터치스크린 기반 공학도구 환경에서 미분 개념을 탐구하는 고등학생의 담론 분석 = Discourse Analysis of High School Students Exploring Concepts of Differentiation in a Touchscreen-Based Digital Tool Environment|RISS 상세보기

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

This study is a qualitative case study that analyzes how 11th-grade high school students explore the concepts of differentiation—average rate of change, instantaneous rate of change, derivative at a point, and derivative function—by integrating speech, dragging, and gesture within a touchscreen-based digital tool environment, from the perspective of the Commognition theory. Although differentiation fundamentally involves understanding the local behavior of continuous change and the notion of limits, it is often reduced in school contexts to procedural techniques for calculating slopes. Such procedure-oriented instruction often leads students to treat differentiation not as a conceptual object with relational meaning, but merely as a rule to be applied mechanically when solving problems. Accordingly, this study aimed to investigate how multimodal interactions within a touchscreen-based GeoGebra environment organize and transform students’ mathematical discourse.
The study was conducted with ten 11th-grade students at a public high school in I City. Students worked in five pairs and participated in four 100-minute class sessions held in July 2025(July 9, 11, 16, and 18). Each group used a tablet device and the GeoGebra environment to carry out the exploratory tasks. Data were collected from screen recordings, audio recordings, and dual-camera classroom video. For the analysis, episodes in which speech, gesture, and dragging were integrated were selected and transcribed. Word use, the functions of visual mediators, the reorganization of narratives, routine shifts, and discursive transitions were systematically traced based on the Commognitive analytic framework. Ethical approval and informed consent from both students and guardians were obtained prior to the study.
The exploratory tasks were designed according to a historical–genetic progression. Students first explored tangent lines and then visually examined average rates of change. Through the process of moving one point closer to another, they repeatedly observed how the slope of a secant line approaches the slope of a tangent line. Subsequently, the derivative at a point was formalized, and the tasks were designed so that students could explore the process by which the tangent slope is organized as a function according to changes in the point’s position, leading to the exploration of the derivative function.
The results showed that in Activity 2.1, students observed changes in the average rate of change by manipulating the slider and points, and initially remained within ritualized routines focused on reading values and sharing observations. However, as pauses and deictic actions at specific positions were repeated, students began to produce process-oriented descriptions of slope, such as “it keeps increasing” and “it is not constant”. In Activity 2.2, as students continuously dragged one point to reduce the distance between the two points, they produced absence-deictic narratives such as “the slope suddenly disappears” and “if the two points completely overlap, we cannot talk about the slope.” Soon afterward, a definition-adjacent condition such as “B does not become A but only gets closer” was constructed. This episode represents a case in which a shift from ritualized routines to exploratory routines was observed. In Activity 3, a representational linkage was provided in which, as point A moves, the slope of the tangent corresponds to the coordinate of point B, and the locus of point B appears as a single curve. Through this linkage, students began to name slope not as an isolated numerical value but as a new functional object that “that takes values that vary with .” In other words, the tangent slope was no longer treated as merely the result of a calculation, but was handled in discourse as a functional object organized according to the position of the point. In Task 4, students moved point A along the original function and examined the tangent slope at each . They manipulated red point corresponding to the coordinate and repeatedly verified, through the locus and checkbox functions, how a set of points becomes organized into a single graph. During this process, chained discursive shifts were observed in which slope was reorganized from a local computed value into an object with a functional structure, as evidenced by utterances such as “Oh? This is the same as the tangent slope,” and “Then isn’t the tangent slope a quadratic function?” Subsequently, the derivative function began to be referred to as a criterion for judging the increase and decrease of the original function. In the touchscreen environment, continuous dragging functioned as a dynamic visual mediator that accomplished the sharing of change, while the pause of dragging functioned as a static visual mediator that established joint attention. In addition, finger-based manipulation facilitated the repetition of “pause–check–re-drag,” thereby supporting the stabilization of exploratory routines and discursive shifts.
In the core exploratory episodes of this study, it was confirmed that students participated in discourses of comparison, observation, interpretation, and justification through interactions in which static and dynamic visual mediators intersected. This study is significant in that it demonstrates, through concrete cases, that a digital tool can reorganize discourse related to differentiation from a procedure -centered orientation toward a relation- and justification-centered orientation by mediating representational synchronization and repeated verification.

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국문 초록 (Abstract)

