바르톡, 쇤베르크, 스크리아빈 작품의 음소재와 형식에 나타난 수학적 측면 = Mathematical Aspects in Tone Materials and Forms of Works by Bartok, Schoenberg, and Scriabin

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

Music and mathematics are different genres and may look irrelevant to each other. However, they are closely related and this is confirmed through various ways from ancient to modern times. Most of all, various musical techniques found in contemporary music have many theories related to mathematical knowledge. Theories applied in the structure and tone materials of contemporary music includes golden section, Fibonacci series, serial music, total serial music, stochastic music, electronic music, set theory, and contour theory. This study analyzed mathematical aspects found in tone materials and forms of works of arts by Bartok, Schoenberg, and Scriabin based on golden section, Fibonacci series, serial music, and set theory and the results are as below.
First, this study identified relations between music and mathematics in history. Second, the relevance has been identified through golden section, Fibonacci series, serial music, and set theory in terms of mathematical aspects found in the structure and tone materials of contemporary music. Third, musical pieces of Bartok, Schoenberg, and Scriabin have been chosen to approach mathematical aspects of tone materials and forms based on golden section, Fibonacci series, serial music, and set theory. Fourth, educational implications have been presented based on these analyses.
The scope of this study is as follows.
This study is limited to western music while music-mathematics relations are common in both western and Korean music. Works of arts by Bartok, Schoenberg, and Scriabin have been subjected to this study among the contemporary western music.
Among factors displaying music-mathematics relations, various mathematical aspects of music found until the 20th century were explored in terms of interval, musical proportions, counterpoint, canon, fuga, equal temperament, total serial music, stochastic music, electronic music, set theory and contour theory. However, analytic approaches were limited to golden section, Fibonacci series, serial music, and set theory.
Musical pieces were selected from works of arts of Bartok, Schoenberg, and Scriabin. Bartok is a composer who applied golden section to music composition and shows close relations with golden section in various aspects of form, chord, and dynamics. Schoenberg devised serial music, presented equality to all tones in a composition method where 12 tones are used by making relations equally with other tones, and showed mathematical aspects of tone materials in the principle of composition of 12 serialism and transformable serialism. Scriabin's works can be analyzed through set theory in terms of harmony and tunes, which helps to find the mathematical aspects. They also enable to see whether mathematical analyses can be applied in a form displayed as a Venn diagram while in the process of analyses, Scriabin's musical characteristics of a mystic chord composed of minor second, minor third, and augmented fourth can be found. Selected works of arts include Chapter 1 of Music for Strings, Percussion and Celesta by Bartok that can be analysed through golden section and Fibonacci series, Minuett from Suite for Piano, op.25 that was composed through serial music by Schoenberg, and No.1 of Two Preludes Op.67 by Scriabin which can be analyzed through set theory.
Chapter 1 in Music for strings, Percussion and Celestar by Bartok was analyzed through golden section and Fibonacci series in terms of interval, harmony, form, and dynamics. Minuett from Suite for Piano, op.25 by Schoenberg was analyzed through serial music while melody and harmony were separately analyzed in No.1 of Two Preludes Op.67 by Scriabin based on set theory.
The analyses of contemporary music with a mathematical approach has reconfirmed the music-mathematics relevance and has shown that music has developed along with the advancement of mathematics. Furthermore, they revealed that contemporary music was formed based on mathematical knowledge and theories. Hence, any classes of contemporary music must be based on mathematical knowledge and theories as well as approaches to make any forms of musical activities available. An approach to contemporary music based on mathematical aspects will enable us to enjoy learning from the principles of music generation. Providing these opportunities to students may enable them to experience diverse time and music. This will help students to recognize and internalize aesthetic values of music and enhance their musical senses.
There are many works of art in contemporary music that apply mathematical theories and can be analyzed mathematically. Mathematical knowledge will be helpful to understand these works of arts. Hence, analyzing contemporary music based on mathematical approaches is to show the music-mathematics relevance. It is also the principle of music generation and will help us to understand contemporary music. Students may learn how to accept and cope with new changes and trends of music by understanding contemporary music. They will also be able to enhance their musical senses and enjoy the beauty of music.
The author hopes that this study can help teachers and students with their contemporary music education. In addition, in hopes that we can keep the continuity of history without severance in musical history, the following suggestions have been made.
First, the author hopes that researchers will study methods of appreciation of contemporary music based on this study and enhance the educational implications.
Second, the guidance to contemporary music must take place not to provide any severance to the continuity of music education.
Third, the author hopes that this study will play a good role in interdisciplinary education such as music and mathematics or music and art further from providing a guidance to contemporary music.
These following studies will lay the foundation for teachers to achieve ideal music education and this will produce better educational effects.

