고전적 모형론과 대안 논리의 형식 의미론에 관한 연구: 수학과 철학의 문제들

국문 초록 (Abstract)

본 연구의 주된 목표는 모형론의 주요 미해결 과제에 대한 연구를 통해 고전적 모형론을 수학적으로 더욱 발전시키는 동시에, 고전적 모형론의 철학적 기초를 검토하면서 대안 논리의 형식 의미론과 대안적 모형론의 가능성을 모색하는 것이었다. 이를 위해 본 연구에서는, 고전적 모형론의 단순성 이론과 고전적 모형론에 대한 비판 및 그 대안으로서의 다치 논리와 직관주의 논리의 의미론에 대한 연구를 세부과제로 삼았다.
단순성이론에 관한 연구에서는 분할과 단순성의 관계와 유사한 관계가 약분할과 안정성 사이에 성립함을 보이는 다음과 같은 결과를 증명하였다: "약분할은 안정된 이론에서만 대칭적이다." "안정성과 약분할의 좌국소적 특성은 동치이다." "안정되지 않은 단순이론에서는 약분할이 이행적일 수 있다."
다치 논리에 관한 연구에서는 클리니와 딘즈의 무한 다치 논리와 그 변형들에 대한 형식의미론이 대수적 방법에 의해 연구되었다. 특히 이들의 체계의 주요 변형들에 대한 대수적 완전성 정리들을 얻을 수 있었다.
직관주의 논리의 의미론에 관한 연구에서는 고전 논리에 대한 직관주의적 비판, 특히 더밋의 비판을 염두에 둔 연구가 진행되었다. 무한영역에 관한 양화를 고전 논리의 방식대로 다루는 것은 부적절하다는 비판과 그 직관주의적 대안에 관해 연구하였다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

This project aimed a cooperative inter-disciplinary study on the classical model theory and its alternatives. Specifically, we aimed to study mathematical and philosophical problems concerning simple theories, many-valued logic and intuitionistic logic.
Concerning simple structures, we concentrated on the notion of "weak dividing" introduced by S. Shelah. We showed that the relation between weak dividing and stability is analogous with the relation between dividing and simplicity. For example, we showed that weak dividing is symmetric only in stable theories. Stability is also equivalent to left local character of weak dividing. However for the transitivity of weak dividing, a similar analogy does not exist. Namely, in a non-stable simple theory (e.g. the theory of the random graph), weak dividing can be transitive.
Concerning many-valued logic, we investigated algebraic semantics for sKD and its extensions sKD△, sKD∀, and sKD∀△: sKD is a variant of the infinite-valued Kleene-Diense logic KD; sKD△ the sKD with the Baaz's projection △; and sKD∀ and KD∀△ are the first order extensions of sKD and sKD△, respectively. We provided algebraic completeness for each of sKD and sKD△. We also showed that each sKD∀ and sKD∀△ is algebraically complete.
In connection with intuitionistic logic, we examined intuitionistic crticisms of classical logic. We concentrated on problems relating to quantifications on infinite domain. We examined problems exhibited by intuitionists such as M. Dummett and intuitionistic alternatives.