초등수학에서 대상과 구조 : 구조의 횡적 다양성과 종적 다양성

임재훈 한국초등수학교육학회 2012 한국초등수학교육학회 연구발표대회 논문집 Vol.2012 No.08

인식 주체는 자신의 경험을 바탕으로 주어진 대상에 구조를 부여하여 대상을 구조 로 인식하려고 한다. 주어진 문제 맥락 속에서 주체가 대상에 부여할 수 있는 구조는 횡적, 종적으로 다양하다. 구조의 횡적 다양성의 측면에서, 한 대상 속에서 다양한 구 조를 발견하는 데 초점을 맞춘 문제해결 활동은 다양한 전략 사용에 중점을 둔 문제 해결 교육의 보완이 될 수 있다 또, 도형 패턴 과제에서 일반식의 발견은 문제해결의 종착점이 아닌 새로운 구조 탐구의 시발점으로 여겨져야 한다. 구조의 종적 다양성의 측면에서, 교사는 학생이 보는 구조와 교사가 보는 구조가 다를 가능성에 유의하면서, 구조의 종적 다양성에 기초하여 아동이 진보의 경험을 할 수 있도록 지도하는 방안을 모색할 필요가 있다. Cognitive subject imposes structures on an object to shape it into a structured thing. Structures that the subject impose on an object in a given problem context can be diverse horizontally and vertically. In view of the horizontal diversity of structure, problem-solving activities focusing on imposing various structures on an object may enrich the present problem-solving education which concentrating on applying and comparing a couple of problem-solving strategies. Finding an algebraic formula for a figural pattern should be regarded as a new starting point of searching for more various structures. In view of the vertical diversity of structure, it should be aware that students may see different structures from the structure that their teacher expect them to see. The vertical diversity of structure enables us to provide students with experience of progress.

분수 포함제와 제수의 역수 곱하기 알고리즘의 연결성

임재훈 한국초등수학교육학회 2016 한국초등수학교육학회지 Vol.20 No.4

피제수와 제수가 분수인 나눗셈에서, 포함제는 공통분모 알고리즘과 등분제는 제수의 역수 곱하기 알고리즘과 대응한다고 여겨져 왔다. 분수 나눗셈 학습 지도에서 이와 같은 이분법을 넘어서려는 시도가 있어 왔다. 이러한 시도에서 포함제와 제수의 역수 곱하기 알고리즘을 연결하는 방법으로는, 공통분모 알고리즘을 이용하는 방법, 1÷(제수)를 매개로 하는 방법, 제수 쪽의 양을 1이라고 가정하는 방법이 있다. 기존의 방법들에서 포함제와 제수의 역수 곱하기 알고리즘의 관련은 중간까지만 유지되거나 제수의 역수 곱하기 알고리즘이라는 최종 결과만 등분제와 공유한다. 이 논문에서는 기존 방법의 한계를 넘어, 포함제와 제수의 역수 곱하기 알고리즘의 연결성을 새로운 관점에서 심층 논의한다. 포함제를 측정접근법과 동형접근법으로 해결하는 과정에서 등분제에서와 동일한 수식 변형 과정을 거쳐 제수의 역수 곱하기 알고리즘이 유도될 수 있다. 이 연구의 결과는, 분수 나눗셈 계산법 학습 지도에 관한 이론적 논의의 장을 확장함과 더불어, 포함제와 등분제를 아우르는 분수 나눗셈의 통합 계산법 학습 지도 프로그램 개발에 국소 이론으로 사용될 수 있다. The structures of partitive and quotitive division of fractions are dealt with differently, and this led to using partitive division context for helping develop invert-multiply algorithm and quotitive division for common denominator algorithm. This approach is unlikely to provide children with an opportunity to develop an understanding of common structure involved in solving different types of division. In this study, I propose two approaches, measurement approach and isomorphism approach, to develop a unifying understanding of fraction division. From each of two approaches of solving quotitive division based on proportional reasoning, I discuss an idea of constructing a measure space, unit of which is a quantity of divisor, and another idea of constructing an isomorphic relationship between the measure spaces of dividend and divisor. These ideas support invert-multiply algorithm for quotitive as well as partitive division and bring proportional reasoning into the context of fraction division. I also discuss some curriculum issues regarding fraction division and proportion in order to promote the proposed unifying understanding of partitive and quotitive division of fractions.

