드모르간의 수학교육론 연구

국문 초록 (Abstract)

이 연구에서는 수학교육에 관한 드모르간의 견해를 체계적으로 파악하고, 수학적 업적을 정리하고, 음수 지도와 대수 지도에 대한 그의 관점을 분석하여 정리한다. 그의 수학교육론은 다음과 같이 요약할 수 있다. 첫째, 수학 교수-학습에 있어서 역사 발생의 과정을 고려해야 한다. 둘째, 학생의 수학적 개념작용이 점진적으로 형식화되어야 한다. 셋째, 귀납 단계에서 연역 단계로 넘어가는 과정에서 지속적으로 나타나는 오류를 학습에 이용하는 것이 중요하다. 넷째, 수학 교수-학습에서 학생의 개인적 지식이 중요하다. 드모르간이 제기한 이 네 가지 관점은 수학적 확실성에 이르게 하기 위해 먼저 심정적 확실성을 경험하게 하려는 접근 방식이다. 그가 제기한 심정적 확실성은 합리성과 인간성의 결합체로 플라토니즘과 일반대중교육의 간격을 메우는 인식론적 도구이다.
19세기 대수 분야 발달과정에서 드모르간은, 산술에서 단순히 유추한 형태의 기호대수를 넘어서, 형식으로부터 구성하는 수학의 가능성을 인식하고 이를 명시적으로 나타내어 추상대수학으로 나아갈 수 있는 기초를 닦았다. 드모르간은 19세기 논리학 분야 발달과정에서 아리스토텔레스 논리학의 재구성자인 동시에 수학적 논리학의 창시자로 간주할 수 있다. 그의 연구로 논리학이 철학에서 분리되어 나와 수학과 더욱 긴밀하게 결합하게 되어 수학적 논리학이 하나의 독립적 학문으로 자리 잡게 되었다. 그의 연구 활동을 통하여 우리는 19세기 수학의 발달에서 대수학과 논리학이 현재의 상태로 진화하여 가는 모습을 좀 더 명확하게 알 수 있다.
대수 발달의 단계에 관한 드모르간의 관점을 그가 사용한 용어를 바탕으로 산술, 보편산술, 기호대수, 의미적 대수의 순서로 나누어 논의한다. 드모르간은 즉각적으로 계산 결과를 얻는 산술과 문자기호를 사용하는 보편산술을 구분하였다. 그에 의하면, 보편산술은 산술에서 대수로 이행하는 과도기적 단계인 바, 이 단계에서 이상하고 불합리한 현상들이 발생하기에 대수가 필요하게 된다. 대수 발달의 단계에 관해 드모르간이 가진 관점의 특징은 기호의 의미가 사라진 규칙 체계 즉, 기호적 계산법을 얻은 후, 이 기호적 계산법 자체를 논리적으로 만들기 위해 기호에 확장된 의미를 부여하여 의미적 계산법으로 만든다는 것이다. 단일대수는 -1에 확장된 의미를 부여함으로써 만들어지고, 이중대수는 에 확장된 의미를 부여함으로써 만들어진다. 드모르간에 의하면, 대수 발달에서는 앞에서 제시된 체계의 불완전성에 주목하여 다음 체계를 이끌어낸다.
드모르간의 음수 지도 방법의 특징은 방정식 지도와 결합되었다는 점, 불가능한 뺄셈 기호를 사용한다는 점, 역사발생적 과정을 준수하는 점진적 형식화를 추구한다는 점이다. 또한, 드모르간의 방법을 학교수학의 방법과 비교함으로써, 그 장점과 단점을 분석하였다. 드모르간은 수학적 실재를 형식과 의미를 동시에 갖는 것으로 보았던 자신의 수학관에 따라 음수를 설명하였으며, 대수의 발달 단계에 맞추어 음수를 서로 상이한 존재로 간주하였고 이에 따라 여러 단계를 거쳐 음수를 지도하도록 하고 있다. 그의 이러한 세심한 조처는 음수의 지도가 단시간에 마무리될 수 없는 성격의 것임을 분명히 인식하게 해 준다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

In this study, We focus on grasping De Morgan's perspectives on mathematics education systematically. His perspectives can be summarized as followings. First, historico-genesis of mathematics must be considered in the teaching and learning of mathematics. Second, mathematical conception of students must be formulated progressively. Third, it is important to use errors which come out continually in the process of passing from inductive stage to deductive stage. Fourth, personal knowledge of students is important in the teaching and learning of mathematics. These De Morgan's four perspectives are the way of approach for experiencing moral certainty first of all to get to mathematical certainty. Moral certainty which he presented is a combination of rationality and humanity to fill up gaps between Platonism and general public education.
He recognised the purely symbolic nature of algebra and was aware of the existence of algebras other than ordinary algebra. He made algebra as a science by introducing the ordered field and made the base for abstract algebra. He was one of the reformer of classical mathematical logic. Looking into De Morgan's works, we made it clear that the developments of algebra and mathematical logic in 19C.
De Morgan thought that the differences between arithmetic and universal arithmetic lie in the usage of letters and the immediate performance of computation. In his viewpoint, universal arithmetic is a transitional phase, in which absurd phenomena occur, from arithmetic to algebra and these absurd phenomena call for algebra. The feature of De Morgan's view on the development of algebra is that symbolic calculus which consist of symbol system without symbol's meaning is acquired, then as extended meanings are furnished to symbols, symbolic calculus become logical so significant calculus is developed. For example, Single algebra is developed, as an extended meaning is furnished to a symbol , and double algebra is developed, as an extended meaning is furnished to a symbol . According to De Morgan, a symbol system is derived from the incompleteness of a prior symbol system.
De Morgan make students explore impossible subtractions, investigate the rule of the impossible subtractions, and construct the signification of the impossible subtractions in succession. In De Morgan' approach, teaching and learning negative numbers are connected with that of linear equations, the signs of impossible subtractions are used, and the concept of negative numbers is developed gradually following the historic genesis of negative numbers. Also, we analyzed the strengths and weaknesses of the De Morgan's approaches compared with the mathematics curriculum.