계산 오류 수정 활동을 통한 초등학생들의 수학학습에 관한 연구 = A Study on Learning of Elementary School Students through Correcting the Computational Errors

국문 초록 (Abstract)

본 연구의 목적은 계산 오류를 수업에 활용한 오류 수정 활동을 통해 학생들의 계산 알고리즘에 대한 설명과 정당화가 어떻게 이루어지는지 살펴보고, 학생들의 계산 알고리즘 이해 과정을 통찰함으로써 연산 지도에 시사점을 얻고자 함이다.
연구를 위해 계산 오류의 의미와 유형, 교과서와 수업에서의 활용에 대해 선행연구를 통하여 고찰하였다. 또한 Skemp의 관계적 이해와 도구적 이해, 초등학생들의 정당화에 관한 연구들을 바탕으로 하여 계산 오류 수정 활동 수업을 구안하였으며, 5학년 가 단계와 나 단계의 분수와 소수의 연산 단원을 중심으로 실제 수업에 반영하였다. 본 연구에서 계산 오류 수정 활동 수업의 관찰 및 분석은 총 여섯 번 이루어졌으며, 한 차시 수업 안에서 계산 오류 수정 활동은 평균적으로 10분에서 20분 정도 소요되었다. 계산 오류 문제에 대하여 오류를 설명하는 쓰기와 바른 계산 알고리즘을 설명하는 쓰기는 함께 이루어졌고, 경우에 따라 면담이 이루어지기도 하였다. 또한, 매 차시의 수업이 끝난 후에는 활동에 대한 수학일기를 작성하도록 하였다. 학생들의 사고 과정을 분석하기 위한 자료 수집은 지필 답안, 수학일기, 면담 자료, 비디오 녹화, 교사의 관찰일지 등으로 이루어졌다. 학생들의 계산 오류에 대한 설명과 계산 알고리즘에 대한 이해의 특징 분석은 오류를 설명하는 형태와 특징, 계산 알고리즘에 대한 학생들의 이해, 계산 오류 수정 활동에서 학생들이 보이는 수학학습의 의사소통측면과 정의적 측면의 특징에 초점을 맞추어 이루어졌다. 계산 오류 수정 활동 수업의 결과는 다음과 같다.
계산 오류 수정 활동에서 학생들의 계산 알고리즘에 대한 설명 형태는 바른 답만 제시, 개념 혹은 알고리즘의 이름만 언급, 바른 알고리즘의 과정 자세하게 서술, 그림이나 모델 제시, 예나 반례 제시, 초보적인 수학적 귀류법 사용 등의 6가지 유형으로 나눌 수 있다. 연구 초반부에는 바른 답만 제시 유형이 많이 등장하였지만 점차 바른 알고리즘의 과정 자세하게 서술 유형이 많아졌으며 그림이나 모델 제시, 예나 반례 제시, 초보적인 수학적 귀류법 사용 유형도 점차 늘어나는 양상을 보였다.
계산 오류 수정 활동을 통해 학생들의 계산 알고리즘에 대하여 이해하고 있는 모습은 크게 알고리즘의 이해와 오류의 설명이 모두 관계적 이해를 보이는 경우, 알고리즘의 이해는 관계적 이해를 보이지만 오류의 설명은 도구적인 이해로 나타나는 경우, 알고리즘의 이해와 오류의 설명이 모두 도구적 이해를 보이는 경우로 나누어졌다. 같은 계산 알고리즘에 대하여 유사한 형태의 설명유형을 사용하더라도 실제적으로 알고리즘에 대하여 이해하고 있는 정도에는 차이가 있었다.
계산 오류 수정 활동을 구안하여 수업에 적용하였을 때 학생들의 수학학습에는 크게 의사소통 측면과 정의적 영역, 사고력의 발휘 측면에서 특징을 찾을 수 있었다. 의사소통 측면에서는 학생들이 자신의 사고과정을 다른 사람들에게 말하고, 쓰는 표현활동이 점차 향상되고 세련되어지는 것을 볼 수 있었으며 다른 사람의 생각을 듣고 긍정적이거나 부정적인 반응을 나타내는 것도 향상되었음을 확인할 수 있었다. 또, 정의적 영역에서는 수학에 대하여 긍정적인 태도를 보이거나 자신감과 흥미도가 높아진 사례들을 학생들이 직접 쓴 수학일기를 통해 발견할 수 있었다. 사고력의 발휘 측면에서는 크게 반성적 사고와 비판적 사고가 일어나고 있음을 알 수 있었고, 이러한 사고력이 발휘되는 경우는 연구 초반부의 수업에서보다 후반부로 갈수록 많이 나타났다.