상황, 단위, 의미의 관점에서 비 개념 도입 분석

임재훈 한국초등수학교육학회 2020 한국초등수학교육학회지 Vol.24 No.4

The ways of introducing the concept of ratio can be analyzed in view of situation (single situation, multiple situations), unit (single unit, multiple units), meaning (multiplicative comparison, a situation with two quantities measured in a unknown sized unit). In view of situation, unit, and meaning, I analyzed how the concept of ratio has been introduced in elementary mathematics textbooks of Korea. The results of the analysis are as follows. Single situation was mainly used until the 7th curriculum period, and thereafter, a transition to multiple situations occurred. The use of a single unit has been dominant. The ratio has been regarded as the expression that represents the intention of comparing two amounts multiplicatively. Based on the results, some issues for future research on how to introduce the concept of ratio were proposed. 이 논문에서는 비 개념 도입을 분석하는 데 사용될 수 있는 한 가지 준거를 설정한다. 그리고 이 준거의 효용성을 우리나라 초등 수학교육에서 비 개념이 어떻게 도입되어 왔는지 살펴보며 확인하고, 이후 비 개념 도입에 대한 논의에서 고려할 이슈를 제시한다. 비 a : b의 개념 도입 방식은 상황과 단위, a와 b의 관계를 보는 관점과 연관된 의미를 준거로 분석될 수 있다. 이를 준거로 우리나라 초등 수학 교과서의 비 개념 도입을 살펴본 결과는 다음과 같다. 상황 면에서는 7차 교육과정기까지 대체로 단일 상황이 사용되다가 그 이후 비례가 내재된 복수 상황으로의 전환이 일어났다. 단위 면에서는 일부 시기에 복수 단위가 나타난 적이 있기는 하나, 단일 단위의 사용이 지배적이다. 의미 면에서는 두 양을 곱셈적으로 비교하려는 의도의 표현이라는 의미가 지배적이다. a와 b의 관계를 대등하게 보는, 크기가 미지인 단위의 몇 배인 두 양으로 이루어진 상황의 표현이라는 의미가 명확히 다루어진 적은 거의 없다. 이상의 결과를 바탕으로, 향후 비 개념 도입에 대한 논의에서 고려될 이슈를 곱셈적 비교 의도를 나타내는 표현과 크기가 미지인 단위로 된 두 양으로 이루어진 상황의 표현으로 나누어 제시하였다.

심성함양을 위한 수학교육 연구 : 현황과 과제

임재훈 한국초등수학교육학회 2023 한국초등수학교육학회지 Vol.27 No.2

이 논문에서는 심성함양의 관점에서 이루어진 우리나라의 수학교육 연구에서 제기 된 주장을 교사, 학생, 수학교육과정, 수학학습지도로 나누어 살펴보면서 초등 수학 교육에 대한 함의를 고찰하고 앞으로의 과제를 제안한다. 교사에 관하여, 심성함양 의 관점은 수학 교과 지식의 구현체가 될 것을 요청한다. 이 요청은 교육 동기와 관련하여 교사 전문성 및 교육대학의 교사 양성 과정에 시사하는 바가 있다. 학생 에 관하여, 수학 공부에 열정적으로 몰입하며 교사가 하는 것을 따라할 것 등을 요 청하는데, 심성함양의 관점에서 학생에게 해야 하는 보다 중요한 요청은 학생의 현 재의 심성을 있는 그대로 거리낌 없이 나타내라는 것이다. 수학교육과정에 관하여, 심성함양의 관점이 수학 교과의 내용 선정 준거 마련에 기여할 가능성에 대한 기 대가 있지만, 심성함양의 관점은 그런 기능을 하기 어렵다. 대신, 현행 수학과 교육 과정 문서의 핵심 아이디어 진술에 변화를 가져올 수 있으며, 도달점 행동에 지나 치게 관심이 쏠리는 것을 막는 방식으로 교육과정의 실행에 기여할 수 있다. 수학 학습지도에 관하여, 심성함양의 관점은 학교수학의 교수학적 분석과 역사발생적 원 리, 수학화 교육론과 같은 학습지도원리를 토대로 삼는다. 이 위에, 앞으로 수학 교 과 지식의 본질과 학생의 현재의 생각에 주의를 기울이는 교사에 의하여 세부적이 고 구체적인 수학 교과 지식을 소재로 진전과 탈바꿈을 이루어가는 교육 연구가 활발하게 이루어져야 한다. 이런 연구는 심성함양을 위한 수학교육이 우리나라 초 등 수학교육의 실제에 자리 잡고 확산되는 데 실로 중요하다. The purpose of this study is to review previous studies on mathematics education conducted from the perspective of cultivation of mind and propose future tasks. Arguments made in the previous studies were categorized into four areas: teachers, students, mathematics curriculum, and teaching and learning of mathematics. The previous studies ask teachers to be the living embodiment of mathematical knowledge that they teach. This request has important implications for teacher education in relation to educational motivation. The previous studies ask students to immerse themselves in studying mathematics with enthusiasm and patience, following the example of their teachers. In my view, this request is problematic in that it requires from the start the attitude that can be formed through education. It is more important to ask students to show their present mind without hesitation in mathematics class. Though the previous studies express hope that the perspective of cultivation of mind would block attempts to reduce mathematics in curriculum revision, the perspective does not seem to function that way. There are other ways that the perspective makes its contribution to mathematics curriculum. Regarding teaching and learning of mathematics, the previous studies give significance to didactical analysis on the subjects of school mathematics and suggest some principles of teaching and learning. Upon this foundation, further detailed studies that show educational practices that cultivate students’ mind with particular mathematical knowledge are needed. These studies can be conducted well by teachers who have profound understanding of mathematical knowledge that they teach and pay close attention to students’ mind. Such studies are the key to realizing mathematics education for cultivating mind.