국문 초록 (Abstract)

음악과 수학은 장르도 다르고 전혀 관련이 없어 보이지만, 아주 밀접한 관계가 있고 이는 고대부터 현대에 이르기까지 다양하게 나타나고 있다. 특히 현대음악작품에 나타난 다양한 음악기법은 수학적 지식과 관련된 이론들이 적지 않다. 현대음악의 구조와 음소재에 사용된 이론은 황금분할과 피보나치 수열, 12음기법, 총렬주의, 확률음악, 전자음악, 집합이론, 윤곽이론 등이 있다. 본 연구는 이 중 3가지 즉, 황금분할과 피보나치 수열, 12음기법, 집합이론을 중심으로 바르톡, 쇤베르크, 스크리아빈 작품의 음소재와 형식에 나타난 수학적 측면을 분석하였으며 그 내용은 다음과 같다.
첫째, 역사 속에 나타난 음악과 수학의 관계를 알아보고, 둘째, 그 연관성을 현대음악의 구조와 음소재에 나타난 수학적 측면 중 황금분할과 피보나치 수열, 12음기법, 집합이론을 통해 알아보았으며, 셋째, 구체적으로 바르톡, 쇤베르크, 스크리아빈 작품에서 황금분할과 피보나치 수열, 12음기법, 집합이론으로 음소재와 형식의 수학적 측면으로 접근할 수 있는 악곡을 선정하여 분석하였고, 넷째, 이러한 분석을 토대로 하여 음악교육적인 함의를 제시하였다.
연구의 범위는 다음과 같다.
음악과 수학의 연관성은 서양음악 뿐만 아니라 한국음악에도 내재되어 있으나, 서양음악으로 한정하고, 이 중에서도 현대음악작품 중 바르톡, 쇤베르크, 스크리아빈의 작품으로 제한한다.
음악과 수학의 연관성을 나타내는 여러 가지 요소 중 20세기까지 나타난 다양한 음악의 수학적 양상을 음정, 음계비례, 대위법, 카논, 푸가, 평균율, 총렬음악, 확률음악, 전자음악, 집합이론, 윤곽이론 등에서 찾아보았으나, 음악작품 분석의 실제에서는 황금분할과 피보나치 수열, 12음기법, 집합이론의 분석방법론으로 제한한다.
악곡선정은 바르톡, 쇤베르크, 스크리아빈의 작품 중에서 선정하였는데, 바르톡은 황금분할을 작곡에 적용시킨 작곡가로 형식과 화성, 다이나믹 등의 여러 측면에서 황금분할과의 밀접한 관계를 보여주고 있고, 쇤베르크는 12음기법을 창시하여 12음이 동등하게 다른 음들과 관계를 맺으며 사용되는 작곡방식에서 모든 음에 동등성을 부여하고 12음이 이루는 음렬과 변형가능한 음렬의 구성원리에서 음소재의 수학적 측면을 보여주고 있으며, 스크리아빈의 작품은 선율과 화성면에서 집합이론으로 분석이 가능하여 수학적인 측면을 발견할 수 있고, 또 벤다이어그램으로 나타낸 형식구조에서도 수학적으로 분석됨을 볼 수 있으며, 작품을 분석하는 과정에서 스크리아빈의 단2도, 단3도 선율과 증4도로 구성된 신비화음의 음악적 특징도 찾아볼 수 있기 때문에 바르톡, 쇤베르크, 스크리아빈의 세 작곡가를 선택하게 되었다. 따라서 선정된 작품으로는 바르톡의 황금분할과 피보나치 수열로 분석되는 Music for Strings, Percussion and Celesta 중 1악장, 쇤베르크의 12음기법으로 작곡된 Suite for Piano, op.25 중 Minuett, 그리고 집합이론으로 분석되는 스크리아빈의 Two Preludes Op.67 중 No.1이다.
바르톡의 Music for strings, Percussion and Celestar 중 1악장은 음정과 화음, 형식과 다이나믹에서 황금분할과 피보나치 수열로 분석하였고, 쇤베르크의 Suite for Piano, op.25 중 Minuett은 12음기법으로, 스크리아빈의 Two preludes, op.67 중 No.1은 집합이론으로 선율과 화성을 따로 분석하였다.
