학의 모든 분야에서 ‘극한’이 가지는 중요성과 극한 개념에 대한 교수․학습의 어려움을 인식하면서, ‘수열의 극한’ 에 대한 구체적인 분석을 하였다.
‘수열의 극한’ 교수를 고려할 때, 교수와 학습이 교수학적 변환 과정의 복잡한 과정에서 일어난다는 것을 가정하여, ‘참조 수학 지식’과 ‘가르칠 수학 지식’에 대한 탐구는 중요한 일이다.
이를 위해 우선적으로 교육과정과 교과서에 드러난 인간행동학의 네 가지 요소인 문제의 유형, 기술, 기술의 종합화, 이론을 분석하였다.
이 분석의 결과에 맞추어, ‘수열의 극한’ 교수 방안을 다음 단계에 따라 제시하였다.

첫 번째 단계, 수렴성의 필요성
두 번째 단계, ‘수열의 극한’에 대한 실제
(수렴하는 수열의 예와 그 극한값)
세 번째 단계, 무한급수의 필요성과 도입
네 번째 단계, 교사의 배경 지식,
다섯 번째 단계, 수렴성의 응용

위에서 언급된 첫 번째 단계를 위해 다음의 다섯 가지 문제를 제기하였다.

문제 1. 수직선 위에 유리수 점들의 표현
문제 2. 유리수 집합의 가산성
문제 3. 실수 집합의 가산성
문제 4. 셀 수 없는 실수를 셀 수 있는 유리수를 통해 극복하기
문제 5. 비가산 집합을 그것의 가산 부분 집합을 통해 극복하기
그리고 수학이 인류의 문화를 논리화 시킨 것처럼, 이러한 맥락에서 ‘수열의 극한’을 어떻게 구체화 시킬 것인가에 대한 논의는 다음과 같은 방법을 통하여 실현하였다.

(1) 수열과 수렴값을 찾게 한다.
(2) 의 근방에 유한개를 제외하고 많은 수가 들어간다는 것을 자연스럽게 유도한다.
(3) ATD의 입장에서 임을 조사한다.

무한급수의 합이 중요한 것은 대수에서는 유한 합만 존재하는데, 이것을 무한으로 확대시켰다는 것이다. 그리고 교사가 가져야 하는 배경 지식으로는 수열의 수렴 혹은 발산을 판정하는 방법과 여러 정리들, 급수와 관련한 여러 가지 내용을 포함하였다.
마지막으로 수렴성의 응용에 대해서는 무한소수, 미분과 적분 등이 가장 간단하고 일반적인 예이고, 유체역학에서 유체의 흐름이 코시-리만 적분 정리를 나오게 하였다.
더 나아가 부드러운 곡면 와 그리고 위의 점 와 위의 점 가 주어졌을 때, 의 점 의 근방으로부터 의 점 의 근방으로 가는 부드러운 함수는 의 에 의해 결정된 접평면으로부터 의 에 의해 결정된 접평면으로의 선형변환으로 설명된다.
이러한 관점에서 compact interval [] 위에서 정의된 실수의 연속 함수는 푸리에 급수로서 표현될 수 있다.

이 연구를 바탕으로 앞으로 이루어져야할 연구 방향은 현행 수학과 교육과정이나 교과서에 제시된 수학 지식을 중심으로 수학을 가르치는 혹은 수학을 하는 방법을 개선시키고 수학 교수 방법을 제안하는 것이다.


주제어 : 수학교수학의 인류학적 이론(ATD), 인간행동학, 수학적 인간행동학(혹은 수학적 조직화), 교수학적 인간행동학(혹은 교수학적 조직화), 교수학적 국면, 실제적 과정, 이론화 과정

