특이 섭동 비선형 미분 방정식의 다양한 해의 구성을 위한 변분법 개발

국문 초록 (Abstract)

특이 섭동된 타원형 편미분 방정식의 연구에 있어 큰 두 가지 흐름은 Floer-Weistein 에 의해 제시된 Lyapunov-Schmidt reduction method 와 Rabinowitz 에 의해 제시된 variational method 이다. Lyapunov-Schmidt reduction method를 사용하기
위하여 limiting problem에 대한 아주 강력한 가정을 하여야 한다. 그러나 이 가정이 mountain pass solution의 존재성에 필요한
가정보다 강하므로 일반적인 비선형 항이 주어져 있을 때는 이 방법을 이용할 수 없는 단점이 있다. 그럼에도 불구하고
Lyapunov-Schmidt reduction method를 이용하면 매우 세밀한 분석이 가능하므로 다양한 해의 존재성과 그의 안정성,
불안정성을 보일 수 있다. 반면 variational method 는 limiting problem 에 관한 특별한 가정 없이 어떤 해들의 존재를 밝힐 수
있으나 세밀한 분석이 기술적으로 어려우므로 Lyapunov-Schmidt reduction method 를 사용하여 얻을 수 있는
다양한 해들의 존재를 보이는 것이 어렵다. 최근 본 연구자는 새로운 변분적 방법을 고안하여 이제까지 강력한 조건 아래서
얻어졌던 결과들을 가장 optimal 조건인 Berestycki-Lions 조건에서 프랑스에 있는 Jeanjean 과 공동으로 차원이 3이상인 경우
특이 섭동문제의 potential 의 극소점들에 집중되는 해의 구성에 성공하였다. 1 또는 2 차원인 경우는 Tanaka, Jeanjean 과 공동으로
해결하였다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

Two big schemes are used for the study of standing waves for singularly perturbed nonlinear elliptic problems.
One is the Lyapunov-Schmidt reduction method introduced by Floer-Weinstein to the singularly perturbed nonlinear elliptic problems, and the other is a variational method introduced by Rabinowitz. To apply the Lyapunov-Schmidt reduction method,
we need some strong condition on the nonlinearity; in fact, the condition is strictly stronger than the known sufficient conditions for the existence of simple solutions.On the other hand, the traditional variational method is powerful to show existence of certain(non-simple) solutions under more weak conditions than those required when we apply the Lyapunov-Schmidt reduction method. But the traditional variational method still need more strong conditions than Berestycki-Lions conditions which is optimal conditions for the existence of a finite energy solution of a limiting problem.
Recently, this researcher and Jeanjean could prove an existence of a spike layer solution concentrating around an isolated
set of local minimum points of a potential when a space dimension is greater than 2.
One and two dimensional cases which are more involved in proofs have been resolved via a collaboration with Jeanjean and Tanaka.