이상과 같은 연구를 통해 얻은 결론은 다음과 같다.
첫째, 학생들은 계산 알고리즘의 과정과 계산에 대하여 다양한 각도로 이해하고 있으며 표현 또한 다양하게 일어난다.
둘째, 계산 오류 활용 수업을 통해 오류 설명 형태나 정당화 수준이 향상되고 다른 학생들과 생각을 주고받음으로써 새로운 사고방법을 경험하게 해준다.
셋째, 계산 오류 활용 수업을 통해 수학적 갈등 상황을 제공함으로써 반성적 사고나 비판적 사고와 같은 사고능력이 발휘되는 수업을 할 수 있다.
넷째, 계산 오류에 대한 학생들의 정당화는 알고리즘에 대하여 제대로 이해하고 있는 경우와 그렇지 못한 경우를 좀 더 세밀하게 분석할 수 있는 또 하나의 평가 자료가 된다.
다섯째, 계산 오류 활용 수업이 모든 학생에게 적합한 것은 아니며 학생의 특성에 따라 다양한 교수방법이 병행되어야 한다.
결론적으로 계산 알고리즘을 다루는 수업에서도 활발한 수학적 탐구활동이 이루어질 수 있으며 보다 활발한 수학적 사고가 이루어지는 교실 상황을 만들기 위해서 학생들의 다양한 표현과 이해가 적극 활용될 수 있도록 수업을 구성할 필요가 있다. 한 가지 문제 상황을 이해하는 여러 학생들의 다양한 사고를 수업에 적극 수용하여 학생들 서로 간에도 수학적으로 생각하는 다양한 경험이 활발히 오고 갈 수 있도록 해야 할 것이다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

The purpose of this study lies in examining how students' explanation and verification about computation algorithm is formed through activities of error correction with the use of computation error during classwork, and acquiring a few suggestion in guiding algorithm by observing the process of understanding the computation algorithm.
For the research, we have examined preceding studies about the definition and types of computation error, its application in textbooks and class lessons. Also, we have devised a computation error correction activity lesson based on relational understanding and instrumental understanding of Skemp, and studies on verification process of elementary students. We have applied it in real classwork concentrating on fifth grade A level and B level's fractional number and decimal number computation chapter. In this study, there were total of six times of examination and assessment over computation error correction activity lesson, and generally 10 to 20 minutes were necessary for the computation error correction activities in each lesson. Writing of explanation on the error and on the proper method of computation algorithm was carried out simultaneously, and for some cases personal conversation was carried out. Also, after each session was over, a mathematical journal about the activity was kept. The data collection for assessing students' process of thinking was done through answering sheets, mathematical journals, conversation data, video taping, and observation journal of the teacher. Explanation of students' computation error and comprehension feature assessment about computation algorithm was concentrated on explaining the error, students' comprehension over feature of the language form and computation algorithm, communicational aspect and definitive aspect of mathematical learning displayed by students during computation error correction activities. The result of lessons with computation error correction activities is described as follows.
During the computation error correction activities, the forms of explanation about computation algorithm may be categorized into six types- only presenting the correct answer, only mentioning the name of concept or algorithm, describing in detail the algorithm process, presenting pictures or models, presenting examples or counter-examples, and using basic mathematical reduction to absurdity method.
In the beginning of the experiment, more types of presenting only the correct answers were displayed. However, types with detailed explanation of correct algorithm gradually increased, and types with picture or model presentation, examples and counter-example presentation, basic mathematical reduction to absurdity method usage became gradually increasing as well.
Through computation error correction activities, the aspects of students' understanding about computation algorithm were largely divided into three cases, in which understanding of algorithm and explanation of error were all based on relational understanding, understanding of algorithm is relational but explanation of error is instrumental, and both understanding of algorithm and explanation of error is instrumental. Even when a similar form of explanation type was used for the same computation algorithm, there were differences in the extent of practical understanding of algorithm.
When computation error correction activity was be applied in a lesson, special features in students' mathematical studies were found, largely in the aspect of communication, aspect of definition, and aspect of presenting thinking ability. In the aspect of communication, the expressional activity of students conveying their thinking process to others through words and writing became more elevated and refined, and the ability to show positive or negative reaction after listening to other people's thoughts. Also, in the sphere of definition, we were able to observe through the mathematical journal written by the students themselves several cases in which a positive attitude was displayed towards mathematics, and self-confidence or interest level was increased. In the aspect of presenting thinking ability, it was noticeable that generally reflective thinking and critical thinking were carried out, and these cases in which thinking ability was exhibited became more conspicuous as the lesson proceeded on from the beginning to the end.
Through the studies described above, we drew some results as below.
First, students' comprehension about computation algorithm procedure and about computation happens from a various point of view, and its expression is also shown in various ways.
Second, the form of error elucidation and verification level is improved through lessons applying computation error correction, and it enables students to experience a new way of thinking through exchanging thoughts with other students.
Third, lessons applying computation error correction provide cases of mathematical complications, which calls for the demonstration of intellectual process such as reflective thinking or critical thinking.
Fourth, the students' verification of computation error serves as another evaluation data to assess in more detail over the cases with students who have clear understanding about the algorithm and cases with those who lacks it.
Fifth, lessons with computation error are not appropriate for every single student, and various methods of instruction should be used simultaneously according to the specific features of the student.
To sum up, an active mathematical study is also possible through lessons dealing with computation algorithm, and to make a classroom environment that enables more active mathematical thinking, lessons should be organized to allow students with differing expression and understandings. It should encourage an active exchange of various experiences in mathematical thinking among students by positively accepting different thoughts of students concerning one problem.

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ. 서론 = 1
• 1. 연구의 필요성 및 목적 = 1
• 2. 연구 문제 = 3
• 3. 용어의 정의 = 3
• Ⅱ. 이론적 배경 = 5
• 1. 계산 오류 = 5
• 가. 계산 오류의 의미 = 5
• 나. 계산 오류의 특성 = 8
• 다. 계산 오류의 유형 = 8
• 2. 계산 오류의 활용 = 21
• 가. 교과서에서의 활용 = 21
• 나. 진단 및 평가로서의 활용 = 23
• 다. 수업에서의 활용 = 23
• 3. '이해'에 대한 이해 = 32
• 가. 연결성으로서의 이해 = 32
• 나. Skemp의 관계적 이해와 도구적 이해 = 33
• 4. 정당화 = 34
• 가. 정당화의 유형 = 34
• 나. 수학적 정당화의 수준 = 37
• Ⅲ. 연구 방법 및 절차 = 42
• 1. 연구 방법 = 42
• 2. 연구대상 = 43
• 3. 연구 절차 = 43
• 가. 계산 오류 수정 활동 수업을 위한 준비 = 44
• 나. 계산 오류 수정 활동 수업의 실제 = 46
• 4. 분석 방법 = 47
• Ⅳ. 연구 결과 = 49
• 연구문제 1. 계산 오류 수정 활동에서 학생들의 계산 알고리즘에 대한 설명은 어떻게 이루어지며, 학생들의 계산 알고리즘에 대한 이해는 어떻게 나타나는가? = 49
• 가. 오류 설명 유형 = 49
• 나. 계산 알고리즘에 대한 이해 = 68
• 연구문제 2. 계산 오류 수정 활동을 구안하여 수업에 적용하였을 때 학생들의 수학학습에는 어떠한 특징이 나타나는가? = 78
• 가. 의사소통 능력 측면 = 78
• 나. 수학학습에 대한 태도 측면 = 94
• 다. 사고력의 변화 = 100
• Ⅴ. 결론 및 제언 = 105
• 1. 요약 및 결론 = 105
• 2. 제언 = 109
• Ⅵ. 참고문헌 = 111
• ABSTRACT = 113
• 부록 = 116