조기유학청소년의 적응연구 Ⅱ : 미국 사례를 중심으로

임재훈,최윤정,안소연,윤소윤 한국청소년정책연구원 2010 한국청소년정책연구원 연구보고서 Vol.- No.-

초등예비교사의 수학 문장제 해결 도구로서 다이어그램에 대한 초기 관념과 수행

임재훈 한국초등수학교육학회 2018 한국초등수학교육학회지 Vol.22 No.2

다이어그램은 수학 문장제의 구조를 표현하고 추론을 하여 문제를 해결하는 데 유 용하다. 다이어그램에 관한 교사의 관념과 실행은 학생들에게 큰 영향을 미친다. 그러므로 예비교사교육 프로그램에서 예비교사들이 다이어그램 관련 역량을 기를 기회를 제공해야 한다. 관련하여, 예비교사들이 다이어그램에 대한 어떤 사전 경험 과 관념을 가지고 교사교육 프로그램에 입문하는지, 프로그램을 거치면서 어떤 변 화가 일어나는지, 프로그램에 어떤 개선이 필요한지 연구할 필요가 있다. 이 논문 에서는 그 출발점 작업으로, 교육대학교의 수학교육 프로그램에 입문하는 초등예비 교사들의 다이어그램에 대한 관념과 수행을 조사하였다. 조사 결과, 초등예비교사 들은 다이어그램 유용성 인식과 다이어그램 교육 의지 영역에서 긍정적인 응답을 보였으나, 수학 문장제 해결에 다이어그램을 자발적으로 사용하고 있지 않았고 학 교에서의 다이어그램 학습 경험에서도 부정적인 응답을 보였다. 또, 초등예비교사 들이 그린 다이어그램을 분석한 결과, 해를 구하는 추론 (풀이) 과정을 나타내는 다 이어그램을 그린 초등예비교사는 소수였다. 이러한 결과는 다이어그램에 관한 경험 과 지식이 부족한 상태로 수학교육 프로그램에 입문하는 초등예비교사가 많음을 시사한다. This study involved an investigation of prospective elementary teachers’preconceptions and experiences of diagrams and their ability to draw diagrams in solving math word problems. A questionnaire and two math word problems were administered to prospective elementary teachers who began to taking an introductory mathematics education course. The results from the analysis of their responses to the questionnaire items indicate that prospective elementary teachers appreciate the value of diagrams as tools for problem solving and communication. In addition, prospective elementary teachers have the will not only to teach their future students how to use diagrams but also to encourage them to draw diagrams in solving math word problems. However, the results also indicates that prospective elementary teachers neither use diagrams spontaneously in their math problem solving activities nor have confidence in drawing useful diagrams. Prospective elementary teachers also manifested low scores on the questionnaire items asking whether they were taught how to draw useful diagrams or encouraged by their teachers to use diagrams in their previous learning experiences. The results from the analysis of the diagrams that prospective elementary teachers drew in solving math word problems showed that most of them had difficulty drawing diagrams that represent their reasoning and solving process.

