Linear codes from defining sets and their complete weight enumerators

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

The (complete) weight enumerator of the linear code is an important subject in coding theory because it contains crucial information about the minimum distance of linear code. The construction of the linear code from the defining set was done by the first Ding et al.(see [9-11]). A linear code has a few weights if its defining set is well-chosen. Complete weight enumerators of linear codes from the defining sets have attracted a lot of attention and have been extensively studied using exponential sums (see [5,10,11,17-19,21-23,25,28-31,34-36]).
The purpose of this thesis is to construct several classes of the defining sets, which gives linear codes with a few weights and explicitly compute their (complete) weight enumerators. As possible applications, we show that these codes can be used in Secret Sharing Schemes and Authentication Codes.

국문 초록 (Abstract)

부호이론(coding theory)에서 완전 가중치 다항식(complete weight enumerator)은 선형코드(linear code)의 최소 거리(minimum distance)에 대한 중요한 정보가 포함되어 있기 때문에 중요한 주제중의 하나이다. 최근에 정의집합(defining set)이 잘 선택된 경우 작은 가중치(a few weights)의 선형 코드를 구성하는 연구가 있었다. 이 정의집합은 처음 Ding et al.[9-11]에 의해 소개되었고 그 이후로 정의된 집합으로 부터 얻는 선형코드의 완전 가중치 다항식에 대한 연구가 많이 진행되고 있다.
이 학위논문에서는 몇 가지 정의된 집합으로 부터 작은 가중치를 가지는 선형코드를 구성하고 그 선형 코드의 완전 가중치 다항식을 계산하였다. 다음으로 정의된 집합으로 구성된 선형코드를 이용하여 Secret Sharing Scheme와 Authentication Code에 사용 될수 있음을 보였다.

목차 (Table of Contents)

• 1 Introduction to Coding Theory 1
• 1.1 Introduction 1
• 1.2 Linear codes 4
• 1.3 Exponential sums 6
• 2 (Complete) Weight Enumerators of A Class of Linear Codes 9
• 2.1 Preliminaries 9
• 2.2 The first construction of linear code 12
• 2.3 The punctured code 33
• 2.3.1 The proofs of the Theorems 2.20, 2.22 and 2.24 43
• 3 (Complete) Weight Enumerators of Two Classes of Linear Codes 49
• 3.1 The second construction of linear code 49
• 3.1.1 The proofs of the Theorems 3.3, 3.4 and 3.5 60
• 4 Applications of Linear Codes with A Few Weights 62
• 4.1 Secret sharing scheme from the linear code 62
• 4.2 Systematic authentication code 66
• 5 Conclusion 67