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ. 서론 1
• 1. 연구의 필요성 1
• 2. 연구 방법 5
• Ⅱ. ATD에 대하여 7
• 1. ATD란 무엇인가? 7
• 1) 수학교수학에서 인류학적 접근의 필요성 7
• 2) 수학교수학의 인류학적 이론에 대한 배경 8
• 2. ATD의 인식론적 모델인 인간행동학 10
• 1) 인간행동학 10
• 2) 인간행동학의 요소들 11
• 3. ATD의 기본적 요소들 16
• 1) 수학적 활동: 수학적 조직화 16
• 2) 교수학적 조직화와 교수학적 국면들 18
• Ⅲ. ATD에 기초한 연구 분석 23
• 1. 해석학 영역 23
• 1) 수학적 인간행동학에 기초한 ‘함수 관계’ 재정립 23
• 2) 교사의 실제에 있어서 교수학적 제한 29
• 2. 대수학 영역: 수학적 조직화의 연구에서 대수화의 역할 47
• 1) 학교 대수에 대한 모델의 필요성 47
• 2) 수학적 성과의 대수화 48
• 3) 대수화된 수학적 성과의 특성들 50
• 4) 수학적 성과의 연구에서 대수화의 역할 50
• 3. 테크놀로지 영역 52
• 1) 교수학적 조직화와 교수학적 체계 52
• 2) e-technology로 인한 ‘새로운 교수학’ - 교수학적 초공간 53
• 3) 교수학적 초공간에서 예상되는 문제들 54
• 4. 수학교육 영역 58
• 1) 교사의 수학적 지식 58
• 2) 교수학적 분열 59
• Ⅳ. ATD에 근거한 수열의 극한 교수 62
• 1. ‘수열의 극한’에 대한 선행 연구 분석 62
• 1) 극한 연구에 대한 역사적 흔적 62
• 2) 극한에 대한 장애와 오류에 관련한 연구 65
• 3) 연구된 수업 전략 분석 67
• 2. ATD의 핵심인 교수학적 변환 과정에 따른 분석 69
• 1) 교수학적 변환 과정 69
• 2) ‘참조 수학 지식’에 대한 분석 70
• 3) ‘가르칠 수학 지식’에 대한 분석 78
• 3. ATD에 근거한 ‘수열의 극한’ 교수 방안 87
• 1) 수렴성이 필요한 이유 제시 87
• 2) ‘수열의 극한’에 대한 실제 94
• 3) 무한급수의 필요성과 도입 방법 99
• 4) 수렴성의 응용 101
• 5) 교사가 가져야 하는 배경 지식 102
• Ⅴ. 결론 및 제언 106
• 참고문헌 115
• ABSTRACT 119
• 감사의 글 123
• 표 차 례
• 표 Ⅰ-1 : 수학을 하는 과정 5
• 표 Ⅰ-2 : 인간행동학의 요소들 12
• 표 Ⅲ-1 : 교수 과정의 기록 31
• 표 Ⅲ-2 : 교수 과정의 분석 31
• 표 Ⅲ-3 : 과 의 공배수 49
• 표 Ⅲ-4 : 과 의 최대공약수 49
• 표 Ⅲ-4 : 수학 교사 교육에서 지식의 조직 60
• 그 림 차 례
• 그림 Ⅰ-1 : Working Group 에서 나타난 다양한 이론적 틀 2
• 그림 Ⅱ-1 : 수열의 극한에서 의 분석도 19
• 그림 Ⅳ-1 : 교수학적 변환 과정 70
• 그림 Ⅳ-2 : 의 예 73
• 그림 Ⅳ-3 : 의 예에 대한 해를 위한 도구 73
• 그림 Ⅳ-4 : 무한수열의 수렴 79
• 그림 Ⅳ-5 : 무한수열의 발산 79
• 그림 Ⅳ-6 : 수열의 수렴, 발산의 도입 80
• 그림 Ⅳ-7 : 무한수열의 극한에 대한 탐구 80
• 그림 Ⅳ-8 : 무한급수의 수렴과 발산 81
• 그림 Ⅳ-9 : 무한등비급수의 합 82
• 그림 Ⅳ-10 : 무한급수의 성질 이끌기 82
• 그림 Ⅳ-11 : 유한한 영역과 무한한 경계 ‘눈송이 곡선’ 83
• 그림 Ⅳ-12 : 가르칠 지식의 지도 85
• 그림 Ⅳ-13 : 포물선의 활꼴 의 넓이 104