등호 해석의 두 시간적 차원인 읽기·쓰기의 불일치와 그 해소

임재훈 한국초등수학교육학회 2013 한국초등수학교육학회지 Vol.17 No.2

이 논문은 5+2=7과 같은 등호가 들어 있는 식의 읽기와 쓰기라는 두 행위 사이의 불일치 및 그 해소 과정에서 생길 수 있는 문제점에 관하여 논한 것이다. 기호 이해의 시간적 차원과 등호 개념의 이중성을 바탕으로, 초등 수학 교과서에 제시된 등식 읽기와 쓰기 방법을 분석하였다. 교사는 수업에서 기호 읽기와 기호 쓰기를 통해 무시간적인 차원의 기호를 시간 속에 펼쳐 놓는 시간화 작업을 수행한다. 이때 읽기 순서와 쓰기 순서 사이에 불일치가 있을 수 있으며, 이를 교사가 어떻게 해소하는가는 학생들의 기호 이해에 영향을 줄 수 있다. 등식 읽기를 쓰기 관습에 종속시켜 이 불일치를 해소하면, 관계적 관점을 나타내고 있는 교과서의 등식 읽기를 조작적 관점의 읽기로 변환하는 현상이 일어나게 된다. 등호의 관계적 의미 이해를 중시하는 입장에서 보면, 쓰기를 교과서에 제시된 읽기 방식에 종속시키는 방향으로 불일치를 해소하는 것이 적절하다. 또한, 등호의 읽기 쓰기를 부등호의 읽기 쓰기와 통합적으로 다룰 필요가 있다.

Influence of Shell Thickness on the Performance of Light-Emitting Devices Based on Type-I Core/Shell Heterostructure Quantum Dots

임재훈,정병국,박명진,Jeffrey M. Pietryga,김재경,박영신,Victor I. Klimov,이창희,배완기,이도창 한국고분자학회 2014 한국고분자학회 학술대회 연구논문 초록집 Vol.2014 No.10

분수 나눗셈의 통합적 이해를 위한 방편으로서 포함제에서 1÷(제수)를 매개로 하는 방법에 대한 고찰

임재훈 한국초등수학교육학회 2018 한국초등수학교육학회지 Vol.22 No.4

Fraction division can be categorized as partitive division, measurement division, and the inverse of a Cartesian product. In the contexts of quotitive division and the inverse of a Cartesian product, the multiply-by-the-reciprocal algorithm is drawn well out. In this study, I analyze the potential and significance of the method of using 1÷(divisor) as an alternative way of developing the multiply-by-the-reciprocal algorithm in the context of quotitive division. The method of using 1÷(divisor) in quotitive division has the following advantages. First, by this method we can draw the multiply-by-the-reciprocal algorithm keeping connection with the context of quotitive division. Second, as in other contexts, this method focuses on the multiplicative relationship between the divisor and 1. Third, as in other contexts, this method investigates the multiplicative relationship between the divisor and 1 by two kinds of reasoning that use either 1/the denominator of the divisor or the numerator of the divisor as a stepping stone. These advantages indicates the potential of this method in understanding the multiply-by-the-reciprocal algorithm as the common structure of fraction division. This method is based on the dual meaning of a fraction as a quantity and the composition of times which the current elementary mathematics textbook does not focus on. It is necessary to pay attention to how to form this basis when developing teaching materials for fraction division. 분수 나눗셈의 여러 맥락 중 등분제와 카테시안 곱의 역 맥락에서는 제수의 역수 곱하기 알고리즘이 자연스럽게 유도된다. 그러므로 제수의 역수 곱하기 알고리즘을 분수 나눗셈의 통합 알고리즘으로 지도하고자 할 때 특히 이슈가 되는 것은 포함제 맥락이다. 이 논문에서는 포함제 맥락에서 1÷(제수)를 매개로 하는 방법이 지닌 잠재력 및 그 기반을 분석하고, 이 방법을 제수의 역수 곱하기 알고리즘을 분수 나눗셈의 통합 알고리즘으로 지도하려 할 때 고려할 수 있는 한 대안으로 제안한다. 포함제 맥락에서 1÷(제수)를 매개로 하여 제수의 역수 곱하기 알고리즘을 유도하는 방법은 다음과 같은 특징을 지니고 있다. 첫째, 포함제 맥락에서 맥락과의 연결성을 유지한 채로 제수의 역수 곱하기 알고리즘을 유도할 수 있다. 둘째, 다른 맥락들에서와 마찬가지로, 제수와 1의 곱셈적 관계에 주목한다. 셋째, 다른 맥락들에서와 마찬가지로, 제수와 1의 곱셈적 관계를 1/제수의 분모 을 징검다리로 삼는 추론과 제수의 분자를 징검다리로 삼는 두 가지 추론으로 파악한다. 이러한 특징은 이 방법이 제수의 역수 곱하기 알고리즘을 분수 나눗셈의 공통 구조를 담고 있는 통합 알고리즘으로 다루는 데 기여할 수 있음을 시사한다. 한편, 이 방법은 양분수의 이중적 의미와 배의 합성을 그 기반으로 한다. 분수 나눗셈의 통합적 이해를 지향하는 교재 개발 및 수업 연구에서는 이 기반의 형성에 유의할 필요가 있다.