본 연구는 터치스크린 기반 공학도구 환경에서 고등학교 2학년 학생들의 발화, 드래깅, 제스처를 통합하여 평균변화율, 순간변화율, 미분계수, 도함수를 포함하는 미분 개념의 탐구 과정을 코모그니션(Commognition) 이론의 관점에서 분석한 질적 사례 연구이다. 미분은 연속적 변화의 국소적 성질과 극한 개념을 필요로 하는 동적 개념임에도, 학교 현장에서는 여전히 기울기를 계산하는 절차적 기술로 축소되어 지도되는 경우가 많다. 이러한 절차 중심의 학습은 학생들이 미분을 관계적 의미를 가진 개념적 대상으로 이해하기보다, 규칙을 적용하는 문제 풀이 기법으로 받아들이도록 만든다. 이에 본 연구는 터치스크린 기반 GeoGebra 환경에서의 다중양식 상호작용이 학생들의 수학적 담론을 어떻게 조직하고 변화시키는지를 탐구하고자 하였다.
연구는 I시 공립 고등학교 2학년 학생 10명을 대상으로 진행되었으며, 2인 1조로 구성된 A반 2개 조와 B반 3개 조(총 5개 조)가, 하루 100분 수업에 각각 2일씩 참여하였다(2025년 7월 9, 11, 16, 18일). 학생들은 Galaxy Tab과 GeoGebra 환경에서 제시된 과제를 따라 탐구 활동을 수행하였으며, 연구자는 화면 녹화, 음성 녹음, 후면/전면 카메라 영상을 포함한 다중 자료를 수집하였다. 분석을 위해 발화·제스처·드래깅이 통합된 장면을 선별하여 전사했으며, 코모그니션 분석 틀에 근거하여 단어 사용, 시각적 매개체의 기능, 내러티브 재조직, 루틴 전환과 담론적 이동을 체계적으로 분석하였다. 연구 윤리는 사전 IRB 승인과 보호자·학생 동의 절차에 따라 준수하였다.
탐구 과제는 역사 발생적 흐름에 따라 구성되었다. 학생들은 접선을 탐구한 뒤 평균변화율을 시각적으로 관찰하고, 한 점을 다른 점에 가깝게 이동시키는 과정을 통해 할선의 기울기가 접선의 기울기에 가까워지는 현상을 반복적으로 확인하였다. 이후 미분계수를 공식화하고, 점의 위치 변화에 따라 접선의 기울기가 하나의 함수로 조직되는 과정을 도함수로 탐구하도록 설계하였다.
연구 결과, 활동 2.1에서 학생들은 슬라이더 와 점 조작을 통해 평균변화율의 변화를 관찰했으며, 초기에는 값 읽기와 관찰 공유의 관습적 루틴에 머물렀다. 그러나 특정 지점에서의 멈춤과 지시가 반복되면서 기울기에 대해 “점점 커진다”, “일정하지 않다”와 같은 변화 과정 중심 서술이 나타났다. 활동 2.2에서는 두 점 사이 간격을 지속적으로 줄이는 드래깅 속에서 “기울기가 갑자기 사라진다”, “두 점이 완전히 겹치면 기울기를 말할 수 없다”와 같은 부재 지시 내러티브가 산출되었고, 곧 “B는 A가 되지 않고 가까워지기만 한다”와 같이 정의에 가까운 조건이 구성되었다. 이 장면에서는 관습적 루틴에서 탐구적 루틴으로의 전환이 관찰되었다. 활동 3에서는 점 A의 이동에 따라 접선의 기울기가 점 B의 좌표로 대응되고, 그 자취가 하나의 곡선으로 나타나는 표상 간 연결이 제공되었다. 이를 통해 학생들은 기울기를 개별 수치가 아니라 “에 따라 달라지는 값”을 갖는 새로운 함수적 대상으로 명명하기 시작하였다. 즉, 접선의 기울기는 더 이상 계산의 결과가 아니라 점의 위치에 따라 조직되는 함수적 대상으로, 담론 속에서 다루어졌다. 과제 4에서는 원함수 위의 점 A를 이동시키며 각 에서의 접선의 기울기 를 확인하고, 이를 좌표점 로 대응시키는 빨간 점을 조작하는 활동을 하였다. 또한 자취 및 체크박스 기능을 통해 점들의 집합이 하나의 그래프로 조직됨을 반복적으로 검증하였다. 이 과정에서 “어? 이거 접선의 기울기랑 똑같은데?”, “그럼 접선의 기울기가 이차함수 아니야?”와 같은 발화를 통해 기울기가 국소적 계산값에서 함수적 구조를 지닌 대상으로 재조직되었으며, 이후 도함수는 원함수의 증가·감소를 판단하는 준거 대상으로 언급되기 시작하였다. 터치스크린 환경에서 연속 드래깅은 ‘변화의 공유’를 수행하는 동적 시각적 매개체로, 드래깅의 멈춤은 공동 주목을 형성하는 정적 시각적 매개체로 기능하였다. 또한 손가락 기반 조작은 ‘멈춤–확인–재드래깅’의 반복을 용이하게 하여 탐구적 루틴과 담론적 이동의 안정화를 뒷받침하였다.
본 연구의 핵심 탐구 장면에서는 정적 시각적 매개체와 동적 시각적 매개체가 교차하는 상호작용 속에서 학생들이 비교–관찰–해석–정당화 담론에 참여하고 있음을 확인할 수 있었다. 본 연구는 공학도구가 계산 보조를 넘어, 표상 동기화와 반복 검증을 매개로 미분 개념 관련 담론을 절차 중심에서 관계 및 정당화 중심으로 재조직할 수 있음을 구체적 사례 분석을 통해 확인하였다는 점에서 의의를 지닌다.

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본 연구는 터치스크린 기반 공학도구 환경에서 고등학교 2학년 학생들의 발화, 드래깅, 제스처를 통합하여 평균변화율, 순간변화율, 미분계수, 도함수를 포함하는 미분 개념의 탐구 과정을 ...

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