참고문헌 (Reference)

1. 수학사, 신항균, 이우영, , 1996

2. 정수론, 김응태, 경문사, , 2005

3. 집합론, Lin, You-Feng, 京文社, , 2002

4. 현대대수학, 박승안, , 2003

5. Science or Magic?, Chevallard, Gasc?n, Bosch, , 2005

6. 실해석학 개론, 정동명, 경문사, , 2004

7. 고등학교수학Ⅰ, 황석근12, , 2009

8. 고등수학적 사고, 김인수, , 2003

9. 고등학교 수학Ⅱ, 황석근, , 2010

10. 인류학이론 입문, 안호용, Laton, , 2006

11. 수학이란 무엇인가, 박평우, 김운규, 정광택, , 2003

12. La transposition didactique, Chevallard, , 1985

13. 인류학의 역사와 이론, Barnard, Alan, 한길사, , 2003

14. 교수학적 변환론의 이해, 이경화(Lee Kyeong Hwa), 대한수학교육학회, "대한수학교육학회 논문집, , 1996

15. 수학교육과정과 교재연구, 정영옥, , 2006

16. The didactic divide and educational change, Bergsten, Grevholm, , 2005

17. Theory of Didactical Situation in Mathematics, Brousseau, , 1997

18. Revisiting mathematics education : China lectures, Freudenthal, Hans, Kluwer Academic Publishers, , 1991

19. 수학적 극한 개념의 이해에 관한 연구, 박선화, 서울대학교 대학원, 서울대학교 대학원 박사학위논문, , 1998

20. Toward theoretical foundations of mathematics education, Laborde, , 2007

21. Epistemologies of Mathematics and ofMathematics Education, Lerman, Sierpinska, Epistemologies of Mathematics and of Mathematics Education, , 1996

22. Didactic transposition of mathematical Knowledge in textbook, Kang, Didactic Transposition of Mathematical Knowledge in Textbook, , 1990

23. E-learning as a touchstone for didactic theory, and conversely, Ladage, Chevallard, "E-learning as a touchstone for didactic theory, , 2008

24. 고등학교에서의 극한개념 교수·학습에 관한 연구, 박임숙, 단국대학교, 고등학교에서의 극한개념 교수?학습에 관한 연구, , 2002

25. 인류학적 방법에 입각한 수열의 극한 교수에 대하여, 정경미(Chung Gyeong Mee), 김부윤(Kim Boo Yoon), 대한수학교육학회, , 2009

26. Teaching and Learning of the Poisson's Model: A Model Building Experience, Miguel, , 2006

27. 수학 교실에서 나타나는 극단적 교수 현상에 대한 고찰, 김부윤, Jung, Gyeong-Mee, Kim, Bu-Yoon, 정경미, 한국수학교육학회, , 2007

28. The role of the algebraisation in the study of a mathematical organisation, Bosch, Gasc?n, Bolea, , 1999

29. 수열의 극한 개념에 대한 인지적 장애의 극복 방안 연구, 박선화(Park Sun Hwa), 대한수학교육학회, "대한수학교육학회지 <수학교육학연구>, , 2000

30. Le r?le de l'enseignant ? la lumi?re des concepts de sch?me et de champ conceptuel, Vergnaud, , 1994

31. Analyse des pratiques enseignantes en didactique des math?matiques: L'approche anthropologique, Chevallard, , 1998

32. 수열의 극한과 무한급수의 문제해결과정에서 발생하는 오류 유형 분석, 김상래, , 2006

33. Concepts fondamentaux de la didactique: Perspectives apport?es par une apporoche anthropologique, Chevallard, , 1992

34. Concept Image and Concept Definition in Mathematics with Particular Reference to Limit and Continuity, Vinner, Tall, , 1981

35. Mathematical Praxeologies of Increasing Complexity: Variation systems modelling in Secondary Education, Garc?a, Ruiz Higueras, , 2006

36. An Anthropological Account of the Emergence of Mathematical Proof and Related Processes in Technology-Based Environments, Rivera, , 2005