수학적 측면으로 접근한 현대음악 작품의 분석을 통하여 음악과 수학의 연관성을 다시 한번 조명할 수 있었고, 역사 속에 나타난 음악과 수학의 관계를 통해 수학의 발전에 따라 음악도 발전해왔음을 볼 수 있었으며, 특히 현대음악은 수학적인 지식, 이론 등을 토대로 하여 음악이 만들어졌음을 알 수 있었다. 따라서 현대음악의 수업은 이러한 수학적 지식과 이론이 바탕이 되고, 수학적 접근을 통하여야 어떠한 형태의 음악활동을 하더라도 할 수 있는 것이다. 음악의 수학적 측면을 통한 현대음악의 접근은 음악 생성의 기본원리부터 알아가는 즐거움을 줄 수 있고, 이러한 수업의 기회를 부여함으로서 학생들에게 진정 다양한 시대와 음악의 경험을 제공할 수 있다. 이는 음악의 미적 가치를 인식하고 내면화하여 음악적 정서를 함양할 수 있게 하는 것이다.
현대음악은 수학이론이 적용된 작품이 많고, 수학적으로 분석되는 작품들 또한 많다. 이러한 현대음악 작품들을 이해하는데 있어 수학적 지식은 도움이 된다. 그러므로 현대음악을 수학적 접근에 의해 분석한다는 것은 음악과 수학의 관계의 연관성을 보여주는 것이자 음악 생성의 원리이며, 현대음악의 이해를 돕는 것이라 할 수 있다. 학생들은 현대음악의 이해를 통해 음악의 새로운 변화와 흐름을 수용하고 대처하는 능력을 기를 수 있으며, 음악적 정서를 함양하고 음악적 아름다움을 향유하는 삶을 영위할 수 있을 것이다.
본 연구를 통하여 현장의 교사들과 학생들의 현대음악교육에 도움이 되길 바라고, 또한 음악의 역사에 단절이 없도록 역사의 계속성을 현대음악의 교육을 통해 지켜나갈 수 있기를 바라는 마음으로 다음과 같이 제언한다.
첫째, 본 연구를 바탕으로 다음 연구자들이 현대음악 감상에 관한 지도방안을 연구하여 교육적 의의를 높여주기를 바란다.
둘째, 음악교육에 있어 음악의 역사에 단절이 없도록 현대음악의 지도가 반드시 이루어지기를 바란다. 셋째, 본 연구가 현대음악의 지도 뿐만이 아니라, 수학과 음악, 또는 미술과 음악 등의 교과 간 통합교육의 관점에서도 좋은 매개체가 되기를 바란다.
이러한 후속연구는 교사들의 이상적인 음악교육의 발판이 될 것이고, 이로서 좋은 교육효과를 낼 수 있을 것이라 기대하는 바이다.

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ. 서 론
• 1. 연구의 필요성 및 목적 1
• 2. 연구의 내용 및 방법 3
• 3. 연구의 범위 및 제한점 4
• Ⅱ. 연구의 기초
• 1. 역사 속에 나타는 음악과 수학의 관련성 7
• 2. 현대음악의 구조와 음소재에 나타난 수학적 측면 32
• 3. 선행연구 고찰 49
• Ⅲ. 현대음악작품 분석의 실제
• 1. 바르톡, 쇤베르크, 스크리아빈의 작품분석의 의의 51
• 2. 황금분할(Golden Section)과 피보나치 수열(Fibonacci Series) Bela Bartk의 Music for strings, Percussion and Celestar 1악장 분석 55
• 3. 12음기법(Serial Music) Arnold Schoenberg의 Suite for Piano, Op.25, Minuett 분석 75
• 4. 집합이론(Set theory) Alexander Scriabin의 Two Preludes, Op.67, No.1 분석 92
• Ⅳ. 결론 및 제언 109
• 참고 문헌 112
• ABSTRACT 118