분수 나눗셈의 통합적 이해를 위한 방편으로서 포함제에서 1÷(제수)를 매개로 하는 방법에 대한 고찰

임재훈,Yim, Jaehoon 한국초등수학교육학회 2018 한국초등수학교육학회지 Vol.22 No.4

분수 나눗셈의 여러 맥락 중 등분제와 카테시안 곱의 역 맥락에서는 제수의 역수 곱하기 알고리즘이 자연스럽게 유도된다. 그러므로 제수의 역수 곱하기 알고리즘을 분수 나눗셈의 통합 알고리즘으로 지도하고자 할 때 특히 이슈가 되는 것은 포함제 맥락이다. 이 논문에서는 포함제 맥락에서 $1{\div}$(제수)를 매개로 하는 방법이 지닌 잠재력 및 그 기반을 분석하고, 이 방법을 제수의 역수 곱하기 알고리즘을 분수 나눗셈의 통합 알고리즘으로 지도하려 할 때 고려할 수 있는 한 대안으로 제안한다. 포함제 맥락에서 $1{\div}$(제수)를 매개로 하여 제수의 역수 곱하기 알고리즘을 유도하는 방법은 다음과 같은 특징을 지니고 있다. 첫째, 포함제 맥락에서 맥락과의 연결성을 유지한 채로 제수의 역수 곱하기 알고리즘을 유도할 수 있다. 둘째, 다른 맥락들에서와 마찬가지로, 제수와 1의 곱셈적 관계에 주목한다. 셋째, 다른 맥락들에서와 마찬가지로, 제수와 1의 곱셈적 관계를 1/제수의 분모을 징검다리로 삼는 추론과 제수의 분자를 징검다리로 삼는 두 가지 추론으로 파악한다. 이러한 특징은 이 방법이 제수의 역수 곱하기 알고리즘을 분수 나눗셈의 공통 구조를 담고 있는 통합 알고리즘으로 다루는 데 기여할 수 있음을 시사한다. 한편, 이 방법은 양분수의 이중적 의미와 배의 합성을 그 기반으로 한다. 분수 나눗셈의 통합적 이해를 지향하는 교재 개발 및 수업 연구에서는 이 기반의 형성에 유의할 필요가 있다. Fraction division can be categorized as partitive division, measurement division, and the inverse of a Cartesian product. In the contexts of quotitive division and the inverse of a Cartesian product, the multiply-by-the-reciprocal algorithm is drawn well out. In this study, I analyze the potential and significance of the method of using $1{\div}$(divisor) as an alternative way of developing the multiply-by-the-reciprocal algorithm in the context of quotitive division. The method of using $1{\div}$(divisor) in quotitive division has the following advantages. First, by this method we can draw the multiply-by-the-reciprocal algorithm keeping connection with the context of quotitive division. Second, as in other contexts, this method focuses on the multiplicative relationship between the divisor and 1. Third, as in other contexts, this method investigates the multiplicative relationship between the divisor and 1 by two kinds of reasoning that use either ${\frac{1}{the\;denominator\;of\;the\;divisor}}$ or the numerator of the divisor as a stepping stone. These advantages indicates the potential of this method in understanding the multiply-by-the-reciprocal algorithm as the common structure of fraction division. This method is based on the dual meaning of a fraction as a quantity and the composition of times which the current elementary mathematics textbook does not focus on. It is necessary to pay attention to how to form this basis when developing teaching materials for fraction division.