Input-Output Data-Driven Representation for Linear Systems: Stability and Applications = 입출력 데이터 기반 선형 시스템 표현의 안정성 및 응용

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

Many recent data-driven control approaches for linear time-invariant systems are based on finite-horizon prediction of output trajectories using input-output data matrices. When applied recursively, this predictor forms a dynamic system representation subject to stability analysis, which we refer to as the data-driven representation. It is observed that this representation is generally non-minimal, containing latent poles in addition to the original poles of the underlying system. In this dissertation, we show that these latent poles are guaranteed to be stable by employing the Moore-Penrose inverses of the data matrices, regardless of their number or the underlying system's stability. We also analyze the effect of noisy data on the stability of the data-driven representation, ensuring that the latent poles remain stable under sufficiently small noise. This result obviates the need to eliminate the latent poles through procedures that resort to low-rank approximation in data-driven control and analysis.
We apply the main results to two distinct problems; data-driven output feedback control and inversion. First, for data-driven output feedback control, a non-minimal state-space realization of the system is constructed from its data-driven representation, where the state consists of the past inputs and outputs. Exploiting the stability guarantee of the latent poles, we examine the stabilizability and detectability of this realization. Leveraging these properties, a data-driven output feedback linear quadratic regulator (LQR) controller is designed.
Second, we extend the principles of the main result to data-driven inversion, or unknown input estimation. Likewise, we identify the existence of latent poles in this inverse setting and demonstrate that their stability is ensured by the use of the Moore-Penrose inverse of the data matrix. This enables asymptotic input estimation for minimum-phase systems, without requiring knowledge of the initial input trajectory. Building on this, we implement data-driven disturbance observer (DD-DOB), which estimates the input disturbance and rejects it simultaneously. Furthermore, we present a method to arbitrarily assign the latent poles of data-driven representations using data-driven inversion.
In addition, we investigate the impact of the depth of data matrices—which also determines the number of the latent poles—on data-driven control, particularly on the performance against online and offline measurement noises.

국문 초록 (Abstract)

선형 시불변 시스템에 대한 최근의 많은 데이터 기반 제어 기법들은 입출력 데이터 행렬을 이용한 출력 궤적의 유한 구간 예측에 기반을 두고 있다. 이 예측기를 재귀적으로 적용하면 안정성 해석의 대상이 되는 동적 시스템 표현이 형성되는데, 본 논문에서는 이를 데이터 기반 표현(data-driven representation)이라 명명한다. 이 표현은 일반적으로 비최소(non-minimal) 형태를 띠며, 기저 시스템의 본래 극점 외에도 잠재 극점(latent poles)을 포함하는 것이 관찰된다. 본 논문에서는 데이터 행렬의 무어-펜로즈 유사 역행렬을 활용할 경우, 잠재 극점의 안정성이 항상 보장되며, 이는 잠재 극점의 개수나 기저 시스템의 안정성 여부와 관계없이 성립함을 보인다. 또한, 데이터 잡음이 데이터 기반 표현의 안정성에 미치는 영향을 분석하여, 잡음이 충분히 작을 경우 잠재 극점의 안정성이 보존됨을 확인한다. 이러한 결과는 데이터 기반 제어 및 해석에서 잠재 극점을 제거하기 위해 저랭크 근사(low-rank approximation)와 같은 기법에 의존해야 할 필요성을 제거한다.
본 논문에서는 위의 주요 결과를 데이터 기반 출력 궤환 제어 및 데이터 기반 시스템 역산(data-driven inversion)에 적용한다. 첫째로 데이터 기반 출력 궤환 제어를 위해, 상태가 시스템의 과거 입출력으로 이루어진 비최소 상태 공간 실현을 데이터 기반 표현으로부터 구성한다. 잠재 극점의 안정성 보장으로부터 이 실현의 안정화 가능성(stabilizability)과 검출 가능성(detectability)을 규명하고, 이러한 특성을 활용하여 데이터 기반 출력 궤환 선형 2차 조정기(LQR)를 설계한다.
둘째로, 본 논문의 주요 결과의 원리를 데이터 기반 시스템 역산, 즉 미지 입력 추정으로 확장한다. 여기서도 잠재 극점의 존재를 밝히며, 마찬가지로 데이터 행렬의 무어-펜로즈 유사 역행렬을 통해 잠재 극점의 안정성이 보장됨을 보인다. 이는 초기 입력 궤적에 대한 정보 없이도 최소 위상(minimum-phase) 시스템에 대한 점근적 입력 추정을 가능하게 한다. 이러한 특성을 바탕으로, 입력 외란을 추정함과 동시에 제거하는 데이터 기반 외란 관측기(DD-DOB)를 구현한다. 나아가 데이터 기반 역산을 활용해 데이터 기반 표현의 잠재 극점을 임의로 지정하는 방법을 제안한다.
이에 더해, 잠재 극점의 개수와 직결되는 데이터 행렬의 깊이가 데이터 기반 제어에 미치는 영향을 탐구하며, 특히 온라인 및 오프라인 측정 잡음에 대한 제어 성능 변화를 중점적으로 다룬다.

목차 (Table of Contents)

• ABSTRACT i
• List of Figures x
• Symbols and Acronyms xi
• 1 Introduction 1
• 1.1 Research Background 1
• 1.2 Motivation 4
• 1.3 Outline and Contributions of Dissertation 8
• 2 General Setup and Preliminaries 13
• 2.1 Setup 13
• 2.1.1 System Description 13
• 2.1.2 Data Matrix 14
• 2.2 Preliminaries 18
• 3 Data-Driven Representation with Stable Latent Poles 21
• 3.1 Problem Formulation 21
• 3.2 Main Result 22
• 3.2.1 Single-Output Case 22
• 3.2.2 General Result 27
• 3.3 Effect of Noisy Data 30
• 3.4 Numerical Examples 33
• 3.4.1 Stable System 33
• 3.4.2 Unstable System 35
• 4 Application to Data-Driven Output Feedback Control 39
• 4.1 Motivation and Related Works 39
• 4.2 Non-Minimal State-Space Realization 41
• 4.2.1 Single-Output Case 41
• 4.2.2 General Case 44
• 4.3 Data-Driven Output Feedback LQR Controller 49
• 4.4 Simulation Results 53
• 4.4.1 SISO system 53
• 4.4.2 MIMO system 56
• 5 Application to Data-Driven Inversion 61
• 5.1 Motivation and Related Works 61
• 5.2 Setup and Preliminaries 62
• 5.3 Main Result 66
• 5.4 Implementation of DD-DOB 71
• 5.4.1 Simulation Results 72
• 6 Placement of Latent Poles 75
• 6.1 Problem Formulation 75
• 6.2 Main Result 77
• 6.3 Placement of Latent Poles for Data-Driven Inversion 82
• 7 On the Depth of Data Matrices 87
• 7.1 Motivation and Related Works 87
• 7.2 Depth-Dependent Property of Data Matrices 89
• 7.3 Simulation Results 92
• 8 Conclusions and Future Work 99
• 8.1 Future Work 101
• APPENDIX 105
• A.1 Proof of Lemma 3.2.2 105
• A.2 Technical Lemma 107
• A.3 Proof of Lemma 5.3.1 110
• BIBLIOGRAPHY 113
• 국문초록 121