패턴에 기초한 대수 문제해결에서 나타나는 중학생들의 일반화 전략 및 수학적 표현 = Generalization strategies and mathematical representations of middle school students appearing on the problem solving of algebra based on patterns

국문 초록 (Abstract)

본 연구의 목적은 현행 전통적인 대수 교육에 대한 대안으로 떠오르고 있는 ‘패턴에 기초한 대수 도입’의 가능성과 방법을 살펴보고, 패턴에 기초한 대수 교육에 시사점을 제시하는데 있다. 이러한 연구 목적을 위해 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다.

1. 패턴에 기초한 대수 문제해결에서 중학생들이 보이는 일반화 전략은 어떠한가?
2. 패턴에 기초한 대수 문제해결에서 중학생들의 수학적 표현은 어떠한가?

이와 같은 연구 문제를 해결하기 위해 지필검사와 개별면담을 실시하였다. 검사지는 수학 4-가 수학 익힘책의 규칙성 찾기 문제에 ‘큰 수’를 도입하여 중학생들 수준에 맞게 일반화시켜 수정, 보완하여 작성되었다.
연구 문제 1을 해결하기 위해서 Lannin(2005)의 일반화 전략을 바탕으로 학생들의 검사결과를 분석하였다. 또한 연구 문제 2를 해결하기 위해서 학생들이 대수 문제해결 과정에서 발견한 규칙을 Nakahara의 표현 체계 중 시각적 표현, 언어적 표현, 기호적 표현을 기준으로 살펴보았다. 최종적으로 문자를 이용하여 형식화할 수 있느냐 여부를 성공, 실패, 무응답으로 나누어 분석했다. 또한 심층적인 사고과정 관찰을 위해 개별면담을 실시하였다.

본 연구를 통해 얻은 결과는 다음과 같다.
먼저 중학생들의 일반화 전략은 문제 1, 2, 3, 4번에서 요구하는 층이나 울타리의 개수가 작을 때는 문제 상황에 따라 다양한 전략이 사용되었으나, 큰 수에 주목시킨 후에는 상황적 인식 전략이 가장 선호되었다. 구조는 문제 3, 4번과 비슷하나 보다 일반화시킨 문제 5번에서 학생들은 주로 상황적 인식 전략을 선택하였다. 또한 문제 간 또는 문항 간 비교결과, 문제의 소재, 패턴의 난이도, 문제 제시 방식이 학생들의 일반화 전략 선택에 많은 영향을 미쳤음을 확인할 수 있었다.
학생들의 수학적 표현을 살펴본 결과, 무의미한 표현 또는 무응답자가 많았는데 이는 학생들이 주어진 문제를 이해하여 수학적으로 표현하는 것에 익숙하지 않음을 나타낸다. 전반적으로는 언어적 표현을 가장 선호하였는데 이는 수학적 규칙을 문장으로 표현하는 것이 중학생들에게 가장 친숙한 방법임을 나타낸다. 또한 표현 방법에서는 단 한 가지 방법으로 표현하는 경우도 있었지만, 두 개 이상의 표현 방법을 병용하는 학생도 일부 확인되었다. 형식적인 식 세우기에 대한 성공률은 문제마다 큰 차이를 보였다.
한편 개별면담 결과를 살펴보면, 학생 A는 일반화 전략 중 상황적 인식 전략을 주로 이용하였고, 문제에서 주어진 큰 수가 식으로 표현하도록 요구하고 있음을 인식하였다. 또한 식으로 표현할 때 수학적인 정보를 정교하게 담고 있는 것이 필요하다는 것을 인지하고 있었다. 학생 B도 상황적 인식 전략을 이용했고, 한 문제 상황을 두 가지 방법으로 인식하고 표현하였다. 학생 C는 상황적 인식 전략을 이용했으나, 이 중 일부는 그리거나 세기 전략을 통해 전이시켰다. 식을 세우는 것은 어려워하였다. 학생 D는 순환적인 관계 인식 전략을 바탕으로 상황적 인식 전략으로 발전하였으나, 일반적 사고를 하는 데에는 어려움을 보였다. 학생 E는 순환적인 관계 인식 전략을 이용하여 문제를 해결했는데, 이 전략에 대해 확신과 자신감을 갖고 있었고 다른 전략의 필요성을 인지하지 못했다. 그러나 수학적 규칙을 표현하는데 있어 5명의 학생들은 공통적으로 언어적 표현을 선호하였다.

이 연구의 결과로부터 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다.
첫째, 문제 발문 시 100과 같이 큰 수에 대해 확장하는 조치가 그리거나 세기 전략, 순환적인 관계 인식 전략만으로 부족하다는 것을 인식하게 하는데 중요한 영향을 미쳤으므로, 일반화 전략의 사용을 촉진하는 과제에서는 큰 수로 확장하도록 하는 발문을 포함시키는 것이 적절하다.
둘째, 패턴을 찾아 문제를 해결하고 큰 수에 대해 확장하여 해결하도록 하면 다양한 일반화 전략을 사용하고 발전시킬 수 있으므로, 여러 종류의 패턴에 기초한 대수 문제를 개발하여 수학교육에 활용할 필요가 있다.
셋째, 수학적인 표현 방법에 주목하고, 자신의 표현 방법을 발전시키는 기회를 제공하는 것이 수학 수업에서 반드시 필요하다.
넷째, 이 연구에서 언어적 표현과 대수적 표현 사이의 간격이 매우 크다는 것을 확인한 만큼, 학생들이 언어적 표현을 대수적인 표현으로 전환시킬 수 있는 수업 전략을 개발하는 것이 중요하다.

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ. 서 론 1
• A. 연구의 필요성 및 목적 1
• B. 연구문제 4
• C. 용어의 정의 4
• D. 연구의 제한점 5
• E. 기대되는 효과 6
• Ⅱ. 이론적 배경 7
• A. 대수와 대수 교육 7
• 1. 대수와 대수적 사고 7
• 2. 대수 교육 10
• B. 일반화와 수학적 표현 14
• 1. 일반화 14
• 2. 수학적 표현 20
• Ⅲ. 연구 방법 및 절차 25
• A. 연구 대상 25
• B. 연구 방법 26
• C. 검사 도구 27
• D. 검사 실시 및 자료 수집 30
• E. 자료의 처리 및 분석 33
• Ⅳ. 결과 분석 및 논의 35
• A. 결과 35
• 1. 패턴에 기초한 대수 문제해결에서의 일반화 전략 분석 35
• 2. 패턴에 기초한 대수 문제해결에서의 수학적 표현 분석 51
• 3. 학생들의 면담 내용 분석 59
• B. 논의 68
• Ⅳ. 요약 및 제언 72
• A. 요약 72
• B. 제언 75
• 참고문헌 77
• ABSTRACT 79