Dualities in 3d Superconformal Field Theories and the Computation of the Superconformal Index

국문 초록 (Abstract)

본 논문에서는 최근 주목할 만한 발전을 이룬 삼차원 초등각 양자장 이론에서 사이버그 이중성(Seiberg duality)에 대한 내용과 초등각 지표(superconformal index)를 계산하는 방법을 다룬다. 최근 삼차원 천-사이먼스(Chern-Simons) 이론이 주목 받으면서 사차원의 사이버그 이중성과 유사한 이중성 이론을 삼차원에서도 활발하게 연구하게 되었고 로컬라이제이션(localization) 계산 방법의 발전으로 분배함수(partition function)와 초등각 지표와 같은 비섭동적인 물리량을 계산 할 수 있게 되었다. 본 논문에서는 최근 로컬라이제션 방법을 통해 계산된 초등각 지표의 명시적 공식(explicit formula)를 이용 N=2 삼차원 천-사이먼스 이론의 초등각 지를 계산해 이중성 관계로 제시된 두 이론 쌍들이 같은 결과를 준다는 것을 확인해 추측된 이중성이론에 대한 증거를 제시한다..

그 다음 주제로 삼차원에서 직교 게이지 군(Orthogonal gauge group)에 대한 사이버그 이중성 이론을 제시하여 분배함수를 계산해 두 이중성 짝 이론이 같은 결과를 주는 것을 확인한다. 제시한 삼차원 직교 게이지 군 이중성 이론에서 초등각 지표를 계산해 각각의 짝 이론이 같은 결과를 주는 것을 확인하고 카이랄 환 (chiral ring)구조를 분석해 두 짝 이론들이 같다는 증거를 제시한다.

마지막 주제로 기존의 삼차원 사이버그 이중성 이론에서 알려저 있지 않던 특수 유니터리 군(special unitary group)에 대한 사이버그 이중성 이론을 제시하고 분석한다. 삼차원에서 게이지 그룹에 U(1) 성분(factor)이 있으면 여기에 연결된(coupled) U(1) 글로벌 대칭있고 이것을 게이징(gauging)하는 것이 U(1) 게이지 성분을 언게이징(ungauging)하는 것에 해당한 다는 사실을 이용한다. 알려진 유니터리 군(unitary group)게이지 이론의 사이버그 대칭에 이 사실을 적용해 특수 유니터니 군의 사이버그 대칭을 제시하고 카이럴 환과 초등각 지표를 계산, 비교해 이 이중성에 대한 증거로 제시한다. 천-사이먼스 이론에 대한 특수 유니터리 군 사이버그 이중성과 게이지 군에 대한 딸림표현(adjoint representation) 물질 장(matter field)를 포함하는 사이버그 이중성을 제시하고 마친가지로 카이럴 환과 초등각 지표를 계산, 비교한다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

In this thesis we work out the three dimensional N = 2 superconformal field theories of Seiberg-like dualities. We apply the superconformal index formula to the Chern-Simons matter U(N), Sp(2N) and O(N) gauge theories exhibiting dualities proposed by Giveon and Kutasov. The same results between the Seiberg-like dual pairs provide evidences for the conjectured dualities.
We proposed Aharony type duality for orthogonal gauge theories with matters in vector representation. We compute S3 partition functions and superconformal indices of the dual pairs as the evidences of the conjectured duality. We confirm the agreement between the proposed dual pairs.
In the last part of the thesis we work out SU(N) gauge theories. We use the SL(2,Z) action about U(1) global symmetries of superconformal field theories, which corresponds to gauging the global U(1) symmetry and ungauging the coupled U(1) gauge symmetry. We apply the action to the topological U(1) global symmetry and obtain Seiberg-like duality for SU(N) gauge theory from the Aharony U(N) duality. For SU(N) gauge theoris, we work out duality of Chern-Simons matter theory and Aharony daulity with an adjoint matter multiplet. For each proposed duality we provide evidences such as chiral ring matching and superconformal index agreement.

목차 (Table of Contents)

• 1 Introduction 1
• 1.1 General aspects of N = 2 supersymmetric theories in three dimension
• . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
• 1.2 Supermultiplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
• 1.3 Supersymmetric Actions in 3d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
• 1.4 Anomalies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
• 1.5 Instantons, vortices and monopole operators . . . . . . . . . . . . 10
• 1.6 Brane construction of field theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
• 1.7 Seiberg-like dualities in three dimension . . . . . . . . . . . . . . 19
• 1.7.1 Aharony dualties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
• 1.7.2 Giveon-Kutasov duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
• 2 Superconformal Index Computation and Test of Seiberg-like Dualities
• 27
• 2.1 Computation of the superconformal index . . . . . . . . . . . . . . 28
• 2.1.1 Unitary Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
• 2.1.2 Symplectic Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
• 2.1.3 Orthogonal Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
• 2.2 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
• 3 Aharony Duality for Orthogonal Gauge Group 45
• 3.1 Partition function on S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
• 3.2 Superconformal index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
• 3.3 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
• 4 Seiberg-like dualities with SU(N) gauge groups. 59
• 4.1 SL(2,Z) action on the 3d CFTs with U(1) symmetry . . . . . . . 61
• 4.2 Ungauging N = 2 Nf = 1 SQED and its Ahrony dual . . . . . . . 65
• 4.2.1 Index of Ungauged SQED Nf = 1 . . . . . . . . . . . . . . . 66
• 4.2.2 Index of ungauged (or gauged) XYZ . . . . . . . . . . . . . 67
• 4.3 Aharony duality for SU(Nc) gauge theory with Nf fundamental
• flavors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
• 4.3.1 Index of SU(Nc) theory obtained from ungauging U(Nc) . 71
• 4.3.2 Gauging U(1)T of magnetic U(Nf - Nc) theory . . . . . . . 73
• 4.3.3 Results of Indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
• 4.4 Chern-Simons theory of SU(Nc)k and it’s dual . . . . . . . . . . . 77
• 4.5 SU(N) theory with Nf fundamental flavors and adjoint matter . 79
• A Index computation with chemical potentials 88
• A.1 Unitary Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
• A.2 Symplectic Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
• A.3 Orthogonal Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
• Bibliography 95
• 요약문 102
• 감사의 글 103
• Curriculum